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材料力学. 第三章 扭 转. B. O. A. . O. . A. B. m. m. §3–1 概 述. 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。. 扭转： 外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。. O. . . A. B. m. m. 扭转角（ ）： 任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（ ）： 直角的改变量。. §3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图.
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材料力学 第三章 扭 转
B O A O A B m m §3–1 概 述 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。 扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
O A B m m 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
§3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系： 其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m m x T m 二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩 3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 T x
m2m3m1m4 n A B C D [例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
m2m3m1m4 1 2 3 n A B C D 3 1 2 ②求扭矩（扭矩按正方向设）
m2m3m1m4 n A B C D – – ③绘制扭矩图 BC段为危险截面。 T 6.37 x 4.78 9.56
薄壁圆筒：壁厚 （r0：为平均半径） §3–3 薄壁圆筒的扭转 一、实验： 1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
´ a dy ´ b c d dx 2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 微小矩形单元体如图所示： ①无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
´ a dy ´ b t z c d dx 二、剪应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理。 三、剪切虎克定律：
T=m 剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件 ①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面 等直圆杆横截面应力 一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系： 距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。
t t max max 2. 物理关系： 虎克定律： 代入上式得： T
T dA O 令 3. 静力学关系： 代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。 式中： T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 单位：mm4，m4。
对于实心圆截面： 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 d D O
D d 对于空心圆截面： d O
t max 4. 应力分布 t t max max T T t max （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
由 知：当 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 5. 最大剪应力： Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
三、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： ([]称为许用剪应力。) 对于等截面圆轴： 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
m m C A B D2=75 D1=70 D3=135 [例2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。 解：①求扭矩及扭矩图 T m x ②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为
二、单位扭转角 ： 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 三、刚度条件 或 [ ]称为许用单位扭转角。
刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。
[例3]长为 L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8 ，G=80GPa，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。 解：①设计杆的外径
代入数值得： D 0.0226m。 ② 由扭转刚度条件校核刚度 40Nm T x
③右端面转角为： 40Nm T x
N1 N2 N3 A B C 500 400 [例4]某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º/m，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： T x (kNm) – 4.21 –7.024
N1 N2 N3 A B C 500 400 由刚度条件得： T (kNm) x –4.21 –7.024
综上： ②全轴选同一直径时
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
§3–6 等直圆杆的扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； ① 几何方程——变形协调方程； ② 物理方程； ③ 补充方程：由几何方程和物理方程得； ④ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 ⑤
[例5]长为 L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8 ，外径D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。 解：①杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。平衡方程为：
②几何方程——变形协调方程 ③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程： ④ 由平衡方程和补充方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。
§3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。
b t h max t T 1 ³ h b 注意！ 一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。 二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。 三、矩形杆横截面上的剪应力: 1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） 2. 最大剪应力：
