Dělitelnost ve světě kolem nás

1. Dělitelnost ve světě kolem nás Antonín Jančařík

2. Informace • Tato prezentace je připravena pro prezentaci na webových stránkách. • Tam, kde je to nezbytné, jsou informace umístěny přímo do prezentace, nebo do poznámek pro lektora.

3. Matematika ve dvacátem století • Do druhé poloviny 20. století vstupovala matematika jako sebevědomá vědecká disciplína s dalekými perspektivami …. • Matematika vítězně vstoupila do všemožných oblastí lidské činnosti, výpočetní technika stála na prahu raketového nástupu. • M. Hejný, Teória vyučovanie matematiky 2

4. První počítač • Charles BabbageTvůrce prvního počítače • Difference Engine • Analytical Engine • Ada, Lady LovelacePrvní programátorka

5. Paříž 1900 • Hypotéza kontinua • Axiom výběru • Gödelova věta • Riemannova hypotéza • Dirichletův problém • Lze zaplnit prostor pomocí nepravidelného opakování mnohostěnů?

6. Gödelovy věty • První Gödelova věta říká, že v žádné rozumné teorii hovořící o přirozených číslech není dokazatelné vše. • Druhá Gödelova věta dává konkrétní příklad takového nedokazatelného tvrzení pro Peanovu aritmetiku – je jím věta „Peanova aritmetika je bezesporná.“

7. Co je spočitatelné • Turingův stroj • Pomyslný stroj, který byl sestrojen tak, aby prováděl matematické operace nebo algoritmy. • Turingův test

8. Počítače

9. Otázky spojené s daty • Jak data ochránit – kryptologie. • Jak zabránit chybám v přenosu – teorie kódů. • Jak zmenšit objem dat – komprimační algoritmy. • Jak efektivně data vyhledávat. • Jak rozeznat psaný text a mluvené slovo. • Jak rozeznat chyby v zadaných datech.

10. Test pozornosti

11. Soustřeďte se prosím

12. Počítačové zpracování dat • Velká část dat je stále zadávána na základě papírové předlohy. • Při zadávání a následném přepisu dochází někdy k chybám. • Důsledky těchto chyb mohou být v některých případech fatální.

13. Kontrolní součty • Kontrolní součty slouží k ověření, zda v zadávaných údajích nedošlo k chybě. • Kontrolní součty odhalí jen některé chyby. • Kontrolní součty obvykle neposkytují informaci, kde k chybě došlo.

14. Chyby při zadávání dat • Nejčastější chybou je záměna jedné číslice za druhou (připadá na ní cca 79 % všech chyb). • Druhou nejčastější chybou (nastává v cca 10 % případů) je záměna pořadí dvou sousedních číslic.

15. Rodné číslo • V České republice je pro identifikaci osob používáno rodné číslo. • Od 1. ledna 1954 je číslo za lomítkem čtyřciferné. Čtvrtá číslice je kontrolní a slouží k ověření platnosti rodného čísla.

16. Informace v RČ • Prvních šest číslic rodného čísla popisuje datum narození ve formátu rrmmdd. • 501218 označuje datum narození 18. prosince 1950. • Ženy mají k měsíci připočteno 50. • 506218 označuje ženu narozenou 18. prosince 1950. • Od roku 2004 se přidělování rodných čísel řídí zákonem č. 53/2004 Sb, který mimo jiné řeší i situaci, kdy se v jednom dni narodí více dětí, než je odpovídajících rodných čísel. V takovém případě se použije rodné číslo, kde je k měsíci přičteno 20 u mužů a 70 u žen.

17. Číslo za lomítkem • Zbytek rodného čísla je použit pro odlišení osob narozených ve stejný den. • U starších rodných čísel by možné z čísla za lomítkem vyčíst i oblast, ve které se osoba narodila (např. počáteční nula označovala do roku 2004 Prahu).

18. Rodné číslo • RČ je považováno za citlivý osobní údaj a na nakládání s ním se vztahují omezení daná zákonem na ochranu osobních údajů. • Zákon o RČ dovoluje užití rodného čísla pouze pro účely správních úřadů, ministerstev atd. nebo se souhlasem nositele rodného čísla. • Osoba, která RČ užívá neoprávněně, se dopouští správního deliktu, za který ji Úřad na ochranu osobních údajů může potrestat pokutou.

19. Informace k tabulce • Následující tabulka se používá tak, že dle první číslice rodného čísla zvolíme řádek, na kterém zahájíme výpočet. • Ve sloupci odpovídajícím další číslici nalezneme číslo řádku, na kterém budeme pokračovat. • Pokud poslední číslicí, kterou takto v tabulce nalezneme je nule, je RČ správně zadané.

20. Rodné číslo 7301273243

21. Poslední číslice RČ • Jako čtvrtá číslice se doplňuje zbytek po dělení prvních devíti číslic číslem 11. • Pokud tento zbytek vyšel 10, doplnila se číslice 0. Potom ale RČ nebylo dělitelné 11. • Čísel, u nichž byla doplněna na konec nula a na rozdíl od ostatních nejsou dělitelná 11, bylo vydáno asi 1000. • Přidělování rodných čísel, která nejsou dělitelná jedenácti, bylo roku 1985 podle interního předpisu FSÚ Č. Vk. 2898/1985 ukončeno.

22. Změna rodného čísla Změna rodného čísla se provede v případě, kdy: a) totožné rodné číslo bylo přiděleno dvěma nebo více obyvatelům, b) bylo přiděleno chybné rodné číslo, c) se provádí nezrušitelné osvojení, nebo d) došlo ke změně pohlaví.

23. Dělitelnost 11 11=10+1, resp 10=11–1 abcde=104 a+103 b+102 c+10d+e =(11–1)4 a+(11–1)3 b+(11–1)2c+(11–1)d+e =a–b+c–d+e mod 11 Číslo je dělitelné jedenácti, pokud rozdíl součtu lichých a sudých číslic je dělitelný 11.

24. Dělitelnost 11 100=9·11+1 abcde=1002a+100bc+ de =(9·11+1)2a+(9·11+1)bc+de =a+bc+de mod 11 Číslo je dělitelné 11, pokud po „dvojitém“ ciferném součtu je dělitelné 11.

25. 7301273243 • 7 – 3 + 0 – 1 + 2 – 7 + 3 – 2 + 4 – 3 = 0 • 73 + 01 +27 + 32 +43 = 176  1 + 76 = 77 • 7 + 1 + 5 + 10 +10 = 33

26. Bezpečnost RČ • U rodného čísla je záměna jedné číslice odhalena ve 100 % případů. • 11 nedělí 10nx • U rodného čísla je prohození sousedních číslice odhaleno ve 100 % případů. • 11 nedělí ab-ba • U rodného čísla záměny typu cba za abc nelze rozpoznat v žádném případě.

27. Kontroly pomocí dělitelnosti • Nevýhodou kontroly pomocí dělitelnosti 11 je fakt, že některá čísla nelze pomocí jedné číslice na násobek čísla 11 doplnit. • V praxi se proto používají i kontrolní součty, které využívají dělitelnost čísly devět či sedm.

28. Dělitelnost 9 • Pošta v USA pro označování poštovních zásilek. • Kontrolované číslo není doplňováno na násobek, ale jako poslední číslice se přidává zbytek čísla, které doplňujeme, po dělení devíti.

29. Dělitelnost 9 • Schopnost detekce chyby je menší, než při doplňování na násobek čísla jedenáct. • Při ověřování dělitelnosti 9 nelze rozlišit 0 a 9. • Úspěšnost při odhalování záměny jedné číslice za jinou je tak u této metody pouze 98 %. • Metoda není schopna rozeznat prohození dvou číslic, s výjimkou prohození posledních dvou.

30. Dělitelnost 7 • Výpočet kontrolní číslice jako zbytek čísla při dělení sedmi se používá pro kontrolu správnosti čísla letenky, nebo jsou jí zajištěny čísla zásilek u společností UPS a FedEx.

31. 162149648781-1

32. Spolehlivost dělitelnosti 7 • Nelze rozeznat záměnu ve dvojicích (0-7, 1-8, 2-9). • Úspěšnost při odhalování záměny jedné číslice za jinou je tak pouze 95 %. • Jediné dvojice, jejichž prohození nelze rozeznat jsou, stejně jako při záměně číslic, dvojice (0-7, 1-8, 2-9). Tyto dvojice se vyskytují v cca 6 % případů.

33. Dělitelnost • Nevýhodou dělitelnosti 11 je zbytek 10. • Nevýhodou dělitelnosti 7 a 9 jsou „stejná“ čísla. • Nejvhodnější by byla dělitelnost 10.

34. Dělitelnost 10 • Dělitelnost 10 není vhodná, protože o dělitelnosti rozhoduje pouze poslední číslice. • Tuto chybu můžeme odstranit tak, že nebudeme počítat zbytek čísla po dělení 10, ale zbytek jeho ciferného součtu po dělení 10.

35. Dělitelnost ciferného součtu 10 • Protože je sčítání komutativní, nerozeznáme žádnou záměnu dvou číslic. • 123, 321, 132 … mají stejný ciferný součet • Můžeme zkusit nějak označit ve výpočtu pozici čísla.

36. Čárový kód • Čárový kód (Universal Product Code) Kontrolní číslice se vypočítá jako doplněk trojnásobku součtu lichých číslic a součtu sudých číslic do násobku čísla deset. Číslice na místě jednotek je vždy násobena třemi.

37. 89742900109-7 • 3 x (9+1+2+7+8)=3 x 27  1 • 1 x (9+4+9)=22  2 • 1+2=3 Doplněk do 10 je 7.

38. ISBN • International Standard Book Number • Využívá dělitelnost 11, pokud je potřeba doplnit číslo 10, doplní se písmeno X. • Každá číslice je vynásobena svou pozicí.

39. ISBN s UPC

40. 978052158889 Výpočet pro ISBN • 9x5+8x2+7x1+6x5+5x8+4x5+3x8+2x9 • =212 = 110+99+3 • Musíme přičíst 8, aby výsledek byl dělitelný 11. Výpočet pro UPS • 3x(9+8+5+2+7)=3x(31)  3 • 1x(8+8+1+5+8+9)= 39 9 • 9+3  2, Doplněk do 10 je 8.

41. Další kontrolní součty • Bankovky EURO – € • Občanský průkaz • Pas • Identifikační číslo vozidla – VIN

42. Děkuji za pozornost a budu vděčný za případné poznámky, připomínky a náměty. Antonin.Jancarik@pedf.cuni.cz