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第十章 對稱成分與不平衡故障

第十章 對稱成分與不平衡故障. 10.1 序　言 10.2 對稱成分的基礎 10.3 相序阻抗 10.4 有載發電機之相序網路 10.5 單線對地故障 10.6 線對線故障 10.7 雙線對地故障 10.8 利用母線阻抗矩陣做不平衡故障分析 10.9 不平衡故障程式. 不平衡故障的不同型式有 單線對地故障 (single line-to-ground fault) 、線對線故障 (line-to-line fault) 與 雙線對地故障 (double line-to-ground fault) 。 。

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第十章 對稱成分與不平衡故障

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  1. 第十章 對稱成分與不平衡故障 • 10.1序　言 • 10.2對稱成分的基礎 • 10.3相序阻抗 • 10.4有載發電機之相序網路 • 10.5單線對地故障 • 10.6線對線故障 • 10.7雙線對地故障 • 10.8利用母線阻抗矩陣做不平衡故障分析 • 10.9不平衡故障程式

  2. 不平衡故障的不同型式有 單線對地故障(single line-to-ground fault)、線對線故障(line-to-line fault) 與 雙線對地故障(double line-to-ground fault)。 。 • 對稱成分法(the method of symmetrical components)—一種將求解不平衡電路分解成求解數個平衡電路的方法。對稱成分法將在本章中討論。它被應用到不平衡故障上，如此，將再度允許以簡單的單相為基礎的分析法來處理問題。 10.1 序　言

  3. 對稱成分允許不平衡相參數—例如電流與電壓—被換置成三個分開的平衡對稱成分。對稱成分允許不平衡相參數—例如電流與電壓—被換置成三個分開的平衡對稱成分。 10.2對稱成分的基礎 考慮圖10.1(a) 中之三相平衡電流的相量代表，三個相量被寫成 (10.1) 圖10.1 對稱成分的代表

  4. 8.2暫態現象 其中運算子a (10.2) (10.3) 相量的次序是 abc。這種相量的順序被指定為正相序 (positive phase sequence)。當順序是如圖 10.1(b) 所示的 acb 時，則被指定為負相序 (negative phase sequence)。

  5. 負相序參數被表示為 (10.4) 當分析不平衡故障的某些型態時可發現，零相序 (zero phase sequence) 必需被引入。這些相量彼此間具有相同的相位。零相序電流如圖10.1(c) 所示—被指定為 (10.5) 上註標 1、2 與 0 分別被用來代表正、負與零相序參數。三相電力系統的三相不平衡相量可以分解成相量的三個平衡系統，如下

  6. 1. 正序成分係由一組相序為 abc的平衡三相成分所組成。 2. 負序成分係由一組相序為 acb的平衡三相成分所組成。 3. 零序成分由大小相等、相角相同的三個單相成分所組成。 考慮三相不平衡電流Ia、Ib、Ic，要找出電流的三個對稱成分，使得 (10.6)

  7. 依式 (10.1) 、 (10.4) 與 (10.5) 所示的對稱成分的定義，我們可以全部用 a相成分表示來重寫式 (10.6)。 (10.7) (10.8) (10.9)

  8. 其中 A 是對稱成分轉換矩陣 (symmetrical components transfor- mation matrix, SCTM)，它將相量電流 轉換成對稱成分電流 ，其定義為 (10.10) 解出式 (10.9) 的對稱成分電流，我們得到 (10.11)

  9. (10.12) (10.13) 將A-1代入式 (10.11)，我們得到 (10.14)

  10. 或者以成分型式來表示，對稱成分為 (10.15) 從式 (10.15)，電流的零序成分等於三相相電流之和的三分之一。因此，當三相相電流之和為零，例如，在中性點不接地之三相系統中，零序電流便無法存在。假如電力系統的中性點被接地，則零序電流會在中性點與地間流動。

  11. 對電壓而言，其表示法相似。因此，以對稱成分電壓表示的不平衡相電壓為對電壓而言，其表示法相似。因此，以對稱成分電壓表示的不平衡相電壓為 (10.16) 或寫成矩陣型式 (10.17)

  12. 以不平衡相電壓表示的對稱成分為 (10.18) 或寫成矩陣型式 (10.19) 三相複功率為 (10.20) 將式 (10.9) 與 (10.17) 代入式 (10.20)

  13. (10.21) (10.22) 式 (10.22) 顯示總不平衡功率可以由各對稱成分功率的和獲得。通常對稱成分的下註標 a 會被略去，例如I 0，I 1、與I 2不言而喻是指 a相。

  14. 例題10.1 (chp10ex1) 求一組不平衡電流 、 與 的對稱成分。各相量的圖示於圖 10.2 中。 圖 10.2 分解不平衡相量成對稱成分

  15. 例題10.2 (chp10ex2) 一組不平衡三相電壓的對稱成分為 、 與 = 0.8 。試求原本的不平衡相量。 各相量的圖示於圖 10.3 中。 圖 10.3 轉換對稱成分成相量成分

  16. 10.3 相序阻抗 提供正序電流流動的阻抗即為正序阻抗 (positive-sequence impedance)，以 Z 1代表。提供負序電流流動的阻抗即為負序阻抗 (negative-sequence impedance)，以 Z2代表。當零序電流流動時，其阻抗被稱為零序阻抗 (zero-sequence impedance)，以 Z 0代表。輸電線、發電機與變壓器的相序阻抗將在此做簡要的考量。 10.3.1 丫接負載的相序阻抗 一含自感與互感元件的三相平衡負載示於圖 10.4。負載中性點透過一阻抗 接地。

  17. 10.3.1 丫接負載的相序阻抗 一含自感與互感元件的三相平衡負載示於圖 10.4。負載中性點透過一阻抗 接地。 圖 10.4 平衡 Y 接負載。

  18. 線對地電壓為 (10.23) 依克希荷夫電流定律 (10.24) 將In從式 (10.24) 代入式 (10.23)，並以矩陣型式重寫方程式可得 (10.25)

  19. (10.26) (10.27) 將 與 以其對稱成分來寫出，我們得到 (10.28) (10.29) (10.30)

  20. 將 Zabc、A 與A-1從式 (10.27) 、 (10.10) 與 (10.12) 代入上式得 (10.31) (10.32) 若沒有互耦存在，我們令Zm = 0，此時阻抗矩陣變為 (10.33)

  21. 阻抗矩陣只在主對角線上有非零元素 (nonzero elements) 出現。因此，對平衡負載而言，三個相序是獨立的。也就是說，各相序的電流僅會在與其相同的相序上產生電壓降。這是非常重要的特性，因為它允許各相序網路以單相為基礎來分析。

  22. 10.3.2 輸電線的相序阻抗 對靜態裝置而言，例如輸電線，相序對其阻抗並無影響，因為無論相序如何，電壓與電流所遭逢的輸電線的幾何結構相同。因此，正相序與負相序的阻抗相等，即Z1 =Z2。 零序電流係同相位，流經a、b 與c 相導線，經接地的中性點返回。大地與任一遮蔽導線都是零序電流的有效路徑。因此Z 0 -包含透過大地返回路徑之效應者- 一般與 Z1及 Z2不同。在有接地中性線存在的情況下，零序阻抗的決定十分複雜。為了獲得 Z 0的大小 (order) 的概念，我們將考慮下列簡化結構。考慮一等距配置之三相線路的一公尺長線段，如圖 10.5 所示。相導線承載有零序 (單相) 電流，並以接地的中性線為返回路徑。地表可以用一置於平均距離 Dn的一等效虛構導線來近似。Dn係指從三相的每一相到地表面的平均距離。因為導線 n 載有反方向的返回電流，故我們有

  23. 圖10.5 零序電流與大地回流

  24. (10.34) 因為 ，是故，我們有 (10.35) 利用式 (4.29) 所示的導線群中某一導線的磁交連關係式，a相導線的總磁交連數為 (10.36) 以Ia0來表示 Ib0、 Ic0與 In，我們得到

  25. (10.37) 因為 ，以 mH/km 表示的每相零序電抗為 (10.38)

  26. 上式的第一項與式 (4.33) 所得的正序電抗相同。因此零序電抗可表示為 (10.39) (10.40) 輸電線的零序阻抗比正序及負序阻抗大三倍以上。

  27. 10.3.3 同步電機的相序阻抗 同步電機的電感依相對於轉子的旋轉方向的相序電流的相序而定。正相序發電機阻抗是由外加一組正相序電壓，然後觀察其對正相序電流流動之影響而求得者。當負相序電流施加在定子上時，在空氣隙的淨磁通的旋轉方向與轉子的旋轉方向相反。也就是說，相對於轉子而言，淨磁通係旋轉在兩倍的同步速率。因為場電壓係與正相序變數相關聯，因此場繞阻並不受影響。結果只有阻尼繞組會在交軸上產生效應。因此，在交軸上的暫態電抗及次暫態電抗與在直軸上者並沒有甚麼差別。負相序電抗將與正相序次暫態電抗非常接近，亦即 (10.41)

  28. 零相序阻抗是電機提供零相序電流流動的阻抗。我們仍記得一組零相序電流內的各個電流均相同。因此，假如磁動勢的空間分布為正弦的，則總合空氣隙磁通應為零，將沒有因電樞反應而產生的電抗。由於漏磁通的緣故，電機將有一非常小的電抗。因此零相序電抗將非常接近於漏磁電抗，亦即零相序阻抗是電機提供零相序電流流動的阻抗。我們仍記得一組零相序電流內的各個電流均相同。因此，假如磁動勢的空間分布為正弦的，則總合空氣隙磁通應為零，將沒有因電樞反應而產生的電抗。由於漏磁通的緣故，電機將有一非常小的電抗。因此零相序電抗將非常接近於漏磁電抗，亦即 (10.42)

  29. 10.3.4 變壓器的相序阻抗 在電力變壓器內部，鐵心損失與磁化電流僅達其額定值的 1% 左右；因此，磁化支路可予以忽略。變壓器被塑型成一等效串聯漏阻抗。因為變壓器是一靜態裝置，漏阻抗並不會因相序的改變而改變。因此，正相序與負相序阻抗相同。此外，假如變壓器允許零相序電流流動，對零相序而言，相阻抗等於漏阻抗，我們得到 (10.43) 記得 Y-或 -Y 變壓器，在高壓側的正相序線電壓領先相對應的低壓側線電壓30o。對負相序而言，其相對應的相位移為 -30o。零相序阻抗的等效電路依繞組的接法而定；此外，尚依中性點是否接地而定。圖 10.6 顯示較常見的變壓器結構及其零序等效電路。在變壓器內當鐵心磁阻被忽略時，一次與二次側間的磁動勢是完全平衡的。其意指只有在二次側有電流時一次側才能

  30. 有電流流動。可以施加一組零序電壓在一次側後，計算其所得電流的方式核對其零序電路的妥適性。有電流流動。可以施加一組零序電壓在一次側後，計算其所得電流的方式核對其零序電路的妥適性。 圖 10.6 變壓器零序等效電路

  31. 圖 10.6 變壓器零序等效電路

  32. 兩中性點均接地的Y-Y連接：我們知道零相序電流等於相電流之和。因為兩中性點均接地，所以一次側與二次側都提供有零相序電流的流動路徑，變壓器將呈現一單相等效漏電抗，如圖 10.6(a) 所示。 • 僅一次側中性點接地的Y-Y連接：一次側中性點被接地，但二次側中性點被隔離，二次側相電流之和必定等於零。意指二次側的零相序電流為零。因此一次側零相序電流亦為零，反映出一無窮大的阻抗或為一開路，如圖 10.6(b) 所示。 • 中性點接地的Y-連接：在此結構中，一次側電流可以流動，因為在 接二次側有零相序環流，且在 Y 接一次側有一大地回流路徑。注意：零相序電流無法離開端，因此，一次側與二次側間是隔離的，如圖 10.6(c) 所示。

  33. (d) 中性點不接地的Y-連接：在此結構中，因為中性點被隔離，零相序電流無法流動，等效電路反映出一無窮大的阻抗或為一開路，如圖 10.6(d) 所示。 (e) -連接：在此結構中，零相序電流在接繞組內環流，但無法離開  端，其等效電路如圖 10.6(e) 所示。 注意：中性點阻抗在等效電路中扮演著重要的角色。當中性點透過一阻抗Zn接地時，因為 In= 3 I0，是故，在等效電路中，中性點阻抗在I0的路徑上將以 3Zn出現。

  34. 例題10.3 (chp10ex3) 有一線對中性點為 100 V 之平衡三相電壓被加在中性點不接地之平衡 Y 接負載上，如圖 10.7 所示。三相負載係由三個相互耦合的電抗所組成。每相電抗為 = j12 ，而其相間互感為 = j4 。 例題 10.3 用電路 (a) 試不用對稱成分而直接以網目分析法決定線電流。 (b) 試用對稱成分法決定線電流。

  35. (a) 應用 KVL，KCL 在兩個獨立的網目方程式上，得 將上式寫成矩陣型式為 或寫成更簡潔的型式

  36. 解上式得線電流為 Iabcp = 12.5 -90.0 12.5 150.0 12.5 30.0 (b) 利用對稱成分法可得

  37. 對電流的相序成分而言，我們得到 Iabcp = 12.5 -90.0 12.5 150.0 12.5 30.0 此一結果與 (a) 小題所得者相同。

  38. 例題10.4 (chp10ex4) 一具有如下相對中性點電壓之三相不平衡電源 被加到圖10.4中的電路上。負載之每相串聯阻抗 及相間互阻抗為 。負載與電源的中性點均直接接地。試決定 (a) 負載相序阻抗矩陣 。 (b) 電壓的對稱成分。 (c) 電流的對稱成分。 (d) 負載相電流。 (e) 以對稱成分求解輸送到負載的複功率，

  39. (f) 利用各相功率加總的方法求解輸送到負載的率， 。 Z012 = 8.00 +32.00i 0.00 + 0.00i 0.00 - 0.00i 0.00 + 0.00i 8.00 +20.00i 0.00 + 0.00i 0.00 - 0.00i 0.00 - 0.00i 8.00 +20.00i V012p = 47.7739 57.6268 112.7841 -0.0331 61.6231 45.8825 I012p = 1.4484 -18.3369 5.2359 -68.2317 2.8608 -22.3161

  40. Iabcp = 8.7507 -47.0439 5.2292 143.2451 3.0280 39.0675 S3ph = 9.0471e+002 +2.3373e+003i S3ph = 9.0471e+002 +2.3373e+003I

  41. 10.4 有載發電機之相序網路 圖 10.8 代表一中性點透過阻抗Zn接地的三相同步發電機。此發電機正供應一個三相平衡負載。 圖 10.8 三相平衡電源與阻抗

  42. 同步電機產生平衡三相內電壓，此電壓被表示為一組正相序的相量同步電機產生平衡三相內電壓，此電壓被表示為一組正相序的相量 (10.44) 此電機正供電給一個三相平衡負載。應用克希荷夫電壓定律至每一相，可得 (10.45)

  43. 以 代入，且將式 (10.45) 寫成矩陣型式，可得 (10.46) (10.47) 式中 Vabc是相端電壓向量 (phase terminal voltages vector)，而 Iabc為相電流向量 (phase currents vector)。轉換端電壓與電流相量至對稱成分得 (10.48) (10.49)

  44. (10.50) (10.51) 因為所產生的 emf 是平衡的，所以只會有正相序電壓，亦即 (10.52)

  45. 將 與 代入式 (10.49)，得 (10.53) 寫成成分型式 (component form) (10.54)

  46. 式 (10.54) 所示的三個方程式可以表示為三個等效相序網路，如圖 10.9 所示。 圖 10.9 相序網路：(a) 正相序；(b) 負相序；(c) 零相序。

  47. 重要觀察所得 • 三個相序相互獨立。 • 正相序網路與用於研究平衡三相電流與電壓的單線圖相同。 • 只有正相序網路有電壓源，因此正相序電流僅會導致正相序電 壓降。 • 負相序與零相序網路中沒有電壓源。 • 負相序與零相序電流僅會導致負相序與零相序電壓降。 • 系統中性點是正與負相序網路的參考點，而地則為零相序網路 的參考點。因此，零相序電流只能在系統中性點到地的電路為 導通時才能流動。 • 接地阻抗以 反映在零相序網路中。 • 三個相序系統可以單相為基礎分別求解。是故，相電流與電壓 可以分別由電流與電壓的對稱成分重疊而得。

  48. 10.5 單線對地故障 圖 10.10 顯示一中性點透過阻抗 Zn接地的三相發電機。 圖 10.10 線對地故障在 a相。

  49. 假如一透過阻抗 Zf的線對地故障發生在 a 相。且假設發電機故障發生之初沒有負載，則故障點的邊界條件為 (10.55) (10.56) 以 代入，電流的對稱成分可從式 (10.14) 獲得為 (10.57) (10.59)

  50. 從式 (10.54) (10.60) 式中 ，從式 (10.55) 將 代入 (10.61) (10.62) 故障電流為 (10.63)

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