Estrutura de Dados e Algoritmos e Programa o e Computadores II

1. Estrutura de Dados e Algoritmos e Programa��o e Computadores II Aula 7: �rvores

2. �rvores Conceitos e terminologia �rvores bin�rias �rvores-B Inclus�o e Exclus�o Introdu��o aos grafos

3. �rvores As listas ligadas usualmente fornecem maior flexibilidade do que as matrizes, mas s�o estruturas lineares e � dif�cil us�-las para organizar uma representa��o hier�rquica de objectos. Pilhas e Filas limitam-se a somente uma dimens�o. A �rvore consiste de n�s e arcos, que ao inverso das �rvores naturais s�o representadas de cima para baixo, com a raiz no topo e as folhas na base.

4. �rvores A raiz � um n� que n�o possui ancestrais; ele s� possui n�s filhos. As folhas n�o possuem n�s filhos, ou seus filhos s�o estruturas vazias. Exemplo:

5. �rvores Mais exemplos:

6. �rvores Cada n� tem que ser ating�vel a partir da raiz atrav�s de uma sequ�ncia �nica de arcos, chamada de caminho. O n�mero de arco de um caminho � chamado de comprimento do caminho. O n�vel de um n� � o comprimento do caminho da raiz ao n� mais 1, que � o n�mero de n�s no caminho. A altura de uma �rvore n�o vazia � o n�vel m�ximo de um n� na �rvore.

7. �rvores O n�mero de filhos permitido por n� e as informa��es armazenadas em cada n� diferenciam os diversos tipos de �rvores existentes. Exemplo: na �rvore da express�o (3+6)*(4-1)+5 os n�s folhas possuem valores e os n�s intermedi�rios possuem opera��es

8. �rvores O n�mero de filhos de um n� � chamado grau de sa�da desse n�. Um n� folha � aquele com grau de sa�da nulo, ou tamb�m n� terminal. Um n� que n�o � folha (isto �, possui grau de sa�da diferente de zero) � chamado n� interior ou n� interno, ou tamb�m n� n�o-terminal. O grau de uma �rvore � o m�ximo entre os graus de seus n�s. Uma floresta � um conjunto de zero ou mais �rvores.

9. Percurso em �rvores O percurso em �rvores � o processo de visitar cada n� da �rvore exactamente uma vez. O percurso pode ser interpretado como colocar todos os n�s em uma linha. Mas qual a ordem? Existem n! percursos diferentes, quase todos ca�ticos. Os b�sicos s�o percurso em profundidade e percurso em extens�o (largura).

10. Percurso em �rvores Um percurso em extens�o � visitar cada n� come�ando do menor n�vel e move-se para os n�veis mais altos n�vel ap�s n�vel, visitando cada n� da esquerda para a direita. Sua implementa��o � directa quando uma fila � utilizada. Depois que um n� � visitado, seus filhos, se houver algum, s�o colocados no final da fila e o n� no in�cio da fila � visitado. Assim, os n�s do n�vel n+1 ser�o visitados somente depois de ter visitados todos os n�s do n�vel n.

11. Percurso em �rvores Breadth - First Search (BFS)

12. Percurso em �rvores O percurso em profundidade prossegue tanto quanto poss�vel � esquerda (ou direita), ent�o se move para tr�s at� a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita (ou esquerda) e novamente, tanto quanto poss�vel, para a esquerda (ou direita). Repete-se este processo at� que todos os n�s sejam visitados.

13. Percurso em �rvores Depth - First Search (DFS)

14. Percurso em �rvores

15. �rvores Bin�rias Uma �rvore bin�ria � uma �rvore cujos n�s t�m 2 filhos (possivelmente vazios) e cada filho � designado como filho � esquerda ou filho � direita. O n�mero de folhas � uma importante caracter�stica das �rvores bin�rias para mensurar uma efici�ncia esperada de algoritmos. Uma �rvore bin�ria � conhecida como completa se todos os n�s em todos os n�veis, excepto o �ltimo, tiverem 2 filhos.

16. �rvores Bin�rias Assim haveria, 20 = 1 n�s no n�vel 1, 21 = 2 n�s no n�vel 2, 22 = 4 n�s no n�vel 3 e, na forma geral, 2i n�s no n�vel i+1. Para todas as �rvores bin�rias n�o-vazias cujos n�s terminais tenham exactamente 2 filhos n�o-vazios, o n�mero de folhas m ser� o n�mero de n�s n�o-terminais k mais 1. (m = k + 1) Se uma �rvore tem somente uma raiz, essa observa��o � trivialmente v�lida.

17. �rvores Bin�rias Se ela for v�lida para uma certa �rvore, ent�o, depois de anexar 2 folhas a uma das folhas j� existentes, essa folha se torna um n� n�o-terminal (m � subtra�do de 1 e k � adicionado de 1). No entanto, 2 novas folhas s�o enxertadas na �rvore (m � adicionado de 2).

18. �rvores Bin�rias

19. �rvores Bin�rias de Busca Para cada n� da �rvore, todos os valores armazenados em sua sub-�rvore � esquerda s�o menores que o valor armazenado no pr�prio n�, e todos os valores armazenados na sub-�rvore � direita s�o maiores que o pr�prio n�.

20. �rvores Bin�rias de Busca Um algoritmo para localizar um elemento nessa �rvore � bastante directo. Para cada n�, compare a chave com o valor armazenado no n� correntemente apontado. Se for menor, v� para a sub-�rvore � esquerda. Se for maior, v� para a sub-�rvore � direita. Se for a mesma, a busca chegou ao fim. Se n�o houver como continuar, a chave n�o est� na �rvore.

21. Percurso em �rvores Bin�rias void BreadthFirst() { Queue q; Node *p = root; if (p != 0) { q.enqueue(p); while (!q.empty()){ p = q.dequeue(); visit(p); if (p->left != 0) q.enqueue(p->left); if (p->right != 0) q.enqueue(p->right); } } }

22. Percurso em �rvores Bin�rias void inorder(Node *p) { if (p != 0) { inorder(p->left); visit(p); inorder(p->right); } } void preorder(Node *p) { if (p != 0) { visit(p); preorder(p->left); preorder(p->right); } }

23. �rvores Bin�rias de Busca Como ser� a inser��o em uma �rvore bin�ria de busca? E como ser� a remo��o em uma �rvore bin�ria de busca? No n� folha? No n� raiz? No n� intermedi�rio?