FALE

1. FALE • Równanie falowe w jednym wymiarze • Fale harmoniczne proste • Zasada superpozycji • Równanie falowe w trzech wymiarach • Interferencja

3. T(z+Dz) x q(z+Dz) q(z) T(z) y(z,t) T0 T0 z RÓWNANIE FALOWE W JEDNYM WYMIARZE Przykład: drgania poprzeczne struny y(z,t) - wychylenie pionowe z położenia równowagi elementu struny Dz w punkcie z w chwili t r0- gęstość liniowa masy struny Dm= r0 Dz - masa elementu struny T(z) - naprężenie struny w punkcie z przy wychyleniu z położenia równowagi T0 - naprężenie struny w położeniu równowagi Zakładamy, że ruch elementu struny odbywa się tylko wzdłuż osi pionowej Ox.

4. Ogólna postać równania falowego w jednym wymiarze v - prędkość fali (prędkość fazowa)

5. y(z,0) l T y(0,t) FALE HARMONICZNE PROSTE Szczególne rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej. A - amplituda l - długość fali - najmniejsza odległość przestrzenna miedzy dwoma punktami, w których w tej samej chwili faza drgań jest jednakowa z dokładnością do 2p. k - liczba falowa (wektor falowy) T- okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2p. w- częstość Aby y(z,t) było rozwiązaniem równania falowego, musi być spełniona relacja dyspersji Faza Prędkość fazowa - prędkość przemieszczania się stałej fazy

6. 2p/k=l ZASADA SUPERPOZYCJI Zaburzenie falowe osrodka, pochodzące od układu źródeł, równe jest sumie (wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł. Równanie falowe jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań jest również jego rozwiązaniem. Przykład: fale stojace w jednym wymiarze t=T/4 t=0.1T t=0.05T t=0 węzeł strzałka t=3T/4

7. y(z,t) A(z,t) obwiednia Prędkość grupowa - prędkość przemieszczania się obwiedni = predkości przepływu informacji 2p/dk Przykład: prędkość grupowa

8. RÓWNANIE FALOWE W TRZECH WYMIARACH Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych. Każda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe. Operator Laplace’a (laplasjan) Równanie falowe w trzech wymiarach

9. x yx(z,0) r k z l Płaszczyzny stałej fazy są prostopadłe do kierunku propagacji danego wektorem falowym k i odległe od siebie o l Przykład: fale płaskie

10. x yx(z,0) y z y wt yy y yx wt wt A A Przykład: polaryzacja fal płaskich Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuż jednej osi. Superpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z=const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę.

11. Przykład: Fale kuliste Zasada Huyghensa: każdy punkt, do którego dociera zaburzenie, staje się źródłem nowej fali kulistej. Zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal kulistych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka. a) b) Natężenie fali kulistej: energia, przepływająca przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali kulistej, nie zależy od odległości

12. P Maksimum interferencyjne Q2,max r2 Q1,min y2 r1 Q1,max Minimum interferencyjne d Q Q0,min Q Q0,max y1 dsinQ INTERFERENCJA Przykład: Interferencja fal kulistych

13. d=4l r2,min=100l Efektywne natężenie Maksima interferencyjne Minima interferencyjne

14. Interferencja fal kulistych na powierzchni wody (u dołu) i światła przechodzącego przez dwie szczeliny (z prawej)

15. Przy przechodzeniu fali płaskiej przez szczelinę na ekranie ustawionym za wąską szczeliną obserwuje się obraz dyfrakcyjny. Jest on związany z interferencją fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny (odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest różna, a różnice są rzędu długości fali) Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie