UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

1. UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva Controladores PID

2. Controladores PID • Controlador Proporcional • Controlador PI A Relação entre a saída e o sinal de erro e(t) é dada pelo ganho Kp Onde: Kp é o ganho Proporcional Ti é o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento) Onde Kp é denominado Sensibilidade proporcional ou ganho

3. Controladores PID • Controlador PD • Controlador PID Onde: Kp é o ganho Proporcional Ti é o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento) Td é o Tempo Derivativo. Onde: Kp é o ganho Proporcional Td é o Tempo Derivativo.

4. Controladores PID • Controladores PID • Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam esquemas de Controle PID. • A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu desempenho robusto sobre uma grande faixa de condições operacionais e a sua simplicidade operacional. • Para se implementar um Controlador PID, três parâmetros devem ser determinados: • Ganho Proporcional Kp • Ganho Integral Ki • Ganho Derivativo Kd • O processo de selecionar os Parâmetros do Controlador que garantam uma dada especificação de desempenho é conhecido como Sintonia do Controlador.

5. Controladores PID • Seja o sistema:

6. Controladores PID • Características das Ações Proporcional, Integral e Derivativa • O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a diminuir o tempo de subida (tr), diminuindo adicionalmente o erro de regime permanente. • O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode piorar a resposta transitória do sistema. • A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitória. • Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela conjunção destas ações de controle, pode não seguir exatamente as especificações observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser empregada somente como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao encargo do projetista.

7. Sim O Modelo do Processo é Linear e Invariante no t? Sim Bode Root-Locus Espaço de Estados • Controladores PID Sintonização de Controladores PID O Modelo do Processo é Disponível? Não Não Tentativa e Erro? Método de Ziegler-Nichols Não Otimização Numérica

8. Controladores PID • Índices de Desempenho • Um índice de desempenho pode ser calculado e usado para se medir o desempenho de um sistema. • Essa medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para a operação e otimização de sistemas de controle, segundo especificações pré-determinadas em projeto. • Um sistema para ser considerado “o melhor” deve ser tal que minimize o índice de desempenho, que será um valor positivo ou nulo. • Existem alguns índices de desempenho a saber: • ISE – Integral do Quadrado do Erro • IAE – Integral do Valor Absoluto • ITAE – Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absoluto • ITSE – Integral do Erro Multiplicado pelo Quadrado do Erro

9. Controladores PID • Índices de Desempenho • Um índice de desempenho éuma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações consideradas importantes do sistema

10. Controladores PID

11. Controladores PID • Estas curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE em comparação com o ISE e ITSE. • O valor mínimo da relação de amortecimento com base no índice ITAE é de 0,7, que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rápida ao degrau com um Máximo de sobre sinal de 4,6%.

12. Controladores PID • Os coeficientes que minimizarão o critério de desempenho ITAE para uma entrada em degrau foram determinados para a função de transferência de malha fechada genérica da seguinte forma: • Esta função possui erro estacionário nulo para uma entrada em degrau. • Os coeficientes ótimos para o critério ITAE são dados na seguinte tabela:

13. Controladores PID • Método da Otimização • Para usar este método parte do pressuposto que os modelos matemáticos da planta são conhecidos e portanto podemos analiticamente encontrar a função de transferência do sistema. • Esse método usa o índice de desempenho ITAE e os coeficientes ótimos resultantes dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorf pag.205). • Os Parâmetros escolhidos são tais que minimizam o índice de desempenho ITAE. • O procedimento de Projeto consiste nos 3 passos a seguir: • Selecionar ωn do sistema em malha fechada especificando o tempo de acomodação. • 2. Determinar os 3 coeficientes usando a equação ótima apropriada e o valor de ωn encontrado. • Usar um filtro que faça com que a função de transferência de malha fechada não tenha zeros.

14. Controladores PID • Exemplo • Considere um controlador de temperatura com um sistema de controle da seguinte forma: • Onde • Se Gc(s)=1, o erro estacionário é 50% e o tempo de acomodação (2%) é de 4 segundos. Para uma entrada em degrau. • Deseja-se obter um desempenho ITAE ótimo para um degrau unitário e um tempo de acomodação menor que 0,5 s, usando um controlador PID.

15. Controladores PID • Método de Ziegler-Nichols • Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID baseadas na resposta experimental ao degrau. • Essas regras são muito úteis quando os modelos matemáticos são desconhecidos. • Os resultados de Kp, Ki e Kd, são bem próximos do ideal, mas caso apresentem valores de sobre sinal elevados, o operador deve realizar uma sintonia fina até que um resultado aceitável seja alcançado. • A partir dos estudos de Ziegler e Nichols, surgiram outras várias regras de sintonias para controladores PID que podem ser conseguidas com fabricantes desse tipo de controlador. • Existem 2 metodos de regras de sintonia de Ziegler-Nichols

16. Controladores PID • Método da Curva de Reação • Esse método se aplica se a curva da resposta da planta a uma entrada em degrau tiver o aspecto de uma letra S. • Isso ocorrerá se a planta não possuir integradores nem pólos complexos dominantes. Atraso de Transporte

17. Controladores PID • Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo. • Note que o controlador sintonizado por este método fornece: O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -1/L

18. Controladores PID • Método do Limiar de Oscilação • Neste método faremos inicialmente as constantes Ki = ∞, e Kd = 0, trabalhando apenas com a ação de controle proporcional. • Experimentalmente vamos aumentar o valor de Kp até que a resposta do sistema apresente uma oscilação sustentada pela primeira vez. A esse valor de Kp daremos a notação de Kcr(ganho crítico). • O período da senóide encontrada será o nosso Pcr (período crítico).

19. Controladores PID • Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo. • Note que o controlador sintonizado por este método fornece: O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -4/Pcr

20. Método do Limiar de Oscilação: P h(t) c t Oscilação com Kp = Kc • Controladores PID Ziegler-Nichols Método da Curva de Reação: h(t) PID em Manual K t T L

21. Controladores PID • Exemplo • Considere o sistema de controle mostrado na figura, no qual um PID é utilizado para controlar o sistema • O PID tem a seguinte função de Transferência • Obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o sistema projetado exibe aproximadamente 25% de máximo sobre-sinal. Se o Mp for maior que 40%, faça uma sintonia fina e reduza para Mp = 25%.

22. Controladores PID • Solução • Como a planta tem um integrador, vamos utilizar o segundo método de Zigler e Nichols, o método do limiar de oscilação. • Portanto fazendo Ki = ∞, e Kd = 0, obtemos a seguinte função de trsnferência de malha fechada. • A equação característica dessa função de transferência é: • Pela análise de Routh podemos saber o valor de Kcr.

23. Controladores PID • Portanto a equação característica para Kcr é: • Fazendo s=jw temos: • Donde tiramos que: • Portanto: • Pela regra de ziegler-Nichols, encontramos portanto os valores de Kp, Ki e Kd :

24. Controladores PID Substituindo na função de transferência de um controlador PID temos: Verificamos que o controlador PID tem um pólo na origem e um zero duplo em s = -1,4235

25. Controladores PID Para encontrarmos a resposta ao degrau unitário, fechamos a malha e jogamos a função de transferência de malha fechada no MATLAB. Máximo de sobre sinal em torno de 62%

26. Controladores PID Fazendo ajustes finos podemos chegar a resposta desejada. Máximo de sobre sinal Menor que 25%