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第 四 章

第 四 章. 静定刚架. § 4-1 静定平面刚架的几何组成及特点. 一、平面刚架的特点 1、刚架 ： 由梁柱相互刚结（或部分铰接）组成，主要由刚结点维持的几何不变的体系。 优点： 结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀合理，净空大，应用广。. 下图是常见的几种刚架：图（ a ）是车站雨蓬，图（ b ）是多层多跨房屋，图（ c ）是具有部分铰结点的刚架。. ( a ). ( b ). ( c ). 刚结点与铰结点的区别：. （ 1 ）在受力分析方面 ：刚结点能传递力和力矩，而铰结点则只能传递力。. (d). (e). F P1. F P2.

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第 四 章

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  1. 第 四 章 静定刚架

  2. §4-1 静定平面刚架的几何组成及特点 • 一、平面刚架的特点 • 1、刚架：由梁柱相互刚结（或部分铰接）组成，主要由刚结点维持的几何不变的体系。 • 优点：结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀合理，净空大，应用广。 下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。

  3. (a) (b) (c) 刚结点与铰结点的区别： （1）在受力分析方面：刚结点能传递力和力矩，而铰结点则只能传递力。 (d) (e)

  4. FP1 FP2 (2)在几何变形方面：刚结点处连接的各杆端的轴线不能发生相对转动，因而受力变形后，各杆之间的夹角保持不变，但各杆件可以产生弯曲、剪切、轴向变形。铰结点所连接的各杆可以发生相对转动。 受力特点：内力相应有M，FQ，FN。杆件可称为“梁式杆”。

  5. 二、常见的静定平面刚架类型 1、悬臂刚架 2、简支刚架 3、三铰刚架 5、多层刚架 4、多跨刚架

  6. §4-2 静定刚架支座反力的计算 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。 简支刚架和悬臂刚架支座反力计算较简单，这里主要讨论三铰刚架和多跨刚架的支座反力计算。 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。

  7. 　　计算如下图（a）所示三铰刚架的支座反力。　　计算如下图（a）所示三铰刚架的支座反力。 【解】此刚架具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。 C C q f (a) (b) q f B A XA XB l /2 l /2 YA YB B A l /2 l /2

  8. C O XC C YC q f f B B A l /2 l /2 l /2 XA XB XB (c) (b) YA YB YB 对O点取矩即得： 多跨刚架支座反力计算见P44例4.2 于是

  9. §4-3 用截面法求静定刚架杆端截面内力 • 1、刚架的内力及正负号规定 • 弯矩M —不规定正负方向，弯矩图纵坐标画在杆件受拉纤维一边。 • 剪力Q —规定同材力。 • 轴力N —规定同材力。 • 2、刚结点处的杆端截面及杆端截面内力的表示方法 • 内力符号双脚标，两个字母表示两个杆端,第一个字母表示杆端力是哪一端的，第二个字母表示杆远端的标号。如MAB为AB杆A端的弯矩。

  10. 3、杆端截面内力计算 • 每一个杆件有两个杆端截面，沿杆端截面截开，在截开的截面处有三个未知内力M、Q、N，Q和N按正方向画，M可按任意假设方向画，一般假设未知M按顺时针旋转方向画。如计算结果为正，说明内力方向与图中方向相同；否则，与图中方向相反。 • 4、刚结点处力和力矩的平衡校核 • 刚结点上各杆端截面的内力应满足三个平衡条件： • ΣX=0 ΣY=0 ΣM=0 • 用以校核杆件内力的计算结果。见P47例4.3

  11. §4-4 静定平面刚架内力图的绘制 静定刚架内力图有弯矩图、剪力图和轴力图。刚架的内力图是由各杆的内力图组合而成的，而各杆的内力图，在求出杆端截面的内力值后，即可按梁中绘制内力图的方法画出。 一、一般绘制要点： 1、分段：根据荷载不连续点、结点分段。 2、定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。

  12. 3、求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。3、求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。 4、画图：刚架内力图的纵坐标垂直于各杆轴线绘制。画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，不记正负号，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图（即分段叠加法）。Q，N 图可画在杆件任一边要标＋，－号；内力图上应注明量纲。

  13. 40 kN 160 kN·m D C B B B 20 kN/m 4m 4m 4m 20 kN/m 20 kN/m A A A B 2m 2m A (d) M图 例1 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。 (1)支座反力 。 [解] (2)求杆端力并画杆单元弯矩图。 160 40 (a) (b) (c)

  14. 40kN 40kN D B D B D 2m 2m B 40kN 60 60 2m 2m D C B B 160kN·m 20kN/m 4m 4m 20 20kN/m A A 160 D B 2m 2m 160 40 40 A 80 M图 40 160 20 60 80 Q图（kN) M图 (kN·m）

  15. 20 B 0 20 60 160 D 80 B Q图（kN) 160 40 20 40 A N图（kN) M 图 (kN·m）

  16. 作刚架Q、N图的另一种方法 首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立力矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。 qa2/2 ↑↑↑↑↑↑↑↑ q qa2/2 C C B B QCB qa2/2 QCB a qa2/8 qa2/2 A ↑↑↑↑↑↑↑↑ QCA M图 a q qa/2 NCB QAC 0 NCA qa/2 ∑MC＝qa2/2+ QCBa=0 QBC=QCB=－qa/2 qa • ∑MC＝qa2/2+ qa2/2 －QACa=0 • QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a • =qa • ∑MA＝0 • Q CA=（qa2/2 － qa2/2 ）/a • =0 qa/2 • ∑X＝0，NCB ＝0 • ∑Y＝0，NCA＝qa/2　　∥

  17. q=4kN/m ↓↓↓↓↓↓ 3.58 1.79 ＋ 1.5m C 6 6 α 4.5 D E 3m 7.16 ＋ ＋ 2 B A 2 4kN/m ↓↓↓↓↓↓↓ NDC C NEC QCE C 3.58 1.79 α α α 7.16 E Q CD 2kN 6 2kN Q EC D 3m 3m 1.79 NCE 3kN 3.13 2 9kN 0.45 2 QDC 9 － － － － － 3 å = + a - + a = X ( N 3 . 13 ) cos ( 3 . 58 1 . 79 ) sin 0 CE = - N 0 . 45 kN CE å － = + a + - a Y ( 3 . 13 0 . 45 ) sin ( 1 . 79 3 . 58 ) cos 校核 3 3 . 58 2 9 = - × = 1 . 79 0 5 5 3.35m 3.35m Q图（kN） M图（kN.m） α 3.13 ∑MC=6+3 × 4×1.5+3.35QEC＝0 QEC= －7.16kN ∑ME=6－ 3 × 4 ×1.5+3.35QCE＝0 QCE= 3.58kN ∑MD=6－QCD×3.35＝0 QCD=1.79(kN)=QDC 5.82 N图（kN）

  18. 二、各类静定刚架的内力图绘制 FP1=1kN FP2=4kN 1、悬臂刚架 解: (1) 计算支座反力。 (2) 作弯矩图。 先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。 FP3=1kN q=0.4kN/m FxA=3kN MA=15kN·m FyA =3kN

  19. C B FP1=1kN 作隔离体图,如左图: FQBC=1 MBC=1 FP1=1kN FP2=4kN FP2=4kN MBE=4 FNBC=0 B MA=15kN·m B D E FNBE=0 MBA=5 FP3=1kN FP3=1kN FQBE=3 FQBA=1 B q=0.4kN/m FNBA=-3 q=0.4kN/m FxA =3kN A FyA =3kN

  20. A、作弯矩图: 4 4 5 1 求各杆杆端弯矩: CB段:MCB=0 MBC=1kN·m (左侧受拉) BE段:MEB=0 MBE= - 4kN·m(上侧受拉) BA段: MBA=5kN·m (左侧受拉) MAB=15kN·m(左侧受拉) 1.25 2 M 图 (kN·m) 15

  21. C B FP1=1kN FQBC MBC FP2=4kN MBE B B D E MBA FP3=1kN FQBE FQBA B q=0.4kN/m A MA=15kN·m B、作剪力图: 由杆件平衡计算杆端剪力,再由规律作剪力图。 CB杆：FQBC=+1kN FQCB= +1kN BE杆：FQBE=+3kN FQEB= - 1kN BA杆：FQBA=+1kN FQAB=+3kN

  22. 3 + + 1 - 由杆件平衡计算杆端剪力，再由规律作剪力图。 CB杆：FQBC=+1kN FQCB= +1kN BE杆：FQBE=+3kN FQEB= - 1kN BA杆：FQBA=+1kN FQAB=+3kN 1 + FQ图 ( kN ) 3

  23. C、作轴力图: 由结点平衡计算杆端轴力，再由规律作轴力图。 FNBC=0 - 3 FNBE=0 1 B 1 FNBC= - 3kN 3 FN图 ( kN )

  24. D、校核： MBC=1kN·m B MBE= 4kN·m 由结点弯矩平衡校核弯矩计算是否正确。 MBA=5kN·m 用计算中未使用过的隔离体平衡条件校核结构内力计算是否正确。 FP1=1kN FP2=4kN 1kN 5kN·m FP3=1kN 3kN

  25. 2m 2m q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qL² ↓↓↓↓↓ L q L 如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力。 如图所示悬臂刚架，可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。 2q 2q ½qL² qL² 6q

  26. 40kN 2、简支刚架 40kN ·m 20kN/m 解: （1）求支座反力 ∑y=0 FCy =80kN(↑) FAx=120kN FCy=80kN O FBx=80kN ∑m0=0 FAx=120kN(←) • 校核：∑mC=0 ∑x=0 FBx=80kN(→)

  27. （2）、求杆端弯矩，作弯矩图 40kN 40kN ·m 20kN/m 可利用特点，直接作弯矩图。 MAD=0 MDA=120×3 =360kN·m （右侧受拉） MBE=0 MEB=80×4 =320kN·m （左侧受拉） FCy=80kN FAx=120kN FBx=80kN • MGF=0 • MFG=40×2=80kN·m（左边受拉） • MFC=40×2=80kN·m（上边受拉） =MCF

  28. 40kN 40kN ·m 20kN/m 求MDE、MED和MEC。 MDE=120×3+40 =400 kN·m =MED （下侧受拉） FCy=80kN FAx=120kN FBx=80kN MEC=80×4 - 20×4×2-40×2 40kN 40kN ·m 20kN/m =80kN·m MDE （下侧受拉） MEC FCy=80kN FAx=120kN

  29. 80 320 360 （3）、校核： 各刚结点弯矩是否平衡。 80 400 40 作弯矩图。 M图（kN ·m） 40kN ·m MEC=80kN·m MED=400kN·m E D MDE=400kN·m MEB=320kN·m MDA =360kN·m

  30. q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql D C ql a l/2 l/2 O q B ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ A qa2/8 qa a a l 简单的简支刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。 ql2/2 qL2/2 qa2/2 注意：BC杆和CD杆的 剪力等于零，相应的 弯矩图与轴线平行 qa2/2

  31. 3、三铰刚架 8kN/m 6.325m 2 6 （包括有斜杆的静定刚架） 解: (1)求支座反力。 11.077kN 11.077kN ∑MB=0 FAy =36kN(↑) 12kN 36kN ∑x=0 FAx = FBx = Fx ∑MA=0 FBy =12kN(↑) ∑MC=0 6.5FBx – 6 FBy =0 FBx = Fx=11.077kN(←)

  32. 8×62/8=36 8kN/m 49.487 49.487 (2)作弯矩图 MAD=0 MDA=MDC =11.077×4.5 =49.847kN·m （外侧受拉） MCD=0 MBE=0 MEB= MEC =49.847kN·m （外侧受拉） M 图 (kN·m) 11.077kN 11.077kN 12kN 36kN

  33. 8kN/m 30.648 7.811 FNDA 49.847kN·m - + FQDA 11.077 = -11.077 14.886 （3）作剪力图 - + 11.077 FQ图 (kN) 11.077kN 11.077kN 11.077kN 36kN 12kN 36kN 8kN/m FNCE 6.325 FNCD 49.847kN·m 49.847kN·m 2 ΣMD=0 α 6 FQCD = - 14.886kN FQCE = - 7.881 FNDC FQDC FNEC =30.648kN FQEC ΣMC=0

  34. 8kN/m - 36 - 根据刚结点平衡的投影方程，求出各杆端轴力。 12 6.713 （4）作轴力图 14.303 - - 21.892 11.077 FN图 (kN) 11.077kN 12kN 36kN 30.648kN 14.886kN 7.881kN FNDC = - 21.892kN 11.077kN FNCE = - 14.303 FNCD = - 6.713kN 36kN

  35. 小结： （1）三铰刚架在竖向荷载作用下，有水平反力。用整体三个平衡方程不能求出所有反力，需用铰C处弯矩为零的条件。（三刚片组成的体系，求反力的特点） （2）注意斜杆的弯矩、剪力、轴力的计算。

  36. 速绘弯矩图： M M M M/2 M/2 M M l/2 2M/l M/l M/l 2M/l l/2 l/2 M/l M/l FP FP FP l/4 FP l/4 FP l/4 FP l/4 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2

  37. 4、多层多跨刚架 多层多跨静定刚架一般有两种基本组成形式： ①基本部分+附属部分组成形式。 ②三刚片组成形式。 （1）基本部分+附属部分组成形式 计算原则： ①进行组成分析，找出基本部分和附属部分； ②先计算附属部分，再计算基本部分。

  38. M=24kN ·m 举例说明： FP=8kN 解： 1、组成： 基本部分：AFGB 附属部分：FHJG 2、计算： 先计算FHJG部分， 再计算AFGB部分。 计算图示于下。

  39. M=24kN ·m M=24kN ·m 3 FP=8kN 3 3 3 3 3 3 3 FP=8kN 1 1 1 7

  40. 24 M=24kN ·m 12 12 3 3 3 3 16 16 3 3 3 3 FP=8kN 4 4 12 12 M 图 1 1 （ kN ·m） 1 7

  41. M=24kN ·m 3 3 - 3 - + 3 3 3 3 4 3 + 3 3 3 3 3 FP=8kN - - + 1 4 1 1 1 FQ图 (kN) 1 7

  42. M=24kN ·m 3 3 - 3 3 - + 3 3 3 2 3 3 3 3 + 7 FP=8kN - - 1 1 1 FN图 (kN) 1 7

  43. （2）三刚片组成的复杂刚架 FP=8kN 解： 1、上部体系为三刚片组成规律，上部体系与基础两刚片组成规律。 2、先计算支座反力，再计算上部体系。 8kN 12kN 12kN

  44. FP=8kN FP=8kN 8 4 4 4 4 0 8 8kN 8kN 12kN 12kN 先计算ABFG刚片F、G铰处的约束力，再反作用于HJFG刚片上。 12kN 12kN

  45. FP=8kN 32 8 4 4 4 4 32 0 32 8kN M 图 (kN·m) 12kN 12kN

  46. FP=8kN - 8 4 8 4 4 + 4 4 0 8 - + 8 8kN FQ 图 (kN) 12kN 12kN

  47. FP=8kN 4 4 8 - 4 4 8 + - 4 4 8 + 0 12 + - 12 8kN FN图 (kN) 12kN 12kN

  48. h h m m m q ql2/8 ql2/8 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ l/2 l/2 • 5、对称性的利用 • 对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。 ql2/8

  49. 静定刚架的M图正误判别 • 利用内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。 • 另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。常见错误有： • ① M图与荷载情况不符。 • ② M图与结点性质、约束情况不符。 • ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。

  50. 内力图形状特征 2.均布荷载区段 1.无何载区段 3.集中力作用处 4.集中力偶作用处 温故而知新 发生突变 ↓↓↓↓↓↓ 平行轴线 Q图 无变化 P ＋ ＋ － － 出现尖点 尖点指向即P的指向 发生突变 二次抛物线 凸向即q指向 m 斜直线 M图 两直线平行 备注 Q=0区段M图 平行于轴线 Q=0处，M 达到极值 集中力作用截面剪力无定义 集中力偶作用点弯矩无定义 • 5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。 • 6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。

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