9 無窮級數

9 無窮級數 Infinite Series

9.1 數列 9.2 級數和收歛 9.3 積分檢定和 p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式檢定 9.7 泰勒多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 泰勒和馬克勞林級數

P.449 Ch9 無窮級數 9.7 泰勒多項式和近似值(Taylor Polynomial and Approximations) 基本函數的多項式近似(Polynomials approximations of elementary functions) 如果要找一個多項式 P 近似另一個函數 f，方法是先在 f 的定義域中選一個點 c，讓 P 和 f 在 c 取同樣的值，亦即 P(c) = f (c)。從幾何觀點看來，P(c) = f (c) 等於是要求 P 的圖形過點 (c , f (c))。當然，有無窮多個這樣的多項式，我們要找的是在此點附近和 f 的圖形最為相似的多項式。因此，可以再多加一個要求，即此一多項式在 (c , f (c)) 的切線斜率也和 f 相同，即 P’(c) = f’(c)。在以上兩個要求下，可得到一個 f 的最佳線性近似，如圖9.10 所示。

P.449 Ch9 無窮級數圖9.10在(c, f (c)) 附近P的圖形近似f的圖形。

P.450 Ch9 無窮級數例 1f (x) = ex的一次多項式近似求與f(x) = ex在 x = 0的值和斜率都符合的一次多項式。解　由於 f (x) = ex且 f’ (x) = ex。f (x) 在 x = 0 的值和斜率分別是 f(0) = e0 = 1 和 f’(0) = e0 = 1。因為 P1(x) = a0+ a1x，由條件 P1(0) = f (0) 可得 a0 = 1，又因 P1’(x) = a1，由條件 P1'(0) = f' (0) 可得 a1 = 1。因此，P1(x) = 1 + x。圖9.11 是 P1(x) = 1 + x 和 f (x) = ex的圖形。

P.450 Ch9 無窮級數圖9.11P1是 f (x) = ex的一次多項式近似。

P.450 Ch9 無窮級數圖9.12P2是 f (x) = ex的二次多項式近似。

P.450 Ch9 無窮級數例 2f (x) = ex的三次多項式近似列表說明多項式和 f (x) = ex在 x = 0 附近近似的情形。解　以電腦計算作出下表，注意兩者在 x = 0 時相合，但當 x 遠離 0 時近似的準確度逐漸遞減。

P.451 Ch9 無窮級數圖9.13P3是f (x) = ex的三次多項式近似。

如果 f 在 c 有 n 階導數則 稱為 f 在 c 的 n 次泰勒多項式，如果 c = 0，則也稱為 f 的 n 次馬克勞林多項式。 P.451 Ch9 無窮級數 n次泰勒多項式和n次馬克勞林多項式的定義 (Definition of Taylor polynomials and Maclaurin Polynomials) (nth Maclaurin Polynomials for f) (nth Maclaurin Polynomials for f)

P.451 Ch9 無窮級數例 3f (x) = ex的馬克勞林多項式求 f (x) = ex的 n 次馬克勞林多項式。解　從前一頁的討論，f (x) = ex的 n 次馬克勞林多項式是

P.452 Ch9 無窮級數例 4求 ln x的泰勒多項式求 f (x) = ln x 在 c = 1 的泰勒多項式 P0、P1、P2、P3和 P4。解f (x) 在 c = 1 展開，得到下列數據： f (x) = ln xf (1) = ln 1 = 0

P.452 Ch9 無窮級數例 4（續）因此，相關的泰勒多項式如下： P0(x) = f (1) = 0 P1(x) = f (1) + f’(1)(x – 1) = (x – 1)

P.452 Ch9 無窮級數例 4（續）圖9.14 比較了 P1、P2、P3、P4和 f (x) = ln x 的圖形。注意到在 x = 1 附近圖形非常貼近，例如， P4(0.9) ≈ –0.105358，而 ln (0.9) ≈- 0.105361。

P.452 Ch9 無窮級數圖9.14當n遞增時在x = 1 附近，圖形Pn近似圖形 f (x) = ln x的情形越來越好。

P.453 Ch9 無窮級數例 5求cos x的馬克勞林多項式求 f (x) = cos x 的馬克勞林多項式 P0、P2、P4和 P6，並以 P6(x) 求 cos(0.1) 的近似值。解　在 c = 0 展開 f (x)，得到下列數據： f (x) = cos xf(0) = cos 0 = 1 f’(x) = –sin xf’(0) = –sin 0 = 0 f’’(x) = –cos xf’’(0) = –cos 0 = –1 f’’’(x) = sin xf’’’(0) = sin 0 = 0 繼續微分，可以看出 1，0，–1，0 的規律重複出現，因此得出馬克勞林多項式。

P.453 Ch9 無窮級數例 5（續） P0(x) = 1 以 P6(x) 代 x = 0.1 得到 cos (0.1) ≈ 0.995004165，此近似值與計算器符合到 9 位小數。圖9.15 比較了f (x) = cos x 和 P6的圖形。

P.453 Ch9 無窮級數圖9.15在(0,1) 附近，P6的圖形可以近似f (x) = cos x的圖形。

P.453 Ch9 無窮級數例 6求sin x的泰勒多項式求 f (x) = sin x 在 c =π/ 6 的第三個泰勒多項式。解f (x) 在 c =π/ 6 展開，得到下列數據。

P.453 Ch9 無窮級數例 6（續）所以，f (x) = sin x 在 c =π/6 展開的第三個泰勒多項式是圖9.16 比較了 f (x) = sin x 和 P3的圖形。

P.453 Ch9 無窮級數圖9.16在(π/6, 1/2) 附近，P3的圖形可以近似f (x) = sin x的圖形。

P.454 Ch9 無窮級數例 7以馬克勞林多項式求近似值利用第四個馬克勞林多項式求 ln (1.1) 的近似值。解　由於 1.1 比較靠近 1，我們應該用函數 g(x) = ln (1 + x) 的馬克勞林多項式。 g(x) = ln (1 + x) g(0) = ln (1 + 0) = 0 g’(x) = (1 + x)–1g’(0) = (1 + 0)–1 = 1 g’’(x) = –1(1 + x)–2g’’(0) = –1(1 + 0)–2 = –1 g’’’(x) = 2(1 + x)–3g’’’(0) = 2(1 + 0)–3 = 2 g(4)(x) = –6(1 + x)–4g(4)(0) = –6(1 + 0)–4 = –6 注意所得的數據與例 4 相同，因此 g(x) = ln (1 + x) 的第四個馬克勞林多項式是

與例 4 的差異只是此處以 x 代替了例 4 中的 x – 1。再以 P4(0.1) 求近似值得到 ln(1.1) = ln (1 + 0.1) ≈ P4(0.1) ≈ 0.0953083 若將例 4 中的 x 以 1.1 代入，所得與此處相同。 P.454 Ch9 無窮級數例 7（續）

準確值 近似值餘項 P.455 Ch9 無窮級數泰勒多項式的餘項(Remainder of a Taylor polynominals) 如果一個求近似值的技術無法掌握準確度的話，技術本身很難有好的應用。我們定義 f (x) 被泰勒多項式 Pn(x) 近似的餘項如下：也就是說 Rn(x) = f (x) –Pn(x)，Rn(x) 的絕對值稱為近似值的誤差，亦即 (Langrange form remainder) (exact) (Approximate)

P.455 Ch9 無窮級數定理9.19泰勒定理 (Taylor Theorem) (Proof can be found in Appendix A16, using Rolle’s theorem)

P.456 Ch9 無窮級數例 8決定近似值的準確度 f (x) = sin x 的第三個馬克勞林多項式是請以 P3(0.1) 近似 sin(0.1) 並決定近似值的準確度。解　由泰勒定理可得式中，0 <z < 0.1，因此由於 f (4)(z) = sin z，誤差 |R3(0.1)| 的大小可以估算如下這表示 0.099833 < sin(0.1) = 0.099833 + R3(x) < 0.099833 + 0.000004 0.099833 < sin(0.1) < 0.099837

P.456 Ch9 無窮級數例 9要求準確度的近似值若要求近似 ln(1.2) 精確到 0.001，則在 c = 1 要取幾次的泰勒多項式？解　先將 f (x) = ln(x) 的 (n + 1) 次導函數算出由泰勒定理，誤差 |Rn(1.2)| 的大小可以估算如下

P.456 Ch9 無窮級數例 9（續）式中 1 < z < 1.2， (0.2)n+1/zn+1(n+1) 小於 (0.2)n+1/n+1。所以，我們要求一個 n 值使得以 n 代一些值試試，只要取 n = 3 就可以滿足所求。

9 無窮級數

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