BELİRLİ İNTEGRAL

1. BELİRLİ İNTEGRAL

2. KONUNUN AŞAMALARI KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

3. KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI a b         x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn } [a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)

4. Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için; xk= xk –xk-1 sayısı [xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu

5. x1= x1 –x0 x2= x2 –x1 Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere x3= x3 –x2 .................... xn= xn –xn-1 [a.b] aralığının uzunluğu b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn

6. x1= x1 –x0 x2= x2 –x1 Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse x3= x3 –x2 .................... xn= xn –xn-1 P bölüntüsüne [a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.

7. = P xk= P düzgün bir bölüntü ise; [a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.

8. x1= x2= x3= ÖRNEK: [2,7] ARALIĞI İÇİN P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. ?

9. y x 0 y=f(x) m3 mn m4 m2 m1 xk xn x1 x2 x3 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b ALT TOPLAM

10. y x 0 y=f(x) M3 Mn MK M2 M1 xk xn x1 x2 x3 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b ÜST TOPLAM

11. y x 0 y=f(x) f(t2) f(tk) f(tn) f(t1) a=x0 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 xn x1 t1 tn x2 xk xn x1 RİEMANN TOPLAMI

12. Bu toplamlar arasındaki sıralama Alt Toplam Rieman Toplamı Üst Toplam

13. ÖRNEK: f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için; [0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek; A Alt toplamını B Üst toplamını C Riemann toplamını bulalım:

14. P, düzgün bir bölüntü olduğundan x1= x2= x3= x4= P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}

15. y x 0 A Alt toplamı y=x2 m2=f(1/2)=1/4 m1=f(0)=0 m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4 1/2 1 3/2 2

16. y x 0 B Üst toplamı y=x2 M2=f(1)=1/4 M1=f(1/2)=1/4 M3=f(3/2)=9/4 M4=f(2)=4 1/2 1 3/2 2

17. y x 0 C Riemann toplamı: y=x2 1/2 1 3/2 2

19. TANIM: f:[a,b]  R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun. ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.

20. olması ne demektir? [a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir. Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

21. P parçalanması, düzgün bir parçalanma olduğundan;

22. ÖRNEK: belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım: [0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek; k{0,1,2,....,n} için,

24. ? YANİ

25. İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ f: [a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle- nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b]  R fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve  x(a,b) için, F’(x)=f(x) ise,

26. ÖRNEK:

27. f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;    sinx 3(-cosx)   BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ + = = +

28. +   sinx 3(-cosx)   -3.[(cos - cos(/2)] + [sin  - sin (/2)] [-3.((-1)+3.0)] + (0-1) 2

32. [a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;