第二章 电阻电路的分析

1. 第二章 电阻电路的分析 重 点 • 1．电路等效的概念； • 2．电阻的等效变换； • 3．电源的等效变换。 难 点 • 1．理解电阻的串联与并联； • 2．对称电路； • 3．星形连接与三角形连接的等效变换计算公式； • 4．电流源与电压源等效变换时方向的判定；

2. 第一节 电阻元件及其串并联的等效变换 • 第二节 电阻的星形联接和三角形联接及其等效变换 • 第三节 电源的电源的等效变换 • 第四节 支路电流法 • 第五节 回路电流法 • 第六节 节点电压法 • 第七节 叠加定理及其应用 • 第八节 等效电源定理及其应用

3. 2 . 1 电阻元件及其串并联的等效变换 1、等效变换 一个二端网络的端口电压电流关系和另一个二端网络的端口电压电流关系相同，这两个二端网络叫做等效网络。 一个内部没有独立源的电阻性二端网络，总有一个电阻元件与之等效，这个电阻元件的电阻值等于该网络关联参考方向下端口电压与端口电流的比值，叫做该网络的等效电阻或输人电阻，用Ri表示，Ri也叫总电阻。 2、电阻的串联 成串相连，中间没有分支的一些二端元件叫串联的元件。 主要特点：串联电阻的电流相等，这个二端网络的端口电压等于各电阻电压之和。 等效电阻为：

4. 3、电阻的并联 两个端钮分别连在一起的一些二端元件叫并联的元件。 主要特点：并联电阻的电压相等，这个二端网络的端口电流等于各个电阻电流之和。 等效电阻为： 4、电阻的混联 混联电阻是指串联电阻和并联电阻组合成的二端网络。 分析混联电阻的一般步骤如下： 1）计算各串联电阻、并联电阻的等效电阻，再计算总的等效电阻。 2）由端口激励计算端口响应。 3）根据串联电阻的分压关系、并联电阻的分流关系逐步算出各部分的电压、 电流。

5. 2 . 2 电阻的星形联接和三角形联接及其等效变换 一、电阻的星形联接和三角形联接 有两种最简单的电阻网络。一种如下图（a），三个电阻 Ra 、 Rb 、Rc的一端连在一起，另一端分别为网络的三个端钮 a 、b 、c，这种三端网络叫做电阻的星形联接，也叫 Y 联接。 另一种如图( b ) ，三个电阻 Rab 、Rbc、 Rca 接成一个回路，而三个联接点就是网络的三个端钮，这种网络叫做电阻的三角形联接，也叫△联接。 图 电阻的星形联接和三角形联接 图 电阻的星形联接和三角形联接

6. 二、等效互换的条件 1、将△联接电阻等效变换为Y联接电阻的公式，即已知 △ 联接的电阻R ab 、 Rbc 、 Rca ，求等效的 Y 联接电阻 Ra、Rb、Rc的公式 2、将Y联接电阻等效变换为△联接电阻的公式，即已知 Y 联接电阻 Ra、Rb 、Rc，求等效的△联接的电阻Rab 、Rbc、Rca、的公式

7. 三个相等电阻的Y 、△联接叫做对称联接。如对称Y联接每个电阻为RY，对称 △ 联接每个电阻为R △ ，由上两式可以得到 三、等效互换的计算 例： 下图示电路中，已知 Us= 225V , R0=1 , Rl = 40 , R2 =36 ， R3=50 , R4 = 55 , R5=10 ,各电阻的电流。

8. 解：上图（a）中的 5 个电阻既非串联又非并联，无法用串、并联等效电阻的概念求取，将△联接的三个电阻 Rl 、R3 、R5等变换为 Y 联接的电阻Ra 、RC、Rb ，如图(b)得 图(b)电阻混联的网络Rc 、R2串联，Rb、R4串联，二者再并联的等效电阻， 则端口电流

9. R2、R4的电流各为 为了求得R1、R3、R5、的电流，从图（b）中求得 再回到图（a），得到 并由KCL得到

10. 2 . 3 独立电源及实际电源的等效变换 向电路供给能量或提供信号的设备叫电源。不受电路中其他部分的电压或电流控制，而且能独立地向网络提供能量和信号并产生相应的响应的电源，称为独立源。有电压源和电流源两种形式。 一、电压源 理想电压源，是一个二端元件，它的电压为一定值或是一定的时间函数，与它的电压无关；它的电压（以及功率）由与之相连的外部电路决定。一般电压源的符号如图（a）。电压源的电压用Us或us表示。图 ( b ) 是直流电压源的另一种符号，并且长线表示参考正极性，短线表示参考负极性。

11. 直流电压源的伏安特性曲线，是一条与I轴平行的直线，如下图示。电流由其外部决定，不管电流取何值，它的电压总是为US。直流电压源的伏安特性曲线，是一条与I轴平行的直线，如下图示。电流由其外部决定，不管电流取何值，它的电压总是为US。 二、电流源 理想电流源，是一个二端元件，它的电流为一定值或是一定的时间函数，与它的电压无关；它的电压（以及功率）由与之相连的外部电路决定。电流源的符号如左下图。电流源的电流用Is或is表示。电流大小和方向都不随时间变化的电流源叫直流电流源。 直流电流源的伏安特性是一条与U轴平行的直线，如右上图所示，电压由其外部决定，不管电压取何值，它的电流总为Is。

12. 直流电流源的伏安特性是一条与U轴平行的直线，如右上图所示，电压由其外部决定，不管电压取何值，它的电流总为Is。直流电流源的伏安特性是一条与U轴平行的直线，如右上图所示，电压由其外部决定，不管电压取何值，它的电流总为Is。 三、实际电源的等效变换 1、实际电源 理想电压源只是实际电源的一种模型。而实际电源在向外电路供电的时候，由于电源设备内部存在一定内阻，其输出电压或电流会随负载的改变而改变。因此实际电源可用电压源和电阻的串联组合或电流源和电阻的并联组合作为实际电源的电路模型，如下图示。

13. 2、两种电压模型的等效互换 一个电压源电阻串联网络可以等效变换为一个电流源电阻并联网络，一个电流源电阻并联网络也可以等效变换为一个电压源电阻串联网络，等效变换的条件是 四、受控源 定义：一个受控源由两条支路组成，一条支路是短路（或开路）， 另一条支路如同电流源（或电压源），而其电流（或电压）受短路支路的电流（或开路支路的电压）控制。 （1）电流控制电流源，简称CCCS。如图（a）所示。 （2）电压控制电流源，简称VCCS。如图 ( b) 所示。 （3）电压控制电压源，简称VCVS。如图（C）所示。 （4）电流控制电压源，简称CCVS。如图 ( d）所示。

14. 2.4 支路电流法 电路的一般分析方法是指在给定电路结构和元件参数的条件下，不需要改变电路结构，而是通过选择电路变量（未知量），根据 KCL 和 KVL 以及支路的 VCR 建立关于电路变量的方程组，从而求解电路的方法。 一、支路电流法 支路电流法是以支路电流为未知量，根据KCL建立独立节点电流方程，根据 KVL 建立独立回路电压方程，然后解联立方程组求出各支路电流。 右图中选定各支路电流参考方向， 并设各支路电压与支路电流为关联参 考方向。根据 KCL 列出的节点电流方 程分别为

15. 在上图所示的平面电路中含有3个网孔，若选择网孔作为回路，并取顺时针为回路绕行方向，根据KVL列出含VCR的回路电压方程分别为在上图所示的平面电路中含有3个网孔，若选择网孔作为回路，并取顺时针为回路绕行方向，根据KVL列出含VCR的回路电压方程分别为 上面这3个回路电压方程也是相互独立的，对应于独立方程的回路称为独立回路。 由此可见，上图所示的电路共设有6条支路电流为未知量，分别列出了3个独立节点电流方程和3个独立回路电压方程，恰好等于6条未知的支路电流数，因此可以解出各支路电流。

16. 二、支路电流法的应用 应用支路电流法分析电路的关键在于确定独立节点和独立回路。 可以证明，对于具有n个节点，b 条支路的电路，其独立节点数为（n -1 ) ，独 立回路数为L＝ b -（n -1）。对于平面电路，由于网孔数等于独立回路数， 综上所述，应用支路电流法求解电路的一般步骤是： （1）选定支路电流的参考方向，确定独立节点、独立回路及其绕行方向。 （2）根据 KCL 列出（n-1）个独立节点电流方程。 （3）根据 KVL 列出L＝ b-（n-1）个独立回路电压方程。 （4）解方程组求出各支路电流。 （5）根据题意要求计算支路电压和功率等。

17. 2.5 网孔电流法 一、网孔电流法 网孔电流法是以假想沿着网孔边界连续流动的网孔电流为未知量，根据 KVL 对全部网孔列出电路方程，从而求解网孔电流，进而求得支路电流和电压的方法。 下图中网孔电流分别为，和，电路中各支路的电流都可以用网孔电流来表示，即 因此，只要求出各网孔电流，就可以根据上式求出各支路电流。

18. 若选定回路绕行方向与网孔电流的参考方向一致，根据 KVL , 3个网孔的独立回路电压方程分别为 将代人并整理得 上式是以网孔电流 ， 、 为未知量的方程组，故称为网孔电流方程组。 对于具有 m 个网孔的电路，方程的一般形式可由上式子推广而得

19. 其中各网孔所有电阻之和，称为各网孔的自阻。式中具有相同下标的 ， …为各网孔的自阻，当回路绕行方向与网孔电流方向一致时，自阻均为正值； 两个相邻网孔之间的公共电阻，称为相邻网孔的互阻。式中具有不同下标的 ， ……等为各网孔之间的互阻，互阻可为正值，也可为负值，它取决于相邻的两个网孔电流通过该互阻的方向是否一致，一致时取正，反之取负。当假定网孔电流均为顺时针（或逆时针）方向时，互阻均为负值； ， 和 ……分别是网孔中电压源电压的代数和。如果网孔电流从电压源的参考“-”极流向“+”极，则在它前面取正号，反之则取负号。 二、网孔电流法的应用 1、应用网孔电流法分析计算电路的一般步骤是： 1）假设各网孔电流及其参考方向，并规定各回路绕行方向均与其对二扣网孔电流方向一致。 2）用观察法列出全部网孔电流方程，注意自阻均为正值，互阻可正可负。 3）解联立方程组，求出各网孔电流。 4）选定各支路电流及其参考方向，将支路电流用网孔电流表示，求出各支路电流 5）根据题意要求，计算支路电压和功率等。

20. 例： 用网孔电流法求下图所示电路中各支路电流。 解：1）用观察法可列出方程为 解方程组得 2）选定各支路电流及其参考方向，如上图所示，将支路电流的网孔电流表示，故各支路电流为

21. 2、当电路中含有无伴理想电流源支路或含受控源时，应用网孔电流法应作如下处理：2、当电路中含有无伴理想电流源支路或含受控源时，应用网孔电流法应作如下处理： 1）若无伴理想电流源处在电路的边界支路上，这时网孔电流就等于该电流源的电流，因此就不必列写该回路的网孔电流方程。 2）若无伴理想电流源处在两个网孔的公共支路上，可以将该电流源的端电压设为未知量，并将其视为电压源的电压，按上式的规律列写网孔电流方程。由于增加了这个未知量，故必须补充一个方程，该补充方程即为此电流源与相关网孔电流关系的方程，使方程数与未知量数相等。 3）若电路中含有受控源，则先将受控源作为独立电源对待，列写网孔电流方程，然后将受控源的控制量用网孔电流表示，代人网孔电流方程中，使方程中的未知量只含有网孔电流。

22. 2.6 节点电压法 一、节点电压法 若以非独立节点作为电路的参考节点，则其余各个独立节点的电位就称为该节点的节点电压。 以节点电压为未知量，根据KCL列出对应于独立节点的节点电流方程，然后联立求解出各节点电压，从而求出各支路电压和电流的方法称为节点电压法（或称为节点电位法）。 下图所示电路有4个节点，选O点为参考节点，则其余3个独立节点的节点电 压为 ， ， ；各支路电流及其参考方向如图中所示。则各支路电流与节点 电压的关系为

23. 对电路中独立节点①、②、③分别列写KCL方程有对电路中独立节点①、②、③分别列写KCL方程有

24. 代入上式得 经整理得 上式就是以节点电压 ， ， 为未知量的节点电压方程，联立求解出节点电 压 后，根据式可求出各支路电流和电压。 对于具有 n 个节点的电路，其（n-1）各独立节点方程的一般形式可由上式推广 而得，即

25. 式中具有相同下标的电导分别为各独立节点所联接的所有支路的电导之和，称为各独立节点的自导，自导总取正值；式中具有相同下标的电导分别为各独立节点所联接的所有支路的电导之和，称为各独立节点的自导，自导总取正值； 具有不同下标的电导分别为两个相关节点间的各支路电导之和，称为两节点之间的互导。当假设各独立节点的电位为正时，互导总取负值。当两节点间没有支路直接相联接时，对应的互导为零； ， ……分别表示流人对应节点的电流源电流和等效电流源电流的代数和，当电流源电流的方向指向对应节点时取正号，反之取负号；当电压源与电阻串联的支路中，电压源的“+”极靠近对应节点时其等效电流源电流取正号，反之取负号。 二、节点电压法的应用 1、应用节点电压法求解电路的一般步骤 1）选定参考节点，并给独立节点标定编号。设各独立节点的节点电压为未知量，其参考极性均规定独立节点为“+ " ，参考节点为“-。 2）根据节点电压方程的一般形式及其规定用观察法列出全部独立节点的节点电压方程。

26. 3）解联立方程组，求出各节点电压。 4）选定各支路电流及其参考方向，根据支路的VCR求出各支路电流。 5）根据题意要求，计算功率和其他电量等。 2、当电路中含有无伴理想电压源或受控源时，应用节点电压法分析电路 1）对含无伴理想电压源支路的电路，处理方法有两种。 一种方法是选取理想电压源支路的一个端点作为参考点，则另一端点的节点电压就等于该理想电压源的电压，从而不必再列出该节点的节点电压方程。 另一方法是将理想电压源支路的电流设为未知量，计人相应的节点电压方程中。每增加一个这样的未知量，必须同时补充一个表示该电压源电压与相应节点电压关系的约束方程，这样就能保证方程数目与未知量数目相等。 2）对含有受控源的电路，可先把受控源作为独立电源对待，列写节点电压方程，然后将受控源的控制量用节点电压表示，代人节点电压方程中，使方程中的未知量只有节点电压。

27. 例：电路如下图所示，试用节点电压法求支路电流 i 。 解：选定参考节点并给其他节点标定编号，如下图所示，列出各节点电压方程为 整理并解之得 所以支路电流为

28. 2.7 叠加定理及其应用 线性网络的叠加性可以用叠加定理来表述，即在线性网络中，由几个独立电源共同作用所形成的各支路电流或电压，是各个独立电源分别单独作用时在各相应支路中形成的电流或电压的叠加（代数和）。 所谓电压源不作用，是把电压源的电压置零，即电压源用短路代替；所谓电流源不作用，是把电流源的电流置零，即电流源用开路代替。 说明：1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。 2）叠加时，电路的联接方式以及电路中所有电阻和受控源都不能变动。 3）叠加时要注意电流和电压的参考方向，即各个电源单独作用产生的分电流或分电压的参考方向，与电路中全部电源共同作用产生的对应电流或电压的参考方向相同时取正号，反之取负号。 4）由于功率不是电流或电压的一次函数，所以不能用叠加定理来计算功率。

29. 例：应用叠加定理计算下图（a）所示电路中的电压 U 。 解：1）电压源单独作用时，分电路如图（b）所示，由图可得 解之得 2）电流源单独作用时，分电路如图（c）所示。由图（c）根据 KVL 可得 解之得 3）两个独立电源共同作用时，有

30. 2.8 等效电源定理及其应用 一、戴维南定理 任何一个线性含源二端网络，对外电路而言，可以用一个电压源与一个电阻的串联组合等效代替。此电压源的电压等于含源二端网络的开路电压 ，串联电阻等于含源二端网络的全部独立电源置零后的等效电阻 。 需要指出，上图中所示的外电路可以是无源二端网络，也可以是含源二端网络；可以是线性电路，也可以是非线性电路。 1、开路电压 的计算 只要根据题目要求将二端网络的两个与外电路相联的端子开路，然后应用等效化简法、网孔电流法、节点电压法或其他电路分析方法求得 。 2、无源二端网络等效电阻 的计算 通常采用以下三种方法： 1）若二端网络只含有独立电源和电阻时，一般采用电阻的串、并联和星形―三角形等效变换的方法求得等效电阻 。 2）若二端网络不仅含有独立电源和电阻，而且含有受控源，则应采用外加电法。 3）对于某些内部结构或元件参数未知的含源二端网络，可采用开路―短路法解。

31. 二、诺顿定理及其应用 根据两种实际电源的等效互换，得：一个线性含源二端网络 也可以简化为一个电流源和一个电导（或电阻）的并联组合。 诺顿定理指出：任何一个线性含源二端网络 ，对外电路而言，可以用一个电流源与一个电导（或电阻）的并联组合等效替代。