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Calcolo combinatorio elementare mediante immagini e poche formule…

Calcolo combinatorio elementare mediante immagini e poche formule…. Nota per fattoriale ! 0! = 1 1! = 1 2! = 1*2 =2 3! = 1*2*3 =6 4! = 1*2*3*4 = 24 5! = 1*2*3*4*5 = 120. Sia n il numero di oggetti tra loro distinguibili A, B C D .. Sia K un numero intero positivo minore o uguale a n

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Calcolo combinatorio elementare mediante immagini e poche formule…

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Presentation Transcript

  1. Calcolo combinatorioelementaremediante immaginie poche formule… Nota per fattoriale !0! = 11! = 1 2! = 1*2 =23! = 1*2*3 =64! = 1*2*3*4 = 245! = 1*2*3*4*5 = 120

  2. Sia n il numero di oggetti tra loro distinguibili A, B C D .. Sia K un numero intero positivo minore o uguale a n Disposizione semplice : gruppi di oggetti contenente k oggetti in modo che ogni gruppo differisca dagli altri o per qualche oggettoo per l’ordine secondo il quale vengono considerati N = 4 : A, B, C , D n ! / (n-1)! = 4! / (4-1)! = 1*2*3*4 / 1*2*3 = 24/6 = 4 Gruppi(1:1) :4 A, B, C, D Calcolo delle disposizioni in funzione di n, k Varia ordine Gruppi(2:2) :3 * 4 = 12 AB BA AB ACAD BABCBD CACBCD DADBDC ABACADBCBDCD AB CA Variano oggetti n ! /(n-2)! = 4! / (4-2)! = 1*2*3*4 / 1*2 = 24/2 = 12 Combinazioni = n! (n-k)!k! = 4! /(4-2)!2! = 1*2*3*4 /2!*2! = 24/4 = 6

  3. N = 4 : A, B, C , D Gruppi(3:3) : = 24 Combinazioni n! /(n-x)!x! = 4! /(4-3)!3! = 1*2*3*4 /1! *3!= 24/6 = 4 ABCABDACDBCD ABCACBBACBCACABCBA ABDADBBADBDADABDBA ACDADCCADCDADACDCA BCDBDCCBDCDBDBCDCB ACD ABC ABD BCD permutazioni n ! / (n-3)! = 4! / (4-3)! = 1*2*3*4 / 1 = 24 =2 4

  4. N = 4 : A, B, C , D Gruppi(4:4) : = 24 Combinazioni = n! /(n-k)!k! = 4! / (4-4)!4! = 24 / 0!24 = 1 ABCD permutazioni n ! / (n-4)! = 4! / (4-4)! = 1*2*3*4 / 0! = 24/1 =2 4 ACDBADCBCADBCDABDACBDCAB BCDABDCACBDACDBADBCADCBA ABCDACBDBACDBCADCABDCBAD ABDCADBCBADCBDACDABCDBAC

  5. Combinazioni: gruppi di oggetti con lo stesso numero di elementi dello stesso tipo,con la stessa frequenza, indipendentemente dalla loro disposizione AAB BAAABA Combinazione unica Permutazioni: gruppi di oggetti con lo stesso numero di elementi con tipo e frequenza variabile: se tipo e frequenza uguali, deve essere diversa la posizione AAB BAA ABBABC Permutazioni quattro

  6. n=4 ; k=3 quattro lettere prese 3 a 3 A,B,C,D ABCCBAACBBCACABBAC ABC Permutazioni = k! = 3! = 6 1 combinazione > 6 permutazioni AAB AABBAAABABABBBAABB Combinazioni = n! /(n-k)!k! = 24 / 6 = 4 Numero totale permutazioni = 4 * 6 = 24 n ! / (n-k)! 4! /(4-3)! = 24

  7. Numero oggetti n = 4 ; k = 3 :quattro oggetti scelti 3 a 3 Numero combinazioni = n ! / (n-k)!k! = 1*2*3*4 / 1!*1*2*3 = 24/6 = 4 Numero permutazione per data combinazione = k! = 3! = 1*2*3 = 6 Numero permutazioni totale = n! / (n-k)! = 1*2*3*4 / (1!) = 24 Numero permutazioni totale = numero combinazioni * k! = 4 * 1*2*3 = 24 ABCD 6 permutazioni ABCABDACDBCD 6 permutazioni 24 permutazioni 6 permutazioni 6 permutazioni

  8. Permutazione semplice di n oggetti: ogni gruppo contiene tutti glielementi :cambia solo la disposizione tra gli oggettinumero permutazioni semplici = n ! n = 3 k = n Pn = n! /(n-k)! = 1*2*3 /(0!) = 6/1 = 6 Pn = n! = 3! = 1*2*3 = 6 ABC 1,2,3 ROMA P4= 4! = 1*2*3*4 = 24 ABCCBAACBBCACABBAC 123321132231312213 ROMAAMORRAMOOMARRAOMMOARecc. Anagrammi…

  9. Combinazioni semplici : gruppi contenenti lo stesso numero di oggetticon almeno uno diverso rispetto ad ogni altro gruppo N oggetti : A, B, C, D , k=2 ABACADBCBDCD n=4 ; k=2 (4 su 2)= 4(4-2+1)/2! = 4*3/2 = 6 6 combinazioni Numero di combinazioni semplici di n oggetti distinti di classe k( n su k) = n * k / k! (n su k) = n (n-1)(n-2)(n-3)..(n-k+1 ) / k! n = 5; k = 2 (5 su 2)= 5(5-2+1) / 2! = 10 n=9 ; k=3 (9 su 3)= 9(9-1)(9-3+1) / 3! = 9*8*7/6 = 84 (7 su 5)= 7(7-1)(7-2)(7-3)(7-5+1) / 5! = 7*6*5*4*3 / 120 = 21 n=7 ; k=5

  10. Riposo…

  11. Composizione : stessi oggetti senza ordine preciso di uscita: sono equivalenti

  12. permutazioni : stessi oggetti con ordine preciso di uscita: non sono equivalenti

  13. Uscita senza precedenze, ordine.combinazione Uscita secondo precedenza, ordine:permutazione

  14. 6 cifre (1,2,3,4,5,6) :quanti numeri interi con tre cifre sono possibili ? n=6 ; k=3 P(n,k) = (n su k) = (6 su 3) = n(n-1)(n-2)(n-k+1)= 6*5*4=120 Con colori rosso, verde, bianco, giallo, quante bandiere tricolori possibili? n =4 ; k=3P(n,k)=(n su k) = (4 su 3) = n(n-1)(n-k+1)=4*3*2= 24 In quanti modi 4 persone possono occupare 5 posti numerati ? n=5 ; k= 4P(n,k)= (n su k) = (5 su 4) = n(n-1)(n-2)(n-k+1)= 5*4*3*2=120 Numero di anagrammi possibile con parola napoli ?n= 6Pn = n! 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720 In quanti modi possibile coprire 3 teste con 5 cappelli ? n=5 ; k =3P(n,k)= (n su k) = (5 su 3) = 5(n-1)(n-k+1)=5*4*3 = 60

  15. Con 90 numeri, quanti ambi, quanti terni sono possibili? n =90 ; k1= 2 ; k2 =3P(n,k1)=(n su k1)=(90 su 2)=n(n-k1+1)/k1! =90*89/2 = 4005P(n,k2)=(n su k2)=(90 su 3)=n(n-1)(n-k2+1)/k2! = 90*89*88/6 = 117480 Dati i numeri 1,3,4 quanti numeri ( di 3 cifre) cominciano con 3? n = 3 ; Pn = n! = 3! = 6 134, 143, 431, 413, 314, 341 In quanti modi diversi 3 persone possono occupare 3 su 4 posti ?n=4 ; k=3P(n.k)=(n su k)= (4 su 3) = n(n-1)(n-k+1)=4*3*2=24 Con 7 giocatori disponibili, quante linee di attacco con 5 sono possibili?n=7 ;k =5P(n,k)=(n su k)=(7 su 5)= n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)=7*6*5*4*3=2520 Quanti sono i numeri di 5 cifre diverse (esclusi 0, 3, 6 )?n = 7 ; k = 5p(n,k)=(n su k)=(7 su 5) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)=7*6*5*4*3=2520

  16. 5 punti su un piano, e mai 3 allineati: quanti triangoli sono possibili?n = 5; k=2P(n,k)=(n su k)=n(n-k+1)/k! = 5*4/2 = 10 A B ACBADCABDBCDAEDBEDCEDBEACEBCEA E C D

  17. 4 palline distinte come possono occupare i vertici di un quadrato?n = 4 ; k = 4Pn = n! = 4! = 1*2*3*4 =24 ABCDACBDBACDBCADCABDCBAD ACDBADCDCADBCDABDACBDCAB ABCD ACBD ABDCADBCBADCBDACDABCDBAC BCDABDCACBDACDBADBCADCBA BCAD BACD

  18. Esempi con immaginiper descrivere associazioni variecombinazioni, permutazionicon numero oggetti e classivariabili

  19. Permutazione: insieme di x oggetti ordinati estratti da n oggetticombinazione: insieme di x oggetti ,non ordinati, estratti da n oggetti Numero di permutazioni Px = n ! / (n-x)!Numero di combinazioni Cx = n! /(n-x)!x! Dati n oggetti (A, B, C) determinare le possibili associazioni permutazioni e combinazioni, prendendo due oggetti per voltan=3 ; x = 2 P2 = 3 ! / (3-2)! = 1*2*3 /1 ! = 6C2 = 3 ! / (3-2)!2! = 1*2*3 /1! 2! = 6 /1*1*2 = 6 / 2 = 3 A,B,C AC CA AB BA BC CB 6 permutazioni 3 combinazioni AB AC BC

  20. Numero di permutazioni Px = n ! / (n-x)!Numero di combinazioni Cx = n! /(n-x)!x! Oggetti n = 4; presi 3 per volta x=3 P3= 4 ! / (4-3) ! =1*2*3*4 / (1 !) = 24C3= 4 ! /(4-3)!3!=1*2*3*4 / (1 !)*1*2*3 = 24 /6 = 4 A, B, C, D ABC ACB BAC BCA CAB CBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA ABD ADB BAD BDA DAB DBA BCD BDC CBD CDB DBC DCB BCD ABD ACD ABC 4 combinazioni 24 permutazioni

  21. numero oggetti = nnumero oggetti per combinazione = xnumero di combinazioni = nCxnumero permutazioni per ogni combinazione = x !Numero totale permutazioni = nCx * x ! Oggetti n = 4; presi 3 per volta x=3 A, B, C, D ABC ACB BAC BCA CAB CBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA ABD ADB BAD BDA DAB DBA BCD BDC CBD CDB DBC DCB ABC ACD ABD BCD 24 permutazioni 4 combinazioni n = 4x = 3nCx = n ! / (n-x)!x! = 1*2*3*4 / (4-3)!3! = 24 / 1! * 1*2*3 =24/6 = 4nPx = x ! = 3 ! = 1*2*3 = 6nP = nCx * x! = 4 * 3! = 4*(1*2*3) = 24

  22. Oggetti n = 4; presi 3 per volta x=3 Disegnare diagramma ad albero Contare le combinazioni :4 Contare permutazioni per ogni combinazione : 6 Contare permutazioni totali : 4 * 6 = 24 n ! / ( n – k)! = 4 ! / (4-3)! = 1*2*3*4 / 1 = 24 A, B, C, D 4 combinazioni 24 permutazioni ABC ACB BAC BCA CAB CBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA ABD ADB BAD BDA DAB DBA BCD BDC CBD CDB DBC DCB ABC ACD ABD BCD Numero combinazioni = n ! (n – x)!x!nCx = n ! / (n-x)!x! = 1*2*3*4 / (4-3)!3! = 24 / 1! * 1*2*3 =24/6 = 4con n oggetti e classe x; permutazioni per combinazione = x!nPx = x ! = 3 ! = 1*2*3 = 6numero permutazioni totali = numero combinazioni * classe nP = nCx * x! = 4 * 3! = 4*(1*2*3) = 24

  23. Es. 5 oggetti (A,B,C,D,E) presi a 2 per volta : n=5; x =2 Numero combinazioni = n! (n-x)!x! = 5! (3!)*2! = 120 /12 = 10 AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE Numero permutazioni per classe = x ! = 1*2 =2 AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE AB,BAAC,CAAD,DAAE,EABC,CBBD,DBBE,EBCD,DCCE,ECDE,ED Numero permutazioni totale = nC * x ! = 10 *2! = 20 Nota :numero combinazioni (5 su 2) = (5 su 3) AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 5! /(5-2)!2! = 120 /3!*2! = 120 /12 = 10 5! /(5-3)!3! = 120 /2!*3! = 120/12 =10

  24. numero oggetti = nnumero oggetti per combinazione = xnumero di combinazioni = nCxnumero permutazioni per ogni combinazione = x !Numero totale permutazioni = nCx * x ! n = 4x = 3nCx = n ! / (n-x)!x! = 1*2*3*4 / (4-3)!3! = 24 / 1! * 1*2*3 =24/6 = 4nPx = x ! = 3 ! = 1*2*3 = 6nP = nCx * x! = 4 * 3! = 4*(1*2*3) = 24 Alcune formule per facilitare i calcoli

  25. Il codice genetico mette in relazione una sequenza formata da 3nucleotidi (indicati dalle basi azotate A, C, G, U) con specifici amminoacidi UUA > leuAUU > ileGUU > valUUG > leuUCC > serCCU > pro Si comprende la importanza che assume una associazione di tre basi considerata come combinazione UUA = AUU (contiene 2 U , 1 A)come permutazioneUUA <> AUU UUA AUUGUU UUGUCC CCUleu leuval valser ser combinazione UUAAUUGUUUUGUCCCCUleuileval leu ser pro permutazione Nei ribosomi il DNA trasformato in mRNA viene tradotto in proteinaassociando ad ogni tripletta (permutazione) il relativo amminoacido Se ogni tripletta fosse considerata come combinazione , la proteinatradotta sarebbe diversa da quella codificata nel DNA

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