第十二章力法

第十二章力法 沈阳建筑大学侯祥林

第十二章力法 §12—1 力法的基本概念 §12—2 力法的典型方程 §12—3 用力法计算超静定刚架 §12—4 对称性的利用 §12—5 等截面单跨超静定梁的杆端内力

§12-1 超静定结构的概念和超静定次数的确定 1. 静定结构与超静定结构静定结构：全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。外力超静定问题内力超静定问题 ×

2 . 超静定结构在几何组成上的特征 是几何不变且具有“多余”约束（外部或内部）。此超静定结构有一个多余约束，即有一个多余未知力。此超静定结构有二个多余约束，即有二个多余未知力。多余约束：这些约束仅就保持结构的几何不变性来说，是不必要的。多余未知力：多余约束中产生的力称为多余未知力（也称赘余力）。多余约束与多余未知力的选择。（基本结构） ×

3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架；（3）超静定拱； ⑶ （4）超静定刚架；（5）超静定组合结构。 ⑷ 4. 超静定结构的解法求解超静定结构，必须综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件。 ⑸ 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。 ×

超静定梁 超静定刚架超静桁架 ×

超静定拱 超静定组合结构超静定排架 ×

6. 力法解超静定结构的思路 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。 EI 1. 判断超静定次数： n=1 〓原体系（原结构） 2. 选择基本体系（结构）基本体系（基本结构） 3写出变形(位移)条件: 〓 (a)  根据叠加原理，式（a）可写成 (b) ×

(b) 4 .建立力法基本方程 11x1 将 ∆11= 代入(b)得 (12—1) 此方程便为一次超静定结构的力法方程。 5. 计算系数和常数项 2L 1 L 2 = 2 EI 3 2 qL 1 _ 1 3L = ( ) L 3 2 EI 4 6. 将11、 ∆11代入力法方程式(12-1)，可求得和MP图按叠加法绘M图。 M1图

超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。位移法的特点：基本未知量—— 基本体系—— 基本方程—— ×

§12—2 力法的典型方程 一、超静定次数与基本结构：用力法解超静定结构时，首先必须确定多余约束或多余未知力的数目。 1. 超静定次数：多余约束或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次数的方法: 采用解除多余约束的方法。解除多余约束的方式通常有以下几种：（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。（2）拆开一个单铰或撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。 ×

（3）在刚结处作一切口， 或去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个约束。应用上述解除多余约束(联系)的方法，不难确定任何超静定结构的超静定次数。 ×

3.基本体系的选择 去掉多余约束使超静定结构成为静定结构，可以有多种不同的方式。图12-11 如何选择基本体系----有利于系数和自由项的图乘计算。图12-10 ×

基本结构的形式虽然不同，但基本结构必须是几何不变的。为了保证其几何不变性，有时有些约束是绝对不能去掉的。如：图12-14 图12-15 图12-14中的水平支座链杆就不能去掉，否则将成为几何可变体系。图12-15所示两铰拱，其任一竖杆也绝对不能去掉，否则将成为瞬变体系。 ×

4. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。 n=6 对于具有较多框格的结构，可按框格的数目确定，因为一个封闭框格，其超静定次数等于三。当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。 n=3×7=21 ×

二、力法典型方程： 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 1. 三次超静定问题的力法方程首先选取基本结构（见图b）基本结构的位移条件为： △1=0 △2=0 △3=0 设当和荷载 P 分别作用在结构上时，和△1P ；沿X1方向： 11 、12 、13 A点的位移沿X2方向： 21、22、23和△2P ；沿X3方向： 31、32、33和△3P 。据叠加原理，上述位移条件可写成 +△1P 11X1 +13X3 =0 +12X2 △1= △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0 ×

△1=0 △2=0 △3=0   〓   ×

11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0 2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+ 12X2+ …+ 1iXi+ …+ 1nXn+△1P=0 …………………………………………………………… i 1X1+ i 2X2+ …+ i iXi+ …+ i nXn+△iP=0 （12—2） …………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ …+ niXi+ …+ nnXn+△nP=0 这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为自由项（又称常数项）。 ×

3. 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。（2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。 ×

4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第四章的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。 ×

的物理意义； 1）； 2）由位移互等定理主系数 3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；副系数 n次超静定结构位移的地点产生位移的原因对称方阵 4）柔度系数及其性质系数行列式之值>0 5)最后内力

§12—3 用力法解超静定刚架 1. 示例 n=2(二次超静定) 选择基本体系如图示力法典型方程为： 11X1 +△1P=0 + 12X2 (a) 21X1 + 22X2+△2P=0 计算系数和常数项，为此作计算结果如下 a2 1 2a a3 = 3 2EI1 2 6EI1 1 a2 a3 a = 2EI1 2 4EI1 ×

将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得最后内力图的绘制用叠加法解联立方程得 3P 4P Pa . MAC= a a( + ) 88 11 2 多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。 ×

2 .力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数。（2）选择静定的基本结构(去掉多余约束，以多余未知力代替)。（3）写出力法典型方程。（4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方程中的系数和自由项。（5）解算典型方程，求出各多余未知力。（6）按叠加法作内力图。（7）校核。静力平衡校核+位移条件校核 ×

3 .超静定结构的位移计算 超静定结构的位移= 基本体系的位移因此，可将超静定结构的位移计算在其基本体系上进行如：校核B点的水平位移----单位荷载法虚拟状态是静定的，计算比较简单 ×

§12—4 对称性的利用 用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。它们不仅杆件轴线所构成的几何图形对称，而且杆件的刚度及支承情况也对称。对称结构：例如： ×

荷载的对称性： ①正对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。在大小相等、作用点对称的前提，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的集中力是正对称荷载。如图（b）所示。 ②反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、垂直作用在对称轴上的荷载、位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。如图（c）所示。 ×

1. 选取对称的基本结构 多余未知力X1、X2是正对称，X3是反对称的。基本结构的各单位弯矩图(见图)。、是正对称，是反对称。则 13= 31= 23= 32=0 于是，力法典型方程简化为 11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0 下面就对称结构作进一步讨论。 ×

（1）对称结构作用对 称荷载 11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0 MP图是正对称的，故△3P=0。则 X3=0 。这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。（2）对称结构作用反对称荷载 MP图是反对称的，故 △1P= △2P=0 则得 X1=X2=0 这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。

正对称荷载作用下的奇数跨和偶数跨刚架 ×

反对称荷载作用下的奇数跨和偶数跨刚架 ×

对称刚架受任意荷载作用，可现将其分解为正对称和反对称两组，然后利用上述方法分别取半刚架计算，最后再将两者叠加，即得原结构内力。 ×

最后弯矩： 例：试用力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：将梁中间改为铰接，加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示。建立力法典型方程：求系数和自由项：代入典型方程得： ×

对称结构 反对称荷载根据弯矩图反对称弯矩图为 ×

练习题：（选择与判断） • 1、没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的。（） 2、n次超静定结构，任意去掉n个多余约束均可作为力法基本结构。（） • 3、在条件下，图示结构各杆弯矩等于零。 • 3题图 • 4、力法的基本未知力是通过（　　）条件确定的，而其余未知力是通过（　　）条件确定的。 A.平衡 B.物理 C.图乘 D.变形协调 ×

5、图示结构横梁无弯曲变形。（） • 5题图 6、图示超静定结构，当支座A发生位移时，构件CD不会产生内力。（） • 7题a图 • 6题图 • 7、a图示结构取图b为基本体系，EI=常数，△1P为（　　）。 • 7题 b图 ×

§12—5等截面单跨超静定梁的杆端内力 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应用方便，首先推导杆端弯矩公式。 P t1 A B 如图所示，两端固定的等截面梁， t2 EI L 除受荷载及温度变化外，两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移△AB 。 A  转角A、 B顺时针为正， △AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。  AB B A′ △AB  B′ 在位移法中，为了计算方便，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正)。 MAB MBA  A  B   杆端剪力符号规定不变。 ×

单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩，通常称为固端弯矩，并以 和表示，相应的杆端剪力称为固端剪力，以和表示。统称为固端力。 P     A B 固端力、三种类型的等截面单跨超静定梁三种类型的等截面单跨超静定梁。一端固定一端定向支座一端固定一端铰支两端固定 ×

一、受集中荷载作用的两端固定梁 三次超静定，去掉固定支座B得图示悬臂梁。基本体系， X3可略去不计。力法典型方程：做出 ×

代入力法典型方程整理得： 解联立方程组得： ×

AB梁B端的弯矩和剪力： AB梁A端的弯矩和剪力：最后弯矩图、剪力图为： ×

二、支座位移的影响 固定端A顺时针转动角度φA，取基本体系如图所示，写出力法典型方程。力法典型方程：做出 ×

各系数与前同，自由项计算如下： 代入力法典型方程整理得：解联立方程组得： ×

AB梁B端的弯矩和剪力： AB梁A端的弯矩和剪力：最后弯矩图、剪力图为： ×

三、梁两端垂直于轴向发生发生相对线位移的影响等截面两端固定梁两支座再垂直于梁轴方向发生相对线位移△AB，可看作支座A向上或支座B向下发生竖向位移△AB 。同样可以用力法计算，并作出其弯矩图、剪力图。对于一端固定另一端铰支及一端固定另一端定向支承的等截面梁，同样可以用力法计算其杆端力。为方便应用，将等截面梁在常见外因（荷载作用、支座转动和支座移动）影响下的杆端内力列于表12-1中。 ×

形常数表 ×

载常数表 ×

式中： 是AB杆抗弯刚度与其跨度之比，称为AB杆的线抗弯刚度或者简称线刚度。四、一端固定另一端定向支承的等截面梁：由对称性从图b所示梁中取一半，就得到图a所示梁。 AB梁两端的弯矩分别为： ×

是此梁两端的固端弯矩。 五、转角位移方程将前述计算按叠加原理叠加得： MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－两端固定的等截面梁的转角位移方程是此梁两端的固端剪力。 ×

第十二章 力法