Modelagem Matemática Aplicada à Engenharia Civil

1. Modelagem Matemática Aplicada à Engenharia Civil Mara Sarro Pereira– Faculdade de Engenharia de Bauru– Dep. de Eng. Civil – mara_pereira2@hotmail.com Rubens de Figueiredo Camargo – Faculdade de Ciências – Dep. de Matemática – rubens@fc.unesp.br Introdução OsciladorHarmônicoFracionário   Sabemos que a equação diferencial na qual m, k, m. são constantes positivas, é a equação diferencial que descreve o deslocamento (elongação) de um sistema massa-mola com massa m, sujeito a uma força do tipo Hooke, k, em um meio onde o coeficiente de atrito tem módulo m e sujeito a uma força externa f(t). Resolvemos o caso do oscilador harmônico simples (m = 0 = f(t)), em sua versão fracionária, isto é, resolvemos a equação A derivada fracionária da equação anterior é a derivada de Caputo, a equação foi resolvida através da metodologia da transformada de Laplace e a solução é dada por: na qual é a conhecida função de Mittag-Leffler dada por Em diversas esferas de nosso meio, surgem problemas em que são necessárias descrições de funções a partir do conhecimento prévio de suas taxas de variação (em termos matemáticos, suas derivadas), isto é, da solução de uma equação diferencial. Nas últimas décadas vários autores ressaltaram que as derivadas e integrais de ordens não inteiras são muito satisfatórias na descrição das propriedades de materiais utilizados, tais como os polímeros. Foi provado que o assim chamado cálculo fracionário acaba por ser ainda mais útil em certas situações para descrição de modelos e propriedades que o já conhecido cálculo de ordem inteira. As derivadas fracionais fornecem um excelente instrumento para as descrições de propriedades hereditárias e de memória de diversos materiais e processos. Essa é a principal vantagem das derivadas fracionais quando comparadas com os clássicos modelos de integração habituais. A maneira mais comum de utilização do cálculo fracionário é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que descreve um determinado fenômeno, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, esse método nos conduz a equações diferenciais de ordem não-inteira e a necessidade de resolvê-las. Usualmente, a solução de uma equação diferencial fracionária é dada em termos de um parâmetro (ordem da derivada) e a solução da respectiva equação de ordem inteira é recuperada como caso particular deste parâmetro e em muitos casos a ordem da derivada que torna a solução da equação mais próxima da realidade não é inteira. No presente trabalho, estudamos o problema do oscilador harmônico simples em sua versão fracionária e mostramos que sua solução, para diferentes valores da derivada, refina a solução do oscilador harmônico amortecido, isto é, com a diminuição da ordem da derivada conseguimos recuperar o efeito de todos os atritos existentes em um sistema real. ComportamentoGráfico Note que, a medida que diminuímos a ordem da derivada, aumentamos o amortecimento, o que mostra que mudando a ordem da derivada conseguimos incorporar, com grande precisão, os atritos do sistema. Objetivo O principal motivo de solucionar Equações Diferencias consiste em obter uma previsibilidade melhor e mais detalhada das consequências do objeto que está sendo estudado. O cálculo fracionário tem parte de sua importância fundamentada nas derivadas de ordem não inteira, que refinam o procedimento e trazem uma melhor compreensão e modelagem de fenômenos naturais, sendo de grande auxílio e importância atualmente. Figura 1: Comportamento gráfico da função DerivadaFracionária Bibliografia Podemos definir, a integral de ordem n da seguinte forma: [1] W. E. Boyceand R. C. DiPrima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, Oitava Edição, LTC, Rio de Janeiro, (2006). [2] R. F. Camargo, “Cálculo Fracionário e Aplicações”, tese de doutorado, IMECC UNICAMP, 2009. [3] E. C. de Oliveira and J. E. Maiorino, “Introdução aos métodos da Matemática aplicada”, Editora Unicamp. [4] I. Podlubny, “Fractional Diferential Equations”, Technical University of Kosice, Slovak Republic, Academic Press. [5] D. C. Rosendo, “Sobre a função de MittagLeffer”, Editora Unicamp, maio de 2008. [6] H. Guidorizzi, “Um Curso de Cálculo”, Volume 2, 2001. Mostramos que o operador integral de ordem n, definido pela equação anterior, pode ser escrito como um integral simples (convolução de Laplace), da função f(t)com a função Gel’Fand-Shilov, , e desta forma definimos a integral fracionária como Sabe-se que a derivada é o operador inverso à esquerda da integral, no entanto, não aplicável à todos os casos. Agradecimentos Para tanto, Caputo desenvolveu um estudo cuja derivada é o operador inverso à direita da integral, ou seja, sendo n – 1 < a < n, temos