Hulgateooria

1. Hulgateooria 12. märts 2014 Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium

2. Matemaatikuid, “hulgateoreetikuid” Georg Cantor John Venn George Boole Augustus DeMorgan

3. Georg Cantor 1845 -1918 • hulgateooria rajaja • esialgu hulgateooriat ei tunnustatud, sest oli täiesti erinev • tänapäeval kasutavad hulgateooriat enamus matemaatika harudest

4. John Venn 1834-1923 • uuris loogikat ja tõenäosusteooriat • mõtles välja lihtsa viisi hulgateooria tehete graafiliseks kujutamiseks (Venn’idiagrammid)

5. Mis on hulk? • Hulgateooria põhimõiste • Hulga all mõistetakse objektide kogumit. • Hulki tähistatakse suurte tähtedega A; B; C ... . • Hulka moodustavaid objekte nimetatakse hulga elementideks • Hulga elemente tähistatakse väikeste tähtedega a; b; c; …

6. Hulk võib olla:

7. Hulkade esitamine • loetelu A = {kevad; suvi; sügis; talv} • eeskiri X = {x|x on positiivne arv} • kõikide selliste x-de hulk, mille korral x on positiivne arv • Hulga elemendid asetatakse loogeliste sulgude { } sisse

8. Venni diagramm • Kasutatakse hulkade graafiliseks kujutamiseks • eraldiseisvad hulgad A ja B • hulkadel C ja D on ühiseid elemente A B C D

9. Elemendi kuuluvus hulka Kui on antud hulk S = {a; e; i; o; u; õ; ä; ö; ü}, siis aS tS oS vS • Elemendi kuuluvust hulka märgitakse sümboliga  (kuulub hulka) ja mitte-kuuluvust sümboliga  (ei kuulu hulka)

10. Hulkadevahelised seosed hulkade võrdsus osahulk hulkade ühisosa hulkade ühend

11. Hulkade võrdsus • Ühtedest ja samadest elementidest koosnevaid hulki nimetatakse võrdseteks • Hulkade võrdsuse tähistamiseks kasutatakse sümbolit = On hulgad X={0; 1; 2; 3; 4} Y={4; 3; 2; 1; 0} Nendel hulkadel on ühed ja samad elemendid, seega X = Y

12. Osahulk • Kui ühe hulga iga element kuulub teise hulka, siis nimetatakse esimest hulka teise osahulgaks On hulgad A={3; 5; 8} B={2; 3; 4; 5; 8} C={2; 3; 7} • Et hulga A iga element kuulub ka hulka B, siis hulk A on hulga B osahulk AB. • Et hulga C iga element ei kuulu hulka B, siis hulk C ei ole hulga B osahulk CB. K L

13. Hulkade ühisosa • Kahe hulga kõigi ühiste elementide hulka nimetatakse nende hulkade ühisosaks On hulgad B = {2; 3; 4; 5; 8} C={2; 3; 7} • Hulkade C ja B ühisosa on hulk, kus on kõik hulga B elemendid, mis kuuluvad ka hulka C C  B = {2; 3} • Kui element 2 on hulkade B ja C ühine element, siis kirjutatakse 2B Λ 2C • sümbol Λtähendab sidesõna ja

14. Hulkade ühend • Kõigi elementide hulka, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast, nimetatakse nende hulkade ühendiks On hulgad B = {2; 3; 4; 5; 8} C = {2; 3; 7} • Hulkade B ja C ühend on hulk, kus on kõik hulga B elemendid ja lisaks veel hulgast C need elemendid, mida hulgas B ei ole B  C={2; 3; 4; 5; 7; 8} • Kui element 7 kuulub vähemalt ühte hulkadest B või C, siis kirjutatakse 7B V 7C • sümbol V tähendab sidesõna või

15. Ühendi ja ühisosa moodustamisel on omadusi, mis on samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise omadustega Seepärast nimetatakse ühendi ja ühisosa moodustamist ka teheteks hulkadega

16. Jäta meelde sümbolid •  - element kuulub hulka •  - element ei kuulu hulka •  - tühihulk • A  B – hulk A on hulga B osahulk • C  B – hulk C ei ole hulga B osahulk • A  B – hulkade A ja B ühisosa • A  B – hulkade A ja B ühend • Λ - sidesõna ja • V – sidesõna või

17. Arvuhulgad

18. Naturaalarvude hulk • Naturaalarvud on tekkinud esemete loendamise vajadusest • Naturaalarvud on 1; 2; 3; …; n –1; n; n + 1; … • Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N

19. Naturaalarvude hulga omadused • Igale naturaalarvule järgneb vahetult üks naturaalarv • Naturaalarvude hulk on lõpmatu • Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes • hulk on kinnine mingi tehte suhtes, kui selle hulga liikmetega tehtud tehte tulemus kuulub samasse hulka • Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes

20. Täisarvud • Naturaalarvude hulga N täiendamisel arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3;…; n – 1; n; n + 1; … vastandarvudega saame täisarvude hulga • Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z • Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse Z+ • Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse Zˉ • Z = {0; ±1; ±2; ±3;…}

21. Täisarvude hulga omadused • Täisarvude hulk on järjestatud • Täisarvude hulgas ei ole suurimat ja vähimat arvu • Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes

22. Ratsionaalarvud • Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena • a/b, (b  0) • Kõik täis- ja murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks • Ratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega Q

23. Arvuhulgad • N Z  Q rr Ratsionaalarvud Täisarvud Naturaalarvud

24. Irratsionaalarvude hulk • Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks • Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I • Näited: ; e; ; … • arv e, nn Euleri arv Šveitsi matemaatiku Leonhard Euleri auks • e = 2,71828182845904523536 …

25. Reaalarvude hulk • Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad reaalarvude hulga • Reaalarvude hulka tähistatakse tähega R • Def. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks

26. Reaalarvude hulga omadused • Reaalarvude hulk on pidev • Reaalarvude hulk on järjestatud, s.t. iga kahe erineva reaalarvu a ja b korral on õige üks väidetest: kas a b või b  a • Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise suhtes