1 / 49

Onderzoeksvragen en -hypothesen

Illustraties vanuit het wiskundedidactisch onderzoek naar de lineariteitsillusie. Onderzoeksvragen en -hypothesen. Dirk De Bock. Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010. Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie K.U.Leuven Hogeschool-Universiteit Brussel.

eagan-lancaster
Télécharger la présentation

Onderzoeksvragen en -hypothesen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Illustraties vanuit het wiskundedidactisch onderzoek naar de lineariteitsillusie Onderzoeksvragenen -hypothesen Dirk De Bock Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010 Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie K.U.Leuven Hogeschool-Universiteit Brussel

  2. VERDUBBELING VAN HET VIERKANT “Om een vierkant met de dubbele oppervlakte te tekenen moet je de zijde verdubbelen.” (Slaaf in Plato’s dialoog Meno)

  3. HET PROBLEEM VAN DE DOBBELSTENEN P(minstens 1 zes in 4 worpen met één dobbelsteen) = P(minstens 1 dubbele zes in 24 worpen met twee dobbelstenen) 0.5177 4 / 6 0.4914 24 / 36 “He [de Méré] applied the mathematics he knew, the kind of mathematics which in my childhood was called the rule of three… Maybe he would have performed better if he had never learned mathematics at all! (Freudenthal, 1973)

  4. (PROCENTUELE) GROEI • China : Economische groei van 14% per jaar • Filip: “Inkomen van de inwoners verdubbelt elke 7 jaar” • (14 % x 7 = 98 %)

  5. DE STANDAARD VAN 8 SEPTEMBER 2010 “Wees niet bang of toch wel” (p. 10) "Een Waal is 13% armer dan de gemiddelde Belg, een Vlaming 9% rijker. Vlamingen zijn dus gemiddeld 22% rijker dan Walen.” Joseph Pagano, Vice-Recteur de l'Université de Mons, Professeur de Finances publiques et membre du Conseil Supérieur des Finances

  6. DE STANDAARD VAN 8 SEPTEMBER 2010 Als de ‘gemiddelde Belg’ 100 euro heeft, heeft de gemiddelde Waal er 87 en de gemiddelde Vlaming er 109. Vermits 109/87 = 1,0253 (afgerond), zijn de Vlamingen dan gemiddeld ruim 25 % rijker dan de Walen.

  7. DEFINITIE Neiging van leerlingen om gelijk welke numerieke relatie tussen grootheden te gaan behandelen alsof het een recht evenredige of lineaire relatie betrof. Freudenthal, 1983 De neiging om lineariteit of proportionaliteit gelijk waar te gaan toepassen

  8. DEFINITIE • In heel diverse domeinen • elementaire rekenkunde • algebra • meetkunde • kansrekening • fysica • biology • …

  9. k2 1 k MEETKUNDE: SCHAALVERGROTING LINEAIRE VERGROTING MET FACTOR k: OPPERVLAKTE × k2 EN VOLUMES × k3 k3 k k2 k3 k 1 k 1

  10. SCHAALVERGROTING Verband lineaire afmetingen ↔ oppervlakte/volume van (lineair) vergrote/verkleinde meetkundige figuren: De overtuiging dat – wanneer een meetkundige figuur vergroot wordt met factor k – de oppervlakte en het volume van die figuur ook toenemen met factor k

  11. VOORBEELDEN In responding to questions about the effect of halving and doubling lengths of the sides of a square, most students said that the area was also halved or doubled. NCTM, 1989 De verkleinde Standaard (De Standaard, 8 maart 2004)

  12. VOORBEELDEN Wij vragen normaalschoolstudenten wat er zal gebeuren als ze twee Din-A4 bladen naast elkaar leggen en met de fotokopie-machine verkleinen om ze samen op één Din-A4 blad te krijgen. Steevast krijgen we als antwoord dat de tekst niet langer leesbaar zal zijn, de hoogte en de breedte van de letters en van de tekeningen zou worden gehalveerd Feys, 1995

  13. VOORBEELDEN

  14. ONDERZOEK OPSTARTEN (Anecdotische) vermeldingen, vaak in de marge van onderzoek met een andere inhoudelijke focus, doch geen “harde” empirische data beschikbaar…

  15. ONDERZOEKSLIJN Collectieve toetsen Individuele interviews Onderwijsexperiment

  16. INITIËLE ONDERZOEKSVRAGEN Sterkte van de lineariteitsillusie + invloed van leeftijd ? Zelfgemaakte en aangeboden tekeningen Aard van de figuur

  17. COLLECTIEVE TOETSEN Grote groepen 12-16-jarigen losten proportionele en niet-proportionele items op onder verschillene experimentele condities

  18. COLLECTIEVE TOETSEN Collectieve toetsen – 12-13 and 15-16-jarigen Zelfgemaakte en aangeboden tekeningen • Geen significant effect • Betere prestatie indien effectief tekening gemaakt / gebruikt Aard van de figuur • vierkant > cirkel > onregelmatige figuur Overgeneralisatie-effect!

  19. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit

  20. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolg- studie 1 Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit

  21. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 1 Metacognitieve hulp Confrontatie vooraf met niet-proportionele opgave Adequate visuele ondersteuning Tekeningen op ruitjespapier aangeboden

  22. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 1

  23. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Metacognitieve hulp Vervolg- studie 2 Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit

  24. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 2 Ontbrekende-waarde-opgaven “Om een vierkant stuk grond met zijde 200 m te bemesten, heeft Louis 8 uur nodig. Hoeveel uur zal hij ongeveer nodig hebben om een vierkant stuk grond met zijde 600 m te bemesten?” Vergelijkingsopgaven “Louis heeft vandaag een stuk grond bemest. Morgen moet hij een stuk grond bemesten waarvan de zijde driemaal zo groot is. Hoeveel keer meer tijd heeft hij daar ongeveer voor nodig?

  25. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 2

  26. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Vervolg- studie 3 Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit

  27. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 3 Authentische context Video over bezoek Gulliver aan eiland Lilliputters Alle toetsopgaven aan deze video gekoppeld Geïntegreerde tekenactiviteit Tekening maken vooraanbieding numerieke gegevens

  28. Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 3

  29. Collectieve toetsen CONCLUSIES Collectieve toetsen  Kleine positieve effecten van experimentele manipulaties  Hardnekkig en weerkerend fenomeen  Resistent tegen diverse vormen van hulp

  30. METHODOLOGISCHE SHIFT … • De Bock et al.  Collective toetsen • Onderliggende processen ? Individuele interviews • Observeren van individueleleerlingen • « Luidop denken » • Doorvragen

  31. ONDERZOEKSVRAGEN  Onderliggende processen ?  Hoe diepgeworteld ? Illusion of linearity • Overtuigd dat alle grootheden proportioneel gelinkt zijn • Ongeoorloofde generalisatie van lineaire functies Wiskundige misconceptie Andere processen • Oppervlakkig modelleren • Uitsluiten alledaagse kennis • Intuïtiefredeneren Lack of « sense-making »  Hoe diepgeworteld ? Doorbreekbaar ?

  32. Individuele interviews INDIVIDUELE DIEPTE INTERVIEWS  12-jarigen en 16-jarigen (n = 20 + 20) UITGEBALANCEERD DESIGN • Leerlingen lossen vraagstuk op « luidop denkend » • Vragen door de interviewer • Adaptieve / semi-gestructureerd: Toenemende vormen van hulp / cognitief conflict

  33. Individuele interviews Hoogte: 56 cm Hoogte: 168 cm Probleem Een reclameschilder heeft 6_ml verf nodig om de kleine kerstman op een etalageruit te schilderen. Hoeveel verf zal hij ongeveer nodig hebben voor de vergrote versie van deze figuur?

  34. Individuele interviews 2 Correct 38 Waarom ? Hoe zeker? 3 15 20 Vragen Probleem

  35. Individuele interviews 2 Correct 38 Vragen HULP Probleem We gaven dit vraagstuk aan leerlingen in een andere school. Zij gaven de volgende antwoorden …

  36. Individuele interviews 2 2 Correct Correct 38 36 Vragen HULP HULP Probleem Een leerling die 54 ml antwoordde, zei me dat de kerstman drie keer hoger en drie keer breder wordt, zodat je negen keer meer verf nodig hebt …

  37. Individuele interviews 2 2 14 Correct Correct Correct 38 36 22 Vragen HULP HULP HULP Probleem

  38. Individuele interviews 14 9 2 2 Correct Correct Correct Correct 13 22 38 36 HULP HULP Vragen HULP HULP Probleem Kun je de oppervlakte van de twee rechthoeken berekenen? Hoeveel keer groter …

  39. Individuele interviews 14 5 2 9 2 Correct Correct Correct Correct Correct 36 22 38 8 13 HULP HULP HULP STOP HULP Vragen Probleem

  40. Op zoek naar de wortels Intuïtiviteit van het lineair model “The idea of linearity immediately comes to the mind, because there are no simpler relations than linear ones” (Rouche, 1989) Effecten van onderwijs “the acivity of solving word problems in school is not the same as ‘the same’ activity or contents embedded in other systems of activity in other parts of life” (Lave, 1992)

  41. Op zoek naar de wortels Domein-specifieke elementen “De hoogte en de breedte van de figuur worden verdrievoudigd, dus de oppervlakte wordt ook verdrievoudigd” (student in interview studie door De Bock et al., 2002)

  42. ONDERWIJSEXPERIMENT • Onderzoeksvraag: Hoe kan deze lineariteitsillusie • doorbroken worden? - (hoe) kan een leeromgeving ontworpen worden • die leerlingen de nodige kenniselementen, vaardigheden en houdingen laat verwerven • om de lineariteitsillusie te overwinnen i.e. het onderscheid (kunnen) maken tussen proportionele en niet-proprotionele situaties in de context van de vergroting / verkleining van figuren, en hierop op adequate wijze reageren

  43. ONDERWIJSEXPERIMENT Experimentele lessenreeks van 10 uur + klasobservaties, leerlingen vragenlijsten, …

  44. SECONDARY SCHOOL PUPILS’ILLUSION OF LINEARITY Hoeveel weegt een kabouter ? Mens Kabouter 180 cm 15 cm 70 000 gr 40,5 gr : 12 : 123

  45. RESULTATEN EXPERIMENT ELE GROEP

  46. CONCLUSIES De lineariteitsillusie doorbroken? • Ja (minder onterecht lineair redeneren) • MAAR- Key word strategy • Verworven kennis is onstabiel • Nieuwe misconcepties • Blijft (intrinsiek?) moeilijk cfr. project (kabouters), retentie?

  47. Meer gedetailleerde info? ISBN: 978-0-387-71082-2

More Related