第七章离散信号与系统时域分析

第七章离散信号与系统时域分析 • 7-1 离散时间信号 • 一、定义:只在一系列离散的时间点上才有确定值的信号。 • 而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列,并是离散时间变量的tk函数。获取方法： 1）直接获取 2）连续信号取样表示方法： 1）图形表示 2）数据表格 3）序列表示取样间隔一般取均匀间隔一般简化记为f(n)或f(k)

例: 试写出其序列形式并画出图形。波形：解：序列形式序列的几种形式单边序列：右序列： k<0，f(k)=0 左序列： k0，f(k)=0 双边序列：-<k<, f(k)0 有限序列：k1<k<k2,f(k)0

二、离散信号时域运算 1.相加: 用同序号的值对应相加后构成新的序列。 y(k)=f1(k)+f2(k)

2.相乘: 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。 y(k)=f1(k)f2(k)

3、数乘: 完成序号值的比例运算。 y(k)=Af(k) 4、累加和: 序号前k项值累加得到一个新序列。

三、离散信号时域变换 5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。 y(k)=f(k)-f(k-1) （后向差分） y(k)=f(k+1)-f(k) （前向差分） 1.移序: y(k)=f(k-m) 2.折叠: y(k)=f(-k) 3.倒相: y(k)=-f(k) 4.展缩: y(k)=f(ak) (横坐标k只能取整数) 即：展缩后序列y(k)可能会出现 k为非整数情况，此时舍去非整数的k及其值

1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）四、常用离散信号性质：推广： (t) ：奇异信号，数学抽象函数； (k)：非奇异信号，可实现信号。可见，(k)作用类似于(t)，但二者有较大差别：

利用单位序列(k)表示任意序列 例：注意： (t)用面积（强度）表示， (幅度为,但强度为面积) (k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）

2.单位阶跃序列 推广：性质： U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。可见，U(k)作用类似于U(t)，但二者有较大差别： U(k)可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。

3.单位矩形序列（单位门序列） 4.斜变序列

5.单边指数序列

6.正弦序列 （模拟角频率） (T为抽样间隔时间) 令（数字角频率）

离散正弦序列的周期

注意：

y(k) f(k) 离散时间系统 7-2 离散时间系统基本概念 y(k)=T{f(k)} 一、定义：激励、响应均为离散时间信号的系统。二、分类：时不变系统时变系统因果系统非因果系统线性系统非线性系统线性系统：时不变系统：因果系统

三、离散时间系统模型 1、差分方程描述：例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数y(k+1)为多少？ y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k) =(a-b+1)y(k)+f(k) 所以，有y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k) 例2：某人每月初均存入银行固定款f(k) ，月息为a ，每月本息不取，试求第k个月的初存入款时的本息和y(k) 为多少？有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)

例3： 例4：图示电路，写出节点电压关系。

讨论： （1）差分方程：由激励序列f(k)、响应序列y(k)以及其移序序列组成的方程。含y(k)，y(k-1)，…的差分方程: 后向差分方程含y(k)，y(k+1)，…的差分方程: 前向差分方程（2）差分方程阶数：响应最高序号与最低序号的差值。（3）离散自变量k不一定限于时间。 2、传输算子描述（1）移序算子 y(k-1)E-1 y(k) y(k+1)Ey(k) y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k) E-1 : 单位延迟算子

（2）算子形式的差分方程 [1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k) 2）y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k) 对于一般n阶离散系统，有（3）传输算子

3. 模拟框图 f1(k) 3) 延迟器 y(k) （1）模拟单元 1）加法器 y(k)=f(k-1) f2(k) f(k) y(k) 2) 比例器 f(k) y(k) （2）模拟框图 4、信号流图

例1：图示框图，写出差分方程。 系统的差分方程为例2：图示信号流图，写出传输算子。

一、齐次差分方程时域解 7-3 离散系统时域经典分析传输算子齐次差分方程：f(k)及其各依序项均为零，即求解方程： 1）自然频率全部为单根： 2）自然频率含重根： E1=E2…=Er，其余单根

例1：已知某系统激励为零，初始值y(0) =1 ， y(1)=4，描述系统的差分方程为解：求系统的响应 y(k)。 =1 系统自然频率为： =4 例2：已知某离散系统初始值为y(0)=2，y(1)=0，传输算子求激励为零时系统的响应y(k)。解： =2 =0

例3：如图所示离散时间系统模拟框图，当f(k)=0，y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1。求响应y(k)。例3：如图所示离散时间系统模拟框图，当f(k)=0，y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1。求响应y(k)。解：由图可求得传输算子为

解：由图可求得传输算子为由题目给定条件，有

二、非齐次差分方程时域解 传输算子特征方程（自然频率）时域解为齐次方程通解非齐次方程特解齐次方程通解形式取决于系统的自然频率，即特征根的形式；非齐次方程特解形式取决于系统的激励形式，不同激励有不同的特解形式。

几种典型信号激励下相应特解的形式： (不含等于1的特征根) (含有r重等于1的特征根) (不含等于a的特征根) (含一个等于a的特征根) (含有r个等于a的特征根)

例：已知描述系统的差分方程为初始条件y(0)=0， y(1)=2，求系统的响应 y(k)。解：代入差分方程，可得

经典法基本步骤： 1）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）； 2) 写出特征方程，并求出特征根（自然频率）； 3）根据特征根，求对应齐次方程通解y0(k)； 4）根据激励形式、特征根，写出差分方程的特解形式，代入差分方程，求非齐次方程特解yt(k)； 5）写出非齐次方程通解 y(k)=y0(k)+yt(k)： 6）根据初始值确定y(k)中y0(k)部分待定系数； 7）写出给定条件下非齐次方程解。

三、差分方程递推求解法 四、全响应分解形式全响应=自由响应+强迫响应全响应=零输入响应+零状态响应 …… 全响应=暂态响应+稳态响应缺点：难以形成封闭形式（解析式），响应规律性难以确定。优点：任意形式激励，计算机求解容易、直观。

五、离散系统的初始状态 y(0)=yzi(0) +ysi(0) y(0)：系统在有了激励信号之后系统的初始条件，既有零输入时初始状态（初始储能），也有激励信号的贡献 yzi(0): 零输入初始值，表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，与系统激励无关，是系统的初始储能，是系统真正的初始状态 ysi(0)：零状态的初始值，仅有激励信号产生六、初始状态的应用 1、求零输入响应时，应采用零输入初始值yzi(0) 2、求零状态响应时，即yzi(0)=0，而不是y(0)=0 3、求全响应时，用初始条件确定常数，采用y(0)

例：已知某系统初始状态y(-1)=0， y(-2)=0.5，描述系统的差分方程为解：求系统的响应 y(k)。零状态下：y(-1)=y(-2)=0，并代入上式，有

一、单位序列响应定义 激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应. 7-4 离散系统单位序列响应二、单位序列响应求解 1、一阶系统当 f(k)=(k), y(k)=h(k)时，有（1）递推法：

求齐次差分 方程通解（2）等效初值法：由于单位序列(k)仅在k=0处等于1，而在 k>0时为零，因而在k >0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转换为求差分方程齐次解的问题，而k=0处的值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。（3）传输算子法：

2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法传输算子法求解h(k)步骤：

例1：求单位序列响应h(k)，已知描述系统的差分方程为例1：求单位序列响应h(k)，已知描述系统的差分方程为 2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法解：代入通解求待定系数：递推求初值：

例2：求系统单位序列响应h(k)，已知描述系统的传输算子分别为例2：求系统单位序列响应h(k)，已知描述系统的传输算子分别为解：

一、系统零状态响应 y(k)=yx (k)+ yf (k) yx (k): 取决于系统自然频率和初始值 yf (k): 取决于系统自然频率和激励 7-5 离散系统时域卷积和分析法 (k) h(k) (k-m) h(k-m) f(m)(k-m) f(m)h(k-m) 此称为f(k)与h(k)的卷积和 (Convolution) 记作：yf (k)=f(k)*h(k) f(k)=f(k)* (k)

二、常用信号的卷积和 1、f(k)与单位序列信号卷积 2、f(k)与单位阶跃序列卷积 3、U(k)与akU(k) 卷积三、卷积和的性质 1．交换律 2. 分配律 3. 结合律

四、卷积和的计算 1．利用定义计算例：f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷积和y(k)=f(k)*h(k). 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算 3. 利用卷积求和表计算 1）f(k)、h(k)f(m)、h(m) 2） h(m)h(-m) （折叠） 3） h(k-m) （平移） 4） f(m) h(k-m) （相乘） 5）求和计算 4. 利用图解法计算 5. 利用数值求和法计算

例：用图解法求图示信号的卷积和y(k)=f(k)*h(k)。例：用图解法求图示信号的卷积和y(k)=f(k)*h(k)。

6. 利用列表法计算 0 0.12 0.09 0.06 0.03 0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.04 0.03 0.02 0.01

7、序列相乘法 f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0 h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 X 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.12 0.09 0.06 0.03 0 0.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04 0.01 0

五、离散系统卷积和分析 说明：若f(k)非零值N个，位于 h(k)非零值M个，位于则：y(k)=f(k)*h(k)的非零值有(N+M-1)个，位于离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。即分析步骤： 1）求单位序列响应； 2）计算卷积和

例1 单位阶跃响应：当激励为U（k）时系统的零状态响应即：解: 例2 解: 例3：

例4: 解:

本章要点 • 1、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性{(k)、U(k)、ak(k)、GN(k)等}； • 2、离散信号时域变换与运算：折叠、时移、展缩、倒相；相加、相乘、数乘、差分和累加和； • 3、离散系统的基本概念：定义、分类、线性时不变系统的特性； • 4、时域经典法：差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频率及其求解方法、全响应三种分解形式； • 5、时域卷积和法： h(k)求解方法、零状态响应卷积和计算（卷积和定义、运算规律、主要性质、计算方法）

第七章 离散信号与系统时域分析