TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 28. April 2006

1. TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 28. April 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

2. ÜBERBLICK • Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen • Feynman-Regeln und –Diagramme Wiederholung: Crossing 2.11: Helizität und Chiralität • Lagrange-Formalismus und Eichprinzip 3.1 Eichprinzip 3.2 Lagrange-Formalismus 3.3 Masse und Polarisation des Photons SS06: Teilchenphysik II

3. WIEDERHOLUNG: CROSSING Vergleich der Reaktionen e-m- e-m- mit e-e+ m+m- (Vernachlässigung der Massen): Crossing-Symmetrie  Matrix-Element braucht nur einmal berechnet werden, da: auslaufendes Teilchen  einlaufendem Anti-Teilchen (Feynman-Stückelberg) SS06: Teilchenphysik II

4. WIEDERHOLUNG: CROSSING Einige QED-Reaktionen in führender Ordnung 3 1 2 4 t SS06: Teilchenphysik II

5. 2.11 HELIZITÄT UND CHIRALITÄT Helizität: Wahl: Impuls entlang der z-Achse  Chiralität: Operatoren: belieb. Spinor: für E>>m (einfache Gestalt von u1,2!): Rechtshändig: positive Helizität Linkshändig:negative Helizität Dirac Spinor: Parität: Fermion (imRuhesystem):Parität +1 Anti-Fermion:Parität –1 SS06: Teilchenphysik II

6. 2.11 HELIZITÄT UND CHIRALITÄT Linkshändige Teilchen haben mit W’keit b negative Helizität; rechtshändige Teilchen haben mit W’keit b positive Helizität. Die “falsche” Helizität tritt jeweils mit Wahrscheinlichkeit P = 1-bauf. Anmerkung: em-WW erhält die Chiralität i.e. Beweis: Ebenso erhält die starke WW die Chiralität, nicht aber die schwache WW, dessen Strom hat dieForm ( Paritätsverletzung) „Ausrichtungsgrad” (eines linkshändigen Spinors): Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, ein linkshändiges Teilchen in einem Zustand positiver Helizität zu finden? Wir stellen zuerst fest, dass gilt: Sei der Impuls in +z-Richtung: Dann: Ausrichtungsgrad (Polarisation) von uL: SS06: Teilchenphysik II

7. 3.1 EICHFREIHEIT DER ELEKTRODYNAMIK Da auch die Maxwell-Gleichungen (form-)unver-ändert bleiben • Eichinvarianz der Elektrodynamik. Einfacher in kovarianter Schreibweise mit dem Feldstärketensor F: Die Maxwell-Gleichungen lauten damit: Bemerkungen: – Durch Differenzieren der zweiten Gleichung folgt die Kontinuitätsgleichung.– Einsetzen der Definition von F in zweite Gleichung ergibt Wellengleichung für A.– Oft Wahl (Lorentz-Eichung, später nützlich): Am Beispiel der Maxwell-Gleichungen: Da das B-Feld divergenzfrei ist, kann man es als Rotation eines Vektorfeldes schreiben: Einsetzen in Gleichung für rot(E): Aber:  und A sind nicht eindeutig festgelegt: Mit beliebiger skalarer Funktion  und ergeben sich die gleichen Felder E und B. Fasst man  und A zusammen (Viererpotential) , dann lautet diese Eichtransformation: SS06: Teilchenphysik II

8. 3.1 EICHFREIHEIT UND QUANTEMMECHANIK Übertrag auf relativistische Wellengleichungen (Dirac): Definiere die kovariante Ableitung (Erinnerung an Dirac-Gleichung von Teilchen im EM-Feld!): Beachte Kopplung Elektron () – Photon (A)! Unter der kombinierten Eichtransformation … … ist die Dirac-Gleichung invariant! Man sieht, wie sich ein Prinzip andeutet: Eine (Symmetrie)-Operation führt zu invarianter Physik – etwas expliziter wird daraus das Noether-Theorem! Jetzt Anwendung auf Schrödinger-Gleichung: Wenn nun Eichtrafo durchgeführt wird, … dann muss es eine Funktion / geben, die die SGL erfüllt wird, da sonst die Maxwell-Gleichungen und die SGL unvereinbar wären. Ansatz: Dieser Ansatz funktioniert  Maxwell eichinvariant in QM unter folgender Eichtrafo: SS06: Teilchenphysik II

9. 3.1 LOKALE VERSUS GLOBALE EICHTRAFO Die Definition ist dabei gerechtfertigt, weil ja gilt … … und wir von der freien Dirac-Gleichung ausgegangen waren: A=0! Die lokal phasentransformierte Funktion erfüllt NICHT die freie Dirac-Gleichung, sondern die eines Teilchens in einem EM-Feld!! Falls schon anfangs Feld A vorhanden: Dann erfüllt die transformierte Wellenfunktion eine formgleiche Gleichung, wenn Wellenfunktion und Potential zusammen transformiert werden (Beweis in Übung!)! Absolute Phasen der Wellenfunktionen sind nicht messbar. Bei globaler Phasentrafo mit konstantem Phasenfaktor  … … bleiben Observablen erhalten: Anders sieht es bei einer lokalen Phasentrafo aus: Beispiel Dirac-Gleichung (ohne Felder): Welcher Wellengleichung gehorcht /? SS06: Teilchenphysik II

10. 3.1 DAS EICHPRINZIP Diese Idee wird im Standard-Modell ausgebaut: – Lokale Transformation bzgl. “schwacher Isospin” und “schwacher Hyperladung”  W,Z ! – Lokale Transformation bzgl. Farbladung  g ! Postulat:Die Dirac-Gleichung ist invariant gegenüber einer beliebigen lokalen Phasentransformation. Problem:Das ist im feldfreien Raum unmöglich! Konsequenz:Existenz eines Vektorfeldes A, das gleichzeitig transformiert werden muss! Vorgehen:Ersetzen der Ableitung  in der Dirac-Gleichung durch die kovariante Ableitung D= +iqA. Das Postulat der Eichinvarianz erzwingt also die Existenz des elektromagnetischen Feldes und die Form der Wechselwirkung zwischen diesem (Eich)Feld und den Dirac-Spinoren ! Beachte, dass die Transformation die (elektrische) Ladung q beinhaltet! SS06: Teilchenphysik II

11. 3.2 DER LAGRANGE-FORMALISMUS Ausweitung auf Felder (allgemein ):– Verallgemeinerte Koordinaten: L=L(, ).– Lagrange-Funktion  Lagrange-Dichte Anmerkung: Wirkung – Euler-Lagrange: Beispiel Klein-Gordon-Gleichung: … es folgt also: … was der ersten Definition der Klein-Gordon-Gleichung enstspricht: Klassische Mechanik: Lagrange-Funktion  Euler-Lagrange-Gleichung  Bewegungsgleichungen. Lagrange-Funktion: L=L(q,tq) verallg. Koordinaten q, tq. Euler-Lagrange: Beispiel: Punktteilchen: Ergebnis: Newtons Gesetz: Weiteres Beispiel: Harmonischer Oszillator. SS06: Teilchenphysik II

12. 3.2 DER LAGRANGE-FORMALISMUS Weiteres Beispiel: Dirac-Gleichung: – Ansatz für Lagrange-Dichte: • und  sind hier als zwei unabhängige Felder zu betrachten. Zwei Bemerkungen dazu: • In der klassischen Mechanik wird die Lagrange-Funktion mithilfe der Vorschrift L=T–V (T–U) gebildet. In der Quantenfeldtheorie werden dieLagrange-Dichten axiomatisch festgesetzt. • Die Kenntnis der Lagrange-Dichte erlaubt, mithilfe der verallgemeinerten Variablen (wie oben) oder über Pfadintegrale die Feynman-Regeln der Theorie abzuleiten und damit den dynamischen Teil von Wirkungsquerschnitten zu bestimmen. SS06: Teilchenphysik II

13. 3.2 ZUM NOETHER-THEOREM Ein Wort zum Noether-Theorem: Die Forderung, dass eine Lagrangedichte invariant sein soll unter (infinitesimaler) Eichtrafo führt zu Erhaltungsgröße: Diese Variation resultiertin Variation der Dichte: Die Forderung der Symmetrie der Physik resultiert in einer Erhaltungsgröße – dem Strom. SS06: Teilchenphysik II

14. 3.2 EICHPRINZIP IM LAGRANGE-FORMALISMUS Noch, weil es so toll ist: Das Prinzip der lokalen Eichinvarianz erzwingt die Existenz eines neuen Vektorfeldes und legt gleichzeitig die Form der Wechselwirkung der Teilchen mit dem Feld fest: Anmerkung: Das geht auch, wenn man von der Lagrange-Dichte ausgeht. Man fordert lokale Eichinvarianz der Lagrange-Dichte unter der Trafo: Aus der Lagrange-Dichte wird: Die Dichte des freien Teilchens ist also nicht invariant! Ausweg: 1. Kovariante Ableitung: 2. Feld A: Die neue Lagrangedichte ist invariant  KinetischerTerm Massen-Term Wechsel-wirkung,Kopplung q Eichinvarianz als dynamisches Prinzip SS06: Teilchenphysik II

15. 3.3 PHOTON: MASSE UND POLARISATION Wellengleichung des Photons im Vakuum: Mit dem Ansatz A=Nexp(–ikx) (kk=0 für reelle Photonen) ergibt die Lorentz-Bedingung: Der Polarisationsvektor des Photons ist also orthogonal zu seinem Viererimpuls; man kann sogar durch geschickte Eichung erreichen, dass gilt: Das Feld A hat vier Freiheitsgrade (DoF); einer davon wird durch die Lorentz-Eichung festgelegt. Forderung nach Masselosigkeit: noch zwei DoF.  Bei festgelegtem Impuls k=(0,0,k): Die Wellengleichung des Photons lautet (Lorentz-Eichung): Dieser Ausdruck ist invariant gegenüber der Transformation: Die Wellengleichung eines massiven Vektorbosons oder Feldes W mit Masse MW hingegen … … ist NICHT invariant (rechnen!) – für massive Vektorbosonen gibt es keine Eichinvarianz! Alternativer Weg: Ein Masseterm des Feldes A zerstört Invarianz: Linear transversal zirkular SS06: Teilchenphysik II