FI I– 9 I ndukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé proudy.

1. FII–9 Indukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé proudy.

2. Hlavní body • Přenos energie. • Překonávání momentu síly a elektromotorického napětí, • Foucaultovy proudy. • Vlastní indukčnost. • Střídavé proudy. Střední hodnoty • Popis obvodů RLC pomocí komplexního aparátu.

3. Přenos energie • Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie. • Výhoda je, že elektrická energie je výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. • Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

4. Pohyblivá vodivá tyč VIII • Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí U, netečeproud. • Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali : F = BIl.

5. Pohyblivá vodivá tyč IX • Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice rezistoremR, poteče proud daný Ohmovým zákonem I =U/R. • V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BIlv =UI, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu Rzmění v teplo.

6. Překonávání momentu síly I • Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat momentsíly. • Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T

7. *Překonávání momentu síly II • Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni momentsíly. • Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

8. *Překonávání momentu síly III • Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = U/R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí  musíme dodatvýkon : P = T = BIL2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

9. Princip elektromotoru I • Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích. • Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhovýproudI0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R : I0 = U/R.

10. Princip elektromotoru II • Jemu odpovídá jistá rozběhovásíla : F0=BlI0 = BlU/R • Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejnějako kdyby tyčkou pohyboval vnějšíčinitel, elektromotorickénapětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF).

11. Princip elektromotoru III • Za pohybu bude celkovýproudsuperpozicípůvodního proudu a proudu způsobenéhoelektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky: I(v) = [U - U(v)]/R = (U – vBl)/R • Síla působící na tyčku potom závisí na tomto celkovémproudu : F(v)=BlI(v)

12. Princip elektromotoru IV • Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu pohybovat zrychleně.S rostoucí rychlostí se ale zvětšujeindukované elektromotorické napětí, tudíž se snižujecelkovýproud a tedy i síla, působící na tyčku. • Děj vede k rovnováze, při které napětíindukované je rovnonapětízdroje. Zde mizíproud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně rychlostí ve = U/Bl.

13. *Princip elektromotoru IV • Konečnárychlost volné tyčky ve tedy závisí na napětí zdroje U. • Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou F  (0, F0) • S rostoucí zátěží proudlineárněporostearychlostbude lineárněklesat: I = F/Bl v = (I0-I).R/Bl

14. *Princip elektromotoruV • Úpravou původního vztahu pro proud získáme zajímavou informaci o výkonech : I = I0– Bvl/R Bvl/R = I0– I rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIl Pm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz

15. Princip elektromotoruVI • MechanickývýkonPm = Fvnabývámaxima při síle F = F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých maximálních hodnot. • Ohmický ztrátovývýkonPz = RI2rostekvadraticky s růstem zátěže i proudu. • VýkonzdrojeP, který je jejich součtem, rostelineárně. • Efektivita výkonu Pm/Plineárněklesá. • K obdobnýmzávěrům lze dojít i u elektromotorů otáčivých.

16. Princip elektromotoruVII • Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na maximálnímechanickývýkon. Jejich pracovníotáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovníproud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet. • Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálíse, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního.

17. *Foucaultovy proudy I • Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole. • Je-li ale vodič třírozměrný a neníúplně ponořen nebo pole neníhomogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovyproudy.

18. *Foucaultovy proudy II • Novým jvem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odporpohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodávánvýkon k jeho udržení. • Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulémubrždění některých pohybů.

19. *Foucaultovy proudy III • Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrátvýkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

20. Vlastní indukčnost I • Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící. • Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativněstejně.

21. Vlastní indukčnost II • Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem. • Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měnímemagnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně. • Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí.

22. Vlastní indukčnost III • Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: • geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru • rychlostizměny proudu • Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní)indukčnostL.

23. Vlastní indukčnost IV • Potom zákon elektromagnetické indukce píšeme : • Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektricképole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili polemagnetické. • Cívky mají obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

24. Vlastní indukčnost V • Mějme dlouhý solenoid sNzávity. • Protéká-li jím jistý proud I, bude procházet jeho každým závitem stejný magnetický tok m1. • Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v každém závitu stejné elektromotorické napětí. Protože závity jsou vlastně zapojeny do série, bude celkové naindukované napětíNnásobek napětí v jednom závitu. • Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme předešlou definici indukčnosti.

25. Vlastní indukčnost VI • Jsou-li N a Lkonstantní, obdržíme jednoduchou integrací indukčnost: • Jednotkou magnetického toku je 1 weber 1 Wb = 1 Tm2 • Jednotkou indukčnosti je 1 henry 1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A

26. Vlastní indukčnost VII • Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí: • V elektronice a elektrotechnice se používají cívky, součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost.

27. Vzájemná indukčnost I • Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat prostřednictvím magnetickéhopole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností. • Jedná se o celkovýtok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé. • Mějme dvě cívky Ni, Ii naspolečném jadře nebo blízko sebe. • Budiž21tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1.

28. Vzájemná indukčnost II • Potom definujeme vzájemnou indukčnostM21jako celkový tok vevšechzávitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1: M21 = N221/I1  I1M21 = N221 • Indukované napětí ve2. cívcepřímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je : U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt • PoužitíM21má smysl, když se vzájemné působení cívek nemění v čase. Obecně závisí nageometrii obou cívek a vlastnostechprostředí mezi nimi.

29. Vzájemná indukčnost III • Lze dokázat, ževzájemná indukčnost obou cívek je stejnáM21 = M12 . • Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje napětí v cívce druhé, má řadu praktickýchaplikací. • Používá se například k napájeníkardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání. • Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.

30. Transformátor I • Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna, dvě nebo více cívek stejný(časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existujíi autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami) • Transformátory se užívají hlavně k převodunapětí a proudu nebo přizpůsobenívnitřníhoodporu (impedančnímu přizpůsobení).

31. Transformátor II • Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N1 a N2závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelnýproud. • Vstupní napětí musí být časově proměnné. • Každým jedním závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U1: U1 = - d/dt

32. Transformátor III • Připojíme-li k primární cívce napětí U1, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U1 = N1U1 • Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U2 = N2U1

33. Transformátor IV • Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů : U1/N1= U2/N2 • Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%.

34. Transformátor V • Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1. • Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci. P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2 I1N1= I2N2 R1/N12 = R2/N22

35. Energie magnetického pole I • Indukčnost brání změnám protékajícího proudu. • Znamená to, že k dosažení stavu, kdy cívkou protéká určitý proud, bylo potřeba vykonat jistou práci. • Tato práce se přemění do potenciálníenergiemagnetickéhopole. Roste při zvyšování proudu a klesá při jeho snižování. • Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

36. Energie magnetického pole II • Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunavat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí : P = IU = ILdI/dt  dW = Pdt = LIdI • Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat : W = LI2/2

37. Hustota energie magnetického pole I • Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém. • Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu : • Známe vztahy pro indukčnost L a indukci BL = 0N2S/l B = 0NI/l  I = Bl/0N

38. Hustota energie magnetického pole II • Protože Slje objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme pokládat za hustotuenergiemagnetického pole. • Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v nehomogenních polích.

39. RC, RL, LC a RLC obvody • Obvody obsahující cívky a kondenzátory dosáhnou po určité změně, např. připojení zdroje rovnovážného stavu až za určitou dobu. Proto je u nich důležité najít chování elektrických veličin v závislosti na čase. Budeme se tedy zabývat “vybíjením nebo nabíjením” kondenzátoru nebo cívky přesodpor. • U obvodů LC se setkáme s novým jevem oscilacemi.

40. Obvod RC I • Mějme kondenzátor Cnabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjet v čase t = 0 přes rezistor R. • V každém okamžiku je kondenzátor v obvodu zdrojem v tomto obvodu a platí 2. Kirchhoffův (neboOhmův) zákon : I(t) = Uc(t)/R • To vede nadiferenciálnírovnici.

41. Obvod RC II • Všechny veličiny Q, U a Iexponenciálně klesají s časovou konstantou  = RC. • Nyní připojme stejný kondenzátor a rezistor k vnějšímuzdroji s napětím U0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona: I(t)R + Uc(t) = U0 což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

42. Obvod RC III • Nyní Q a Urostouexponenciálně do saturace a proud klesáexponenciálně jako v předchozím případě. • Časové změny všech veličin lze opět popsat pomocí časovékonstanty  = RC.

43. LC obvod I • Ke kvalitativněnové situaci dojde, připojíme-li nabitý kondenzátor Ck cívceL. • Lze očekávat, že se energie bude přelévat z formy elektrické do magnetické a naopak. Dochází k netlumenémuperiodickému pohybu.

44. LC obvod II • Tento obvod se nazývá LCoscilátor a produkuje elektromagnetické kmity. • Opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon: L dI/dt –Uc = 0 • To vede opět nadiferenciálnírovnici, ale vyššího řádu.

45. LC obvod III • Co se děje kvalitativně: • Na začátku je kondenzátor nabit a snaží se vybíjet přes cívku. Na ní se ale naindukuje napětí rovné napětí na kondenzátoru, čímž cívka brání rychlému nárustu proudu. Ten je zpočátkunulový. Jeho časová derivace však musí být nenulová, proud tedy zvolna roste.

46. LC obvod IV • Kondenzátor se vybíjí, čímž klesá nárust proudu a tím i indukované napětí na cívce. • V okamžiku, kdy je kondenzátor vybit je napětí na něm nulové, nulový je i nárůst proudu a napětí na cívce. Proud má ale nyní maximální hodnotu a cívkabrání jejímu okamžitému poklesu.

47. LC obvod V • Na cívce nyní poroste napětí opačné polarity, což odpovídá klesajícímu proudu. Kondenzátor se též nabíjí na polaritu, která je opačná, než byla polarita původní. • V okamžiku, kdy je kondenzátor nabit, je proudnulový a celý děj se opakuje.

48. *RLC obvod • Přidáme-li k obvodu RC rezistor, bude obvod kmitat kmitytlumenými. • Při průtoku proudu se elektrická energie bude měnit na rezistoru na energii tepelnou a počáteční energie nahromaděná původně v nabitém kondenzátoru se bude postupněztrácet.

49. Harmonický střídavý proud • Z praktickéch i teoretických důvodů hrají střídavé proudy harmonickéhoprůběhu velmi důležitou roli. Jsou to veličiny, jejichž závislost na čase lze vyjádřit jako harmonickou nebo-li goniometrickou funkci [sin(), cos() exp(i)] času, např.: U(t)=U0sin(t + ) I(t)=I0sin(t + )

50. Střední hodnota I • Střední hodnota <f>časově proměnné funkce f(t)je konstantní hodnota, která má během jistého času stejnéintegrálníúčinky jako časově proměnná funkce. • Například střední proudje stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu stejný náboj jako proud střídavý.