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Unidad 1 Programación Lineal

Unidad 1 Programación Lineal. 1.1 Introducción a la Programación Lineal. ¿Qué es un problema? Soluciones: Absolución Resolución Solución Disolución ¿Por qué decimos que un problema es complejo? Análisis de problemas: ¿Quién resuelve los problemas?

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Unidad 1 Programación Lineal

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Presentation Transcript

  1. Unidad 1 Programación Lineal

  2. 1.1 Introducción a la Programación Lineal • ¿Qué es un problema? • Soluciones: • Absolución • Resolución • Solución • Disolución • ¿Por qué decimos que un problema es complejo? • Análisis de problemas: ¿Quién resuelve los problemas? • ¿Qué entendemos por identificar un problema?

  3. ¿Qué es Investigación de Operaciones? El uso de las matemáticas y las computadoras para ayudar a tomar decisiones racionales frente a problemas de administración complejos

  4. Aplicación de las técnicas de la administración a problemas (sistemas): Determinísticos Toda la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza Estocásticos Parte de la información no se conoce con certeza

  5. Método Científico para resolver problemas complejos En las Ciencias En Administración • Defínase el problema • Recoléctense los datos • Formulénse hipótesis • Pruebénse hipótesis • Evalúense resultados • Obténganse conclusiones • Defínase el problema • Recoléctense los datos • Defínanse soluciones alternativas • Evalúense soluciones alternativas • Selecciónese la mejor alternativa • Puesta en práctica

  6. ¿Qué se hace en la realidad? • Estar bien informado • Conocer todas las alternativas • Ser objetivo (ser optimizador económico) Muchas soluciones Aumentar los criterios Establecer los criterios de solución Buscar las soluciones Solución Satisfactoria Definir el problema Pocas soluciones Disminuir criterios

  7. ¿Qué hace un Director de Empresa para escoger la acción más efectiva para alcanzar las metas de la Organización? • Establecer Criterio que usará • Seleccionar un conjunto de alternativas para considerarlas • Determinar el modelo que se usará y los valores de los parámetros • Determinar la alternativa que optimiza el criterio

  8. Aportes: Técnicas de Programación Lineal • George Dantzig (USAF), Marshall Wood y Murray Geisler • Wassily Leontief (modelo insumo-producto) • Método Simplex • Gomory (programación lineal discreta) • Lester Ford y D. K: Fulkerson (redes, trayectoria crítica) • CPM y PERT

  9. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS • Los métodos cuantitativos se emplean: • Como guía en la toma de decisiones • Como ayuda en la toma de decisiones • Para automatizar la toma de decisiones

  10. Características de los Sistemas Administrativos • Def: “Sistema.... • Tipos de sistemas: Cerrados, abiertos • Modelos: • Normativos, descriptivos • Concretos, Abstractos (verbales o simbólicos) • Aplicación (Inventarios) • Técnica (Programación Lineal) • Comparación de Modelos (validez, confialbilidad y la simplicidad)

  11. Dimensionalidad de los modelos (unidades) • Toma de decisiones CategoríaConsecuencia Certidumbre Deterministas Riesgo Probabilísticas Incertidumbre Desconocidas Conflicto Influidas por un oponente • Dimensionalidad de los modelos (unidades)

  12. Uso de Datos para la Toma de Decisiones “Determina primero los hechos, después puedes tergiversarlos como te plazca”. Mark Twin “Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”. Aldous Huxley

  13. ¿Qué son los datos? • Son hechos o conceptos conocidos o supuestos y generalmente se expresan en números • Tipos de datos • Internos y externos • Objetivos y subjetivos • Requerimientos de datos en diferentes niveles de la Organización • Control operativo • Control Administrativo • Planeación estratégica

  14. Situación: Inversión Considere el problema enfrentado por Mark, graduado de la maestría de administración de empresas, quién recientemente obtuvo un puesto como analista financiero en una compañía de Wall Street. Uno de los beneficios adicionales es un plan de retiro en el que el empleado pone 5% de su ingreso mensual. La compañía iguala esta cantidad. El dinero de este plan es entonces invertido en dos fondos: un fondo de acciones y un fondo de bonos. El Departamento de Beneficios le ha pedido a Mark que especifique la fracción de este dinero que habría que invertir en cada fondo. Mark ha analizado el rendimiento anterior de estos fondos y se ha enterado de que el fondo de acciones ha crecido a una tasa anual promedio de 10%, mientras que el fondo de bonos, ha promediado una retribución anual de 6%. Para diversificar su cartera y para controlar el riesgo, no desea poner todos los huevos en una sola canasta, ha identificado dos pautas: 1. Ninguno de los fondos debe tener más del 75% de la inversión total. 2.La cantidad invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble invertido en el fondo de bonos.

  15. Definición del problema • El problema de Mark está bien definido, se conoce el objetivo global, las limitaciones básicas para la toma de decisión • Desarrollo del Modelo Matemático • Expresar el problema en forma matemática (formular el modelo), por lo que se requiere determinar las variables involucradas

  16. Variables de decisión: S : Fracción de capital por invertir en acciones B : Fracción de capital por invertir en bonos • Para el problema se desean escoger valores para que estas variables: • Maximicen la retribución anual esperada • Satisfagan todas las pautas de inversión

  17. - Función Objetivo El objetivo global de un problema de decisión expresado en una forma matemática en términos de los datos y de las variables de decisión: Maximizar 0,1 S + 0,06 B - Restricciones (limitaciones) Es un límite sobre los valores de las variables en un modelo matemático típicamente impuestos por condiciones externas.

  18. - Ningún fondo tenga más del 75% de lo invertido S  0,75 (límite superior en el fondo de acciones) B  0,75 (límite superior en el fondo de bonos) - La fracción S invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble de la fracción B invertida en el fondo de bonos S  2 B ó S - 2 B  0 - Cada fracción debe ser no negativa S, B  0

  19. Finalmente el modelo resultante es: Maximizar 0,1 S + 0,06 B Sujeto a: S  0,75 B  0,75 S - 2 B  0 S, B  0

  20. Resolución del modelo matemático • Al resolver el problema usando cualquier técnica se tienen los siguientes valores para las variables de decisión: • S = 0,75 y • B= 0,75 • Generando una retribución de: • 0,1 * 0,75 + 0,06 * 0,75 = 0,12 (12%) ¿? Solver 1

  21. Validación y Control de la Solución • Al observar los valores de las variables de decisión (S=0,75 y B=0,75) se ve que no tienen sentido. No se puede invertir un 75% en ambos fondos simultáneamente. • Hay un error, no se incorporó una restricción, esto es, los recursos disponibilidad. • S + B = 1

  22. Modificación del Modelo • Maximizar 0,1 S + 0,06 B • Sujeto a: • S  0,75 • B  0,75 • S - 2 B  0 • S + B = 1 • S, B  0

  23. Resolviendo nuevamente se tiene que: S = 0,6667 y B = 0,3333 Finalmente la retribución es 0,1 * 0,6667 + 0,06 * 0,33333 = 0,86667 (8,667%) Nota: Emplear Solver para determinar el valor de las variables de decisión

  24. 1.2 Construcción de Modelos de PL Modelo de Programación Lineal Es un modelo matemático en el que las relaciones entre variables son lineales y donde hay un solo objetivo o medida de rendimiento. La ventaja que tiene el modelo es que existe una técnica matemática que permite determinar la decisión óptima.

  25. FORMALIZACIÓN DEL MODELO DE PL El modelo de PL tiene un conjunto de variables de decisión, una función objetivo la que debe maximizarse o minimizarse y un conjunto de relaciones o restricciones. Z = C1X1 + C2X2 + ......... CnXn Z : es un objetivo económico (beneficios, producción, costos, etc) Ci : coeficientes constantes (factores de ponderación) Xi : variables de decisión (n) sujeto a(Restricciones (m) ): A1X1 + A2X2 + ......... AnXn B1 .................................................. A1X1 + A2X2 + ......... AnXn Bm

  26. Vector de variables o niveles de actividad Matricialmente se tiene:  Vector de “costos” o factor de ponderación 

  27. Vector de variables o niveles de actividad A  Vector de variables o niveles de actividad B 

  28. Entonces Optimizar Z = CT X = [c1 c2 c3] = sujeto a AX   B y X  0

  29. Ejemplo 1: Una mueblería produce dos tipos de productos, sillas y mesas. Supóngase que el beneficio marginal por cada silla es de $8 y por cada mesa es de $10. Para la producción se dispone de 20 horas hombre (hh) y de 10 unidades de madera (um). Para la construcción de una silla se requieren 8 hh y 2 um, y para la construcción de una mesa se requieren 6 hh y 4 um. ¿Cuántas sillas y mesas se deben construir para obtener el mayor beneficio?.

  30. Formulación del PL Sea X1: Nº de sillas X2: Nº de mesas Función Objetivo: Max Z = 8X1 + 10X2 Sujeto a: 8X1 + 6X2 20 // hh 2X1 + 4X2 10 // um X1 0 y X2 (no negatividad)

  31. Ejemplo 2: Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Obtenga el modelo de PL para maximizar la ganancia

  32. Solución: 1. Variables de decisión X1 : Cantidad del producto 1 X2 : Cantidad del producto 2 2. Función Objetivo: Maximizar ganancia MAX Z = 2 X1 + 3 X2 3. Restricciones 10 X1 + 5 X2 600 6 X1 + 20 X2  600 8 X1 + 15 X2 600 X1 , X2 0 ó 24 X1 + 40 X2  1800 X1 , X2 0

  33. Ejemplo 3: RMC posee una pequeña fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casa para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias, la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la siguiente tabla: Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que las pinturas para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo es de $3.000 para la pintura de exteriores y $2.000 para la de interiores. ¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la fábrica de pinturas RMC todos los días para maximizar el ingreso bruto?

  34. Solución: 1. Variables de decisión X1 : Toneladas de pintura de exteriores producidas por día X2 : Toneladas de pintura para interiores producidas por día 2. Función Objetivo: Maximizar ganancia MAX Z = 3 X1 + 2 X2 miles de unidades monetarias 3. Restricciones X1 + 2 X2 6 2 X1 + X2  8 - X1 + X2 1 X2 2 X1 , X2 0

  35. Ejemplo 4: Una empresa fabrica dos productos, A y B. En su elaboración, cada producto debe pasar por dos secciones. El suministro de mano de obra de la sección 1 es 100 horas y el de la sección 2 es 200 horas. El tiempo de mano de obra cuesta $2 por hora en la sección 1 y $1,5 en la sección 2. Las horas de mano de obra necesarias por unidad de cada producto son las siguientes: La cantidad máxima de unidades de B que puede venderse es igual a treinta; la de A es veinticuatro. La materia prima para cada producto cuesta $5 por unidad. El precio unitario de A es $30 y el de B es $25$ a) Construya el modelo de PL correspondiente.

  36. 1.3 Solución de Problemas PL Existen varias métodos, entre ellos se tiene 1.3.1 Método Gráfico 1.3.2 Método Simplex

  37. 1.3.1 Método Gráfico Este método es muy limitado por la incapacidad de visualizar más de tres dimensiones. Sin embargo es recomendable usarlo para fijar los conceptos que son aplicables a los otros métodos de resolución.

  38. Los pasos a seguir son: • Construir el modelo • Graficar cada una de las restricciones en el sistema formado por las variables de decisión. • Identificar la región (zona) factible • Determinar el valor objetivo (VO) a partir de la función objetivo en cada uno de los vértices de la zona factible. • Si es minimizar, considerar el menor o el mayor en caso de maximizar.

  39. Ejemplo PROTRAC produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de productos (llamada equipo para remoción de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales está destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos para remover escombro (el E-9) y el miembro mayor de la línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC juzga que durante ese periodo será posible vender los E-9 y los F-9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿cuántos E-9 y F-9 deben producirse?. En la toma de decisión, los principales factores a considerar son los siguientes:

  40. PROTRAC tendrá una utilidad de $5.000 por cada E-9 que se venda y $4.000 por cada F-9. • Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B • Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en el departamento B.

  41. 4. Con objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo que se dedicarán a la verificación de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta actividad se realiza en un tercer departamento que no tiene relación con los departamentos A y B. Cada E-9 requiere de 30 horas de comprobación y cada F-9, 10 horas. 5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado que para la política de operación es necesario construir al menos un F-9 por cada 3 E-9. 6. Un consumidor importante ha ordenado un total de por lo menos cinco aparatos (en cualquier combinación de E-9 y F-9) para el próximo mes, así es que por lo menos debe producirse esa cantidad

  42. Modelo de PL a) Variables de decisión: b) Maximizar Z: c) Sujeto a:

  43. Gráfica de PROTRAC Zona factible

  44. Gráfica de PROTRAC y función Utilidad

  45. Gráfica de PROTRAC y función Utilidad Solución óptima

  46. Cálculo de E y F (Vértice C: Resolver el sistema) 10E + 15F = 150 20E + 10F = 160 E = 4,5 F = 7 y VO = 5.000(4,5) + 4.000(7) 22.500 + 28.000 VO = 50.500

  47. Consumo: (horas) Depto A: 10(4,5) + 15(7) = 150 Depto B: 20(4,5) +10(7) = 160 Depto Pruebas: 30(4,5) + 10(7) = 205 En los departamentos A y B el consumo es igual a la disponibilidad en cambio en el departamento de pruebas se consumió más del mínimo exigido.

  48. 1.3.2 Método Simplex 1. Forma estándar del Modelo de PL 2. Soluciones Básicas 3. Método Simplex Primal: Algoritmo

  49. A. Forma estándar del Modelo de PL Todas las restricciones son ecuaciones (con segundos miembros no negativos Todas las variables son no negativas La función Objetivo puede ser maximización o minimización

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