Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego – c.d.

1. Jednak ........ Rozważane modele miały struktury obejmujące przypadki: - jedna przesłanka – jedna reguła - jedna przesłanka – wiele reguł Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego – c.d. Model lingwistyczny i proces wnioskowania Mamdani’ego z wykorzystaniem tego modelu przedstawiony został w ogólny sposób obejmujący przypadki SISO i MIMO Oznacza to, że w przypadku MIMO wszystkie zbiory rozmyte modelu rozważane były w jednej przestrzeni wektorowej z wielowymiarowymi funkcjami przynależności

2. A wcześniej mówiliśmy, że ........ Zwykle stwierdzenia przesłanek i stwierdzenia konkluzji formułowane są jako logiczne zdania formułowane z wykorzystaniem funkcji przynależności jednej zmiennej Dla systemów MIMO: Potrzeba uogólnienia zaprezentowanych wyników na przypadek, kiedy funkcje przynależności występujące w stwierdzeniach przesłanki są definiowane w przestrzeniach jednowymiarowych

3. Pokażemy, że jako ogólną postać bazy reguł rozmytych można rozważać bazę składającą się z reguł o następującej jednolitej postaci: () gdzie, Aij oraz Bi są zbiorami rozmytymi w Xj  R oraz Y  R Ponadto oraz x oraz y są nazywane odpowiednio wejściami i wyjściem systemu rozmytego

4. Fakt 1. Ponieważ każdy system MIMO może zawsze być zdekomponowany do na systemy MISO, bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Fakt 2. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „niekompletne” reguły postaci gdzie, r < p Dowód. Niekompletna reguła jest równoważna regule gdzie, I1 jest uniwersalnym zbiorem rozmytym na całej przestrzeni rozważań R

5. Fakt 3. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły OR reguły postaci Dowód. Intuicyjne rozumienie operatora OR pozwala napisać następujące dwie reguły równoważne podanej regule OR a z faktu 2 mamy, że każda z tych reguł jest równoważna regule postaci (*)

6. Fakt 4. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek stwierdzenie rozmyte Dowód. W istocie takie stwierdzenie rozmyte jest równoważne regule która ma formę reguły postaci (*)

7. Fakt 5. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „reguły stopniowane” postaci Dowód. Wyrażeniu „mniejszy x” można nadać formę stwierdzenia rozmytego przez zdefiniowanie zbioru rozmytego mniejszy x. Oznaczmy ten zbiór A. Podobnie można postąpić z wyrażeniem „większy y”. Oznaczmy reprezentujący je zbiór rozmyty B. Podana reguła stopniowana może być wówczas zapisana a z faktu 2 mamy, że taka reguła jest równoważna regule postaci (*)

8. Fakt 6. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły „jeżeli nie” Dowód. Intuicyjne rozumienie wyrażenia „jeżeli nie” pozwala napisać następującą regułę równoważną podanej która w oparciu o prawo de Morgana jest równoważna regule Traktując jako odrębny zbiór rozmyty i opierając się na fakcie 3 możemy stwierdzić, że rozważana reguła jest równoważna (*)

9. Fakt 7. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły twarde (wyraziste) Dowód. Jeżeli funkcje przynależności zbiorów Ai,j oraz zbioru Bi przyjmują tylko dwie wartości 0 oraz 1 to reguła (*) staje się regułą nie-rozmytą Podsumowanie: Biorąc pod uwagę Fakt 1 bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Biorąc pod uwagę Fakt 2-7 bez utraty ogólności możemy rozważać modele lingwistyczne w postaci koniunkcyjnej jako ogólne modele lingwistyczne

10. Przypomnienie - wnioskowanie Mamdani’ego: przypadek SISO 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia: Rozważana pojedyncza reguła ma postać a wejście systemu pytamy o wyjście systemu }Wymaga modyfikacji ! }Nie wymaga modyfikacji }Nie wymaga modyfikacji

11. III. Jedna reguła – dwie przesłanki x1 = A1’ i x2 = A2’ Fakt: JEŚLI x1 = A1 I x2 = A2 TO y = B Implikacja Wniosek y = B’ Rozwijając definicję wnioskowania rozmytego: Rozważmy szczegółowiej dwa przypadki w2 w1

12. Ostatecznie: oraz w1, w2 – stopień zgodności odpowiednio - siła „odpalenia” reguły, stopień spełnienia przesłanek reguły Ilustracja graficzna GMP dla implikacji Mamdaniego i złożeniowej reguły max – min dla przypadku złożenia dwóch przesłanek

13. Dla: Zwykle: min, prod Zwykle: min, prod Uwaga: x0 - wektor

14. Dla implikacji Mamdaniego - min: Dla implikacji Larsena - prod: lub:

15. IV. Dwie reguły – dwie przesłanki x1 = A1’ i x2 = A2’ Fakt: JEŚLI x1 = A11 I x2 = A12 TO y = B1 Implikacja 1 JEŚLI x1 = A21 I x2 = A22 TO y = B2 Implikacja 2 Wniosek y = B’ Niech oraz Ponieważ relacja złożenia jest rozdzielna względem operacji połączenia dowolna s-norma (t-konorma)

16. dowolna s-norma (t-konorma) Ilustracja graficzna GMP dla implikacji Mamdaniego i złożeniowej reguły max – min dla przypadku dwóch reguł, dwóch przesłanek

17. Sposób postępowania przy uproszczonym wnioskowaniu rozmytym – wnioskowaniu Mamdani’ego Stopień zgodności faktów i przesłanek. Porównaj znane fakty z przesłankami reguł rozmytych, aby określić stopień zgodności w odniesieniu do funkcji przynależności każdej z przesłanek Stopień spełnienia przesłanek poszczególnych reguł. Złóż stopnie zgodności poszczególnych przesłanek reguł używając rozmytych operacji przecięcia dla określenia ogólnego stopnia spełnienia przesłanek reguł Implikowana funkcja przynależności konkluzji poszczególnych reguł dla danych faktów. Wykorzystując stopień stopień spełnienia przesłanek określ implikowaną funkcje przynależności każdej reguły Całościowa implikowana funkcja przynależności zbioru reguł. Złóż wszystkie implikowane funkcje przynależności konkluzji, aby otrzymać całościową implikowaną funkcję przynależności zbioru reguł

18. System Mamdaniego Podejście 1 System Mamdaniego z wykorzystujący realizacje min oraz max jako operatory t – normy i t - konormy

19. System Mamdaniego – c.d. Podejście 2 System Mamdaniego z wykorzystujący realizacje prod oraz max jako operatory t – normy i t - konormy

20. System Mamdaniego – aproksymacja Przykład 2 Jeżeli X jest MAŁY I Y jest MAŁY TO Z jest UJEMNY DUŻY Jeżeli X jest MAŁY I Y jest DUŻY TO Z jest UJEMNY MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest MAŁY TO Z jest DODATNI MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest DUŻY TO Z jest DODATNI DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości

21. Zbiór reguł przy koniunkcyjnej formie przesłanek bazy reguł dzieli dziedzinę wejścia na kratownicę rozmytych hiperskrzynek. Każda hiperskrzynka jest przecięciem odpowiednich jednowymiarowych zbiorów rozmytych wejścia systemu Liczba reguł w koniunkcyjnej formie, potrzebna do pokrycia całego obszaru wejścia określona jest wzorem gdzie p jest wymiarem przestrzeni wejścia a Ni jest liczbą wartości lingwistycznych przypisywanych i-tej zmiennej wejścia (przesłanki)

22. Przykład Przesłanka reguły pokrywająca lewy dolny narożnik przestrzeni przesłanki Składając koniunkcje, dysjunkcje i negacje można uzyskać różny podział przestrzeni wejścia (przesłanek) – zawsze będzie to jednak prostopadłościenna kratownica zdefiniowana przez zbiory rozmyte związane z poszczególnymi zmiennymi

23. Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu