INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

2. EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA

3. Es un Arte que mejora con la práctica… ¡ PRACTIQUEMOS!

4. Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la Investigación de Operaciones.

5. Ejemplo: El problema de la industria de juguetes “Galaxia”. • Galaxia produce dos tipos de juguetes: * Space Ray * Zapper • Los recursos están limitados a: * 1200 libras de plástico especial. * 40 horas de producción semanalmente.

6. Requerimientos de Marketing. * La producción total no puede exceder de 800 docenas. * El número de docenas de Space Rays no puede exceder al número de docenas de Zappers por más de 450. • Requerimientos Tecnológicos. * Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de producción por docena. * Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción por docena.

7. Plan común de producción para: * Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad por docena). * Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por docena).

8. Solución • Variables de decisión * X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por semana). * X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por semana). • Función objetivo * Maximizar la ganancia semanal.

9. Modelo de Programación Lineal Max (Z) = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal) Sujeto a: 2X1 + 1X2 1200 (Cantidad de plástico) 3X1 + 4X2 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 800 (Limite producción total) X1 - X2 450 (Producción en exceso) Xj  0, j = 1, 2. (Resultados positivos) • El plan común de producción consiste en: Space Rays = 550 docenas Zappers = 100 docenas Utilidad = S/. 4900 por semana

10. Producto P1 P2 Disponibilidad Componente (kilogramos) A 1 3 15,000 B 2 1 10,000 C 2 2 12,000 D 1 1 10,000 Beneficios 4 3 S/./unidad EJEMPLO N° 1 Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe fabricarse con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.

11. X1 = Nº de unidades de producto P1 X2 = Nº de unidades de producto P2 Entonces el programa lineal correspondiente es: Max (Z) = 4X1 + 3X2 Sujeto a : 1X1 + 3X2 ≤ 15,000 2X1 + 1X2 ≤ 10,000 2X1 + 2X2 ≤ 12,000 1X1 + 1X2 ≤ 10,000 X1, X2 ≥ 0

12. EJEMPLO Nº 2 En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de S/. 0.5 / litro y S/. 0.3 / litro, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5,000 y 2,000 soles de materias primas por cada 10,000 litro. La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 10,000 soles para materias primas, y desea maximizar su beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

13. FORMULACIÓN

14. EL MODELO DE P. L. Optimización

15. Donde el vector c también conocido como el vector costos, viene dado por: • El vector de lado derecho o b, viene dado por: • Este es un vector columna, que representa los recursos de las m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano derecha de cada una de las m ecuaciones.

16. La matriz A, representa los coeficiente tecnológicos; es la matriz para el sistema de ecuaciones AX = b: • El sistema de ecuaciones o el modelo de PL, queda representado por:

17. EL MODELO DE P.L. Z: función objetivo C (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f. o. X (x1,...,xn): vector de variables de decisión A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos b (b1,...,bm): vector de demandas Matricialmente, Optimización Max o Min = CX S.A. AX b x  0 Forma canónica

18. Problema N° 1 • El dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de S/. 20 cada una y después de haberlos usado, puede mandar manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda 1 día) que cuesta S/. 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2 días) que cuesta S/. 8 por mantel. Formule un modelo que permita conocer al dueño del restaurante que número de manteles debe comprar inicialmente y que número debe mandar a lavar cada día para minimizar sus costos.

19. ProblemaN° 1 X1 = Cantidad de Manteles comprados (sólo se puede comprar el primer día). X2 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el primer día. X3 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio normal el primer día. X4 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el segundo día. Notar que también podríamos haber definido entre otras X5 = Cantidad de Manteles no usados el primer día. X6 = Cantidad de Manteles no usados el segundo día (70) (60)

20. Continua problema N° 1 Sin embargo, esto no es necesario pues X5 = X1 − 40. X6 = X1 − 40 − 70 2. Función Objetivo. Min (Z) = 20X1 + 15X2 + 8X3 + 15X4 3. Restricciones. a) Satisfacción de la necesidad de manteles al primer día X1 ≥ 40 b) Satisfacción de la necesidad de manteles al segundo día. (X1 − 40) + X2 ≥ 60 ↔ X1 + X2 ≥ 100 c) Satisfacción de la necesidad de manteles al tercer día. (X1 − 40) + X2 − 60 + X3 + X4 ≥ 70 ↔ X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 170 d) El número de manteles mandados a lavar el primer día, puede a lo mas ser igual al número de manteles usados ese día. X2 + X3 ≥ 40 e) El número de manteles mandados a lavar hasta el segundo día, puede a lo mas ser igual al número de manteles usados hasta ese día. X2 + X3 + X4 ≥ 40 + 60 ↔ X2 + X3 + X4 ≥ 100 f ) No negatividad. X1, X2, X3, X4 ≥ 0

21. Problema N° 2 • Una carnicería de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albóndigas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda S/. 80 por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta S/. 60 por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albóndigas, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%? El objetivo es minimizar el costo (en centavos), Z, de una libra de albóndigas, donde: Z = 80 veces el numero de libras de carne molida de res, mas 60 veces el numero de libras de carne molida de cerdo empleadas.

22. Problema N° 2 Si se define: X1 = numero de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albóndigas. X2 = numero de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albóndigas, el objetivo se expresa como: Minimizar (Z) = 80X1 + 60X2(1) Cada libra de albóndigas tendrá 0.20 X1, libras de grasa provenientes de la carne de res y 0.32 X2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido total de grasa de una libra de albóndigas no debe ser mayor de 0.25 libras. Entonces: 0.20X1 + 0.32X2 ≤ 0.25 (2) El número de libras de carne de res y de cerdo empleadas en cada libra de albóndigas debe sumar 1; entonces: X1 + X2 = l(3) Finalmente, la tienda no puede usar cantidades negativas de ninguna de las carnes, así que hay dos restricciones de no negatividad: X1≥ 0 y X2 ≥ 0. Combinando estas condiciones con (1), (2) y (3), se tiene:

23. Problema N° 3 Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios; A S/. 700, B S/. 3,500, C S/. 7,000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida. Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo. Formule y Construya el modelo Lineal que maximice los ingresos de la empresa.

24. Solución Utilizando el mismo proceso, se tiene lo siguiente: Variables de decisión X1: Unidades de A producidas en total X2: Unidades de B producidas en total X3: Unidades de C producidas en total X4: Unidades de A para ser vendidas X5: Unidades de B para ser vendidas. Objetivo: Max (Z) = 700 X4 + 3,500 X5 + 7,000 X3 Sujeto a: X1 + 2X2 + 3X3≤ 40 X1 = X4 + 2X2 X2 = X5 + X3 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

25. Problema N° 5

26. Solución X1: Número de unidades por hora de aisladores de aplicación general que se fabricaran X2: Número de unidades por hora de aisladores de aplicación especial que se fabricaran X3 Número de unidades por hora de aisladores de alto voltaje general que se fabricaran Maximizar utilidades por hora para la planta, donde la función Z son unidades totales, expresadas en soles por hora: X1, X2 y X3 se expresan en unidades por hora.

27. Max (Z) =6 X1 + 7.5 X2 + 17.5 X3 Sujeto a: 0.02 X1 + 0.025 X2 + 0.04 X3 ≤ 1 0.025 X1 + 0.05 X2 + 0.10 X3 ≤ 1 0.04 X1 + 0.01 X2 + 0.10 X3 ≤ 1 X1 , X2 X3 ≥ 0

28. Problema N° 9 Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el cinturón B es de baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de S/. 0.40 y S/. 0.30. Cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1000 día, el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B. Establezca las ecuaciones de programación lineal para el problema. Tipo de cinturón Ganancia Disponibilidad S/. / Cin hebillas/día A 0.4 400 B 0.3 700

29. Xi: Número de cinturones producidos por día del tipo i; donde i = A, B tA = 2tB FUNCIÓN OBJETIVO: Max (Z) = 0.4 XA + 0.3 XB Sujeto a: 2 XA + XB≤ 1,000 XA + XB ≤ 800 XA≤ 400 XB ≤ 700 XA, XB ≥ 0

30. Problema N° 6 MUEBLES DESK Compañía, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de muebles de escritorio: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno, la tabla N° 03 muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en soles por unidad) en cada planta. La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de S/. 350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a S/. 275 con el objetivo de estar en posición competitiva. La compañía ha estado experimentando exceso de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de S/. 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de S/. 2200. A los administradores les gustaría determinar cual es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.

32. Solución 1. No se dispone de más de 80 horas para la producción combinada de escritorios en la planta 1. 2. No se dispone de más de 50 horas para la producción combinada de escritorios en la planta 2. 3. Los costos asociados con la producción combinada de escritorios ejecutivos en las dos plantas no deben exceder S/. 2,000. 4. Los costos asociados con la producción combinada de escritorios secretariales en las dos plantas no deben exceder S/. 2,000. X1: Número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1 X2: Número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1 X3: Número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2 X4: Número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2

33. C1 = 350 – 250 = S/. 100 Escritorio ejecutivo que se fabrica en la P1 C2 = 275 – 200 = S/. 75 Escritorio secretarial que se fabrica en la P1 C1 = 350 – 260 = S/. 90 Escritorio ejecutivo que se fabrica en la P2 C4 = 275 – 180 = S/. 95 Escritorio secretarial que se fabrica en la P2 Función Objetivo: Max (Z) = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4 Sujeto a: • Limitación del tiempo de producción en la planta 1 (80 horas) 7 X1 + 4 X2≤ 80 • Limitación del tiempo de producción en la planta 2 (50 horas) 6 X3 + 5 X4≤ 50 • Restricción de costos de los escritorios ejecutivos 250 X1 + 260 X3≤ 2000 4. Restricción de costos de los escritorios secretariales 200 X2 + 180 X4≤ 2200 X1 , X2,, X3, X4 ≥ 0

34. Problema N° 8 Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B, y C. Los combina de acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla N° 1. TABLA N° 1 ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente en la tabla N° 2. TABLA N° 2 DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE Indique cómo se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una política de producción que haga máxima la ganancia.

35. Solución X11 : Cantidad de A usada para el super fuerte X21 : Cantidad de B usada para el super fuerte X31 : Cantidad de C usada para el super fuerte X12 : Cantidad de A usada para el fuerte X22 : Cantidad de B usada para el fuerte X32 : Cantidad de C usada para el fuerte Max (Z) = 6.80 (X11 + X21 + X31) + 5.7 (X12 + X22 + X32) – [ 7(X11 + X12) + 5(X21 + X22) + 4(X31 + X32)] Sujeto a: X11 + X12 ≤ 2,000 X21 + X22 ≤ 2,500 Disponibilidad X31 + X32 ≤ 1,200 X11 ≥ 0.60 (X11 + X21 + X31) X31 ≤ 0.20 (X11 + X21 + X31)

36. X32 ≤ 0.60 (X12+ X22+ X32) X12 ≥ 0.15 (X12 + X22 + X32) Xij ≥ 0 : i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2

37. Problema 7 Una industria de muebles requiere de 350 barras de 2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20 cm., si dicha empresa dispone de barras cuyas dimensiones son 7x5x20 cm., cual debe ser el programa que debe seguir para minimizar desperdicios sabiendo que el máximo debe ser de 140 cm3.

38. Solución

39. 140 cm3= 7 cm2 20 cm 350 2 x 4 x 20 200 2 x 3 x 20 Xi = cantidad de barras a obtenerse en la modalidad de corte i Min (Z) = 100 X1 + 60 X2 + 140 X3 X1 X2 X3 2 x 4 x 20 0 1 2 2 x 3 x 20 5 4 2 Sujeto a: X2 + 2 X3≥ 350 5 X1 + 4 X2 + 2 X3 ≥ 200 X1, X2, X3≥ 0

40. Problema 10 X1 = toneladas de mineral 1 en el molde X2 = toneladas de mineral 2 en el molde Mineral 1 Mineral 2 Hierro forjado 60% 13% Plomo 10% 3% Min (Z) = 260 X1 + 80 X2 Sujeto a: 0.60 X1 + 0.13 X2≥ 0.20 (X1 + X2) 0.10 X1 + 0.03 X2≥ 0.05 (X1 + X2) X1, X2, ≥ 0

41. Problema 11 Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 láminas de tamaño 2’ x 4’ y 1000 láminas de tamaño 4’ x 7’. Se dispone de dos láminas estándar de tamaño 10’ x 3000’ y 11’ x 2000’. El personal del departamento de ingeniería decide que los tres siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

42. Solución Láminas 2 x 4 2,000 10’ x 3,000’ 4 x 7 1,000 11’ x 2,000’ Xij = Cantidad de patrones i utilizado para cortar en la lámina j Sujeto a: 2’ x 4’ 1 X11 + 5 X31 + 2 X22 + 5 X32≥ 2,000 4’ x 7’ 1 X11 + 0 X31 + 1 X22 + 0 X32≥ 1,000 X11 + X31 ≥ 3,000/4 X22 + X32≥ 2,000/4 X11, X31, X22, X32≥ 0 Min (Z) = Min (Z) = 4 X11 + 0 X31 + 0 X22 + 4 X32 750 para cotar 500 para cotar

43. Problema 12 • El Real Hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Real hotel requiere como mínimo las horas de servicio. Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Formule este problema como un modelo de programación lineal. El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el trimestre.

44. Solución

45. Continuación….. Xi = Número de mucamas que empiezan a trabajar el día i durante cinco dias consecutivos XJ + XV + XS + XD + XL≥ 150 / 6 XV + XS + XD + XL + XMa ≥ 200 / 6 XS + XD + XL + XMa+ XMi ≥ 400 / 6 XD + XL + XMa+ XMi+ XJ ≥ 300 / 6 XL + XMa+ XMi+ XJ + XV ≥ 700 / 6 XMa+ XMi+ XJ + XV +XS ≥ 800 / 6 XMi+ XJ + XV +XS + XD ≥ 300 / 6 XL , XMa, XMi, XJ , XV , XS , XD ≥ 0 Min (Z) = XL + XMa+ XMi+ XJ + XV + XS + XD

46. Problema 13 La Compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia Prima para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la materia prima para el clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento N° 1 y tres en el departamento N° 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el departamento N° 1 y 2 horas en departamento N° 2, el jornal por hora en ambos departamentos es de S/. 2. Si ambos productos se venden a S/. 18, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos son de 160 y 180 respectivamente. Expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades.

47. Solución X1 : unidades de clavos a producirse por semana X2 : unidades de tornillos a producirse por semana Max (Z) = 18(X1 + X2) – [10 X1 + 2 X1 + 12 X2 + 2.5 X2] Sujeto a: 2 X1 + 4 X2 ≤ 160 3 X1 + 2 X2 ≤ 180 X1 , X2 ≥ 0

48. Problema 14 A un estudiante de Ingeniería de sistemas se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al estudiante S/. 50, además sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de whisky y martín. Los precios de la bebida eran: Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vaso Whisky S/.2 el vaso, Martini S/. 4 el vaso El estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos que tenía que entretener a su huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza, ginebra, whisky y martín, 17, 15 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. ¿Cómo resolvió el estudiante el problema?

49. Solución Xi : Número de vasos del tipo i i = 1, 2, 3, 4 1 = Cerveza 2 = Ginebra 3 = Whisky 4 = Martini Maz (Z) = 17 X1 + 15 X2 + 16 X3 + 7 X4 Sujeto a : 1 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 ≤ 50 X1 ≤ 8 X2 ≤ 10 X3 ≤ 12 X3 ≥ 2 X4 ≤ 24 15 X1 + 6 X2 + 7 X3 + 4 X4 ≤ 90 X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0

50. Problema 15 Xi : cantidad de unidades del tipo i a ser fabricados para ser vendidos a la semana i : 1, 2, y 3 1 = válvula globo 2 = válvula aguja 3 = módulo Max (Z) = 10 X1 + 20 X2 + 60 X3 Sujeto a: 10X1 + 15X2 + (25 + 2 x 10)X3≤ 25,000 5X1 + 5X2 + (10 + 2 x 5) X3≤ 15,000 5X1 + 5X2 + 10 X3≤ 45,000 5X2 + 10 X3≤ 45,000 5X2 + 20 X3≤ 45,000 X3 ≥ 200 X1,X2 , X3≥ 0