Pojam naprezanja i komponente naprezanja

1. SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE UNIVERSITY OF SPLIT, FACULTY OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND GEODESY Pojam naprezanja i komponente naprezanja Nastavnici: Prof. dr. sc. Blaž Gotovac Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić Nives BrajčićKurbaša Marko Abram Akad. god. 2013/14

2. Promatra se čvrsto tijelo koje se nalazi u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila

3. Tijelo ravninom ( određenom normalom ) prerežemo na dva dijela II I

4. Odbacimo drugi dio tijela • Njegovo djelovanje na prvi dio I moramo nadomjestiti silama na ravnini presjeka • Oko točke izdvojimo elementarnu površinu na koju djeluju unutarnje sile: GLAVNI VEKTOR UNUTARNJIH SILA GLAVNI MOMENT I

5. Naprezanje možemo shvatiti kao srednju vrijednost sile na nekoj površini I SREDNJE NAPREZANJE NA ELEMENTU POVRŠINE PUNO ILI TOTALNO NAPREZANJE U TOČKI ! = =

6. Naprezanje možemo shvatiti kao srednju vrijednost sile na nekoj površini NORMALNO NAPREZANJE POSMIČNO NAPREZANJE I Smjer komponente naprezanja Vanjska normala ravnine 1 Pa = 1N/m2 1 MPa= 106 Pa = 106N/m2 = 1 N/mm2

7. = Smjer i veličina sile ovisi o koordinati točke i presječnoj ravnini

8. I Smjer i veličina sile ovisi o koordinati točke i presječnoj ravnini

9. =

11. Stanje naprezanja u točki napregnutog tijela potpuno je određeno s DEVET komponenata naprezanja koje djeluju na tri uzajamno okomite ravnine TENZOR NAPREZANJA NAPISAN U MATRIČNOJ SHEMI • Elementi jednog retka predstavljaju komponente naprezanja u jednoj ravnini • Komponente naprezanja su pozitivne ako djeluju u pozitivnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom orijentiranom u smjeru koordinatne osi, odnosno ako djeluju u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom orijentiranom suprotno od koordinatne osi.

12. Vektor punog vanjskog naprezanja = = = =

13. Ravnoteža površinskih sila u točki T:

14. =i = 1,2,3 (x,y,z) Uz poznatih 6 komponenti naprezanja (tenzor naprezanja) u tri ortogonalne ravnine može se izračunati naprezanje za presjek – ravninu pod bilo kojim kutem.

15. Određivanje kosinusa smjera vektora punog vanjskog naprezanja u odnosu na koordinatni sustav xi (x, y, z)

16. Diferencijalne jednadžbe naprezanja Šest jednadžbi ravnoteže , , , dy dy dz dx dz dx dx dz dz

17. Diferencijalne jednadžbe naprezanja dy dy dz dx dz dx dx dz dz

18. Diferencijalne jednadžbe naprezanja dy dy dz dx dz dx dx dz dz

19. dy dy dz dx dz dx dx dz dz

20. dy dx

21. Šest statičkih jednadžbi ravnoteže , , , Navierove jednadžbe ravnoteže napregnutog tijela Zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja • Homogeno stanje naprezanja moguće je samo u slučaju kad nema volumenskih sila • svaki je problem teorije elastičnosti statički neodređen (šest međusobno različitih komponenata naprezanja). • za određivanje stanja naprezanja nisu dovoljne tri diferencijalne jednadžbe ravnoteže već je potrebno uvesti dopunske jednadžbe koje sadrže svojstva materijala promatranog tijela.

22. Jednadžbe transformacija =++ Odrediti normalnu komponentu znači projicirati vektor punog vanjskog naprezanja na pravac određen jediničnom normalom .

23. =++ =++ Komponente naprezanja , , dobiju se projiciranjem komponenata punog naprezanja , , u smjeru koordinatnih osi u, v, w. !

24. +

26. Jednadžbe transformacija izražene u matričnoj shemi:

27. Jednadžbe transformacija izražene u tenzorskom zapisu =i =1,2,3 (x,y,z)

28. U beskonačnom skupu kosih ravnina koje mogu prolaziti kroz zadanu točku postoji ravnina na kojoj ne postoje posmična naprezanja, a puno naprezanje i normalno naprezanje podudaraju se po veličini i smjeru. Određivanje vektora glavnog normalnog naprezanja POZNATO : TRAŽI SE :

29. =

30. Pomoću poznate Cardanove formule ili rastavom karakterističnog polinoma na faktore gdje je PRVA (LINEARNA) INVARIJANTA NAPREZANJA DRUGA (KVADRATNA) INVARIJANTA NAPREZANJA TREĆA (KUBNA) INVARIJANTA NAPREZANJA

31. Glavna naprezanja ne ovise o izboru koordinatnog sustava • Prva invarijanta izražava da je zbroj normalnih naprezanja na bilo koje tri međusobno okomite ravnine stalna veličina i jednaka je zbroju glavnih naprezanja • Ako je I3 = 0 → jedan od korjena jednak nuli → ravninsko ili dvoosno stanje naprezanja • Ako je I3 = I2= 0 → dva korjena jednak nuli → linijsko ili jednoosno stanje naprezanja • U koordinatnom sustavu glavnih naprezanja invarijante su:

32. Određivanje cosinusa smjerova što ih pravac glavnog naprezanja zatvara sa osima x, y i z =? Odaberemo dvije od tri jednadžbe

33. = =

35. Glavna posmična naprezanja =++

36. σ2 C IIII I III B O σ1 A τ1 || σ3 τ3 || σ2 τ2 || σ1 σ3 σ2 C VI IV V B O σ1 A τ2 || σ1 τ3 || σ2 τ1 || σ3 σ3

37. Sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja MATRICA TENZORA NAPREZANJA MATRICA DEVIJATORSKOG DIJELA TENZORA NAPREZANJA MATRICA SFERNOG DIJELA TENZORA NAPREZANJA Kroneckerov simbol • Zbog djelovanja sfernoga dijela tenzora naprezanja mijenja se samo volumen elementa, a ne i njegov oblik. • Zbog djelovanja devijatorskog dijela tenzora naprezanja mijenja se samo oblik elementa, a ne i njegov volumen.

38. σ3 C B O σ1 A σ2 Određivanje oktaedarskog naprezanja OKTAEDARSKA RAVNINA - ravnina čija normala zatvara jednake kutove s glavnim osima

39. Transformacija u zarotirani koordinatni sustav ’ ’