Download
1 / 31
320 likes | 484 Vues
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky. Přednáška 02 Množiny, relace jiri.cihlar@ujep.cz. Matematika I. KIG / 1MAT1. O čem budeme hovořit:. Rovnost a inkluse množin Operace s množinami Vlastnosti množin Vázané kvantifikátory Kartézský součin množin
E N D
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 02 Množiny, relace jiri.cihlar@ujep.cz Matematika I. KIG / 1MAT1
O čem budeme hovořit: Rovnost a inkluse množin Operace s množinami Vlastnosti množin Vázané kvantifikátory Kartézský součin množin Binární relace v množinách
Co to jsou množiny? Intuitivně se pojem množiny zavádí tak, že je to: soubor určitých objektů, u kterého je možné rozhodnout, zda libovolně zvolený objekt do souboru patří či nepatří. Příklady: • Množinu můžeme určit výčtem jejích prvků: například { 1; a;#}. • Množinu můžeme určit charakteristickou vlastností jejích prvků: například { x; x > 100 }.
Kdy se dvě množiny sobě rovnají?Kdy jsou ve vztahu inkluse? Aby byly množiny A , B sobě rovny, musí se skládat z týž prvků, tedy definujeme: A = B (x) x A x B Aby byla množina A „částí“ množiny B, musí být každý prvek množiny A také prvkem množiny B, proto definujeme: A B (x) x A x B
Věta o rovnosti množin Inklusi si představíme snadno: fakt, že množina A je „částí“ množiny B, přesněji množina A je podmnožinou množiny B, znázorníme takto: Zřejmě platí tato věta: A B B A A = B Jak jí dokážeme?
Průnik množin Průnik množin A, Bbude budeme označovat A B . Je to množina takových prvků, které náleží oběma těmto množinám. Definicex A B x A x B A B = { x ; x A x B }
Sjednocení množin Sjednocení množin A, Bbude budeme označovat A B . Je to množina takových prvků, které náleží alespoň jedné z těchto množin. Definicex A B x A x B A B = { x ; x A x B }
Rozdíl množin Rozdíl množin A, Bbude budeme označovat A B . Je to množina takových prvků, které náleží první množině, ale zároveň nenáleží druhé množině. Definicex A B x A x B A B = { x ; x A x B }
Univerzální třída a prázdná množina Třída, která obsahuje všechny myslitelné objekty se označuje V anazývá seuniverzální třída . Množina, která neobsahuje žádný prvek, se označuje anazývá seprázdná množina . Definice x V x = xx x x V = { x ; x = x } = { x ; x x }
Doplněk množiny Rozdíl V A budeme nazývat doplňkem množiny A a označovat A . Doplněk množiny obsahuje všechny prvky, které do původní množiny nepatří. Definicex A x A A = { x ; x A }
Jak dokazovat věty o vlastnostech množin? Dokažme například větu: A ( B C ) ( A B ) ( A C ) Máme dvě možnosti. 1) Problém můžeme převést podle definic na tautologii: (x) x A ( B C ) x ( A B ) ( A C ) atd. 2) Užijeme tzv. Vennovy diagramy:
Důležité věty o vlastnostech množin A B = B A ( A B ) C = A ( B C ) A B = B A ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) A = A A = A A = A V = A = A ( A B ) = ( A ) ( B ) ( A B ) = ( A ) ( B ) A B A A A B A B B B A B A B A B = A A B A B = B
Vázané kvantifikátory V matematice často používáme nejenom formule (x) (x)nebo (x) (x)ale také formule tvaru (xA) (x)nebo (xA) (x). Jejich význam je tento: (xA) (x) (x) xA (x) (xA) (x) (x) xA (x) Rozmyslete si, jak se negují vázané kvantifikátory! Zjistěte, zda jsou vázané kvantifikátory vůči některým logickým spojením „distributivní“!
Uspořádané dvojice V matematice často pracujeme s pojmem uspořádaná dvojice. (Setkali jste se s ním například u souřadnic bodů v rovině.) Jsou-li dány objekty, například a, b, c, d, e , můžeme z nich vytvářet uspořádané dvojice, například: a;b] , a;c] , b;d] , d;b] , c;b] , e;e] , atd. V uspořádaných dvojicích je podstatné, který objekt je prvním členem dvojice, a který objekt je druhým členem dvojice.
Kartézský součin tříd (množin) Definice: Pro každé dvě třídy (množiny) A, B definujeme jejich kartézský součin A B takto: A B = {a;b ; aA bB } Příklad: Pro množiny K = {a;b;c}, L = {1;2}jsou kartézské součiny tohoto tvaru: K L = {a;1;a;2; b;1; b;2; c;1; c;2} L K = {1;a;1;b; 1;c; 2;a; 2;b; 2;c}
Představa kartézského součinu Z množin K = {a;b;c}, L = {1;2} je vytvořen kartézský součin: K L = {a;1;a;2; b;1; b;2; c;1; c;2}
Důležité věty o kartézském součinu A B B A K ( A B ) = (K A) (K B) K ( A B ) = (K A) (K B) K ( A B ) = (K A) (K B) K = K = A B K A K B
Binární relace v množinách A, B Definice: Množinu R nazýváme binární relací v množinách A, B právě tehdy, když R A B . Binární relace znázorňujeme spojnicovými nebo kartézskými grafy.
Úmluvy o zápisech Jestliže platí x R y , zapisujeme to x y R . Příklady: Protože platí 2 < 3 , zapisujeme to 2 3 < . Protože platí 5 5 , zapisujeme to 5 5 . Protože platí 3 9 , zapisujeme to 3 9 . Protože neplatí 8 < 3 , zapisujeme to 8 3 < . Protože neplatí 4 7 , zapisujeme to 4 7 .
První a druhý obor relace R Definice: Nechť je dána relace R A B . Prvním oborem relace R nazýváme množinu ⃞R = xA (yB) x R y , druhým oborem relace R nazýváme množinu R ⃞ = yB (xA) x R y . Jak určíme oba obory z grafů relace R ?
Inverzní relace R-1 k relaci R Definice: x R-1 y platí právě tehdy, když y R x . Tedy x y R-1právě tehdy, když y x R . Z toho plyne, že je-li R A B , pak R-1 B A . Příklady: Binární relace > je inverzní k binární relaci < . Binární relace „být dělitelem“ je inverzní k binární relaci „být násobkem“ . Jak vypadají grafy inverzní relace?
Doplňková relace –Rk relaci R Definice: x (–R) y platí právě tehdy, když neplatí x R y . Tedy x y (–R) právě tehdy, když x y R . Příklad: Binární relace je doplňková k binární relaci > . Jak vypadají grafy doplňkové relace?
Relace složená z dvou relací R a S Definice: Nechť jsou dány relace R a S. x R⃝S y platí právě tehdy, když (z) x R z z S y. Příklad: Binární relace „být babičkou z otcovy strany“ je složená relace z binárních relací „být matkou“ a „být otcem“. Jak zkonstruovat grafy složené relace?
Co je třeba znát a umět? • Vztahy rovnosti a inkluse množin, • definice a vlastnosti množinových pojmů (průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk), • důkazy vlastností pomocí logických tautologií či Vennových diagramů, • vázané kvantifikátory, • kartézský součin množin a jeho vlastnosti, • pojem binární relace v množinách, • spojnicový a kartézský graf relace, • obory relace, • inverzní, doplňkové a složené relace.
