Nichtstandard-Analysis

1. Nichtstandard-Analysis Mathematik-Didaktik B Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann Friedrich- Schiller Universität Jena Jena, d. 20.01.2009

2. Gliederung • Einleitung / Motivation • Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen • Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem • Anwendungen der Infinitesimalzahlen in der Nichtstandard-Analysis • Literatur

3. 1. Einleitung Was ist ein Differential? → dx, dy, dz Differentialquotient → →

4. 1. Einleitung Wieso kann man mit Differentialen rechnen? Beispiel: Integration durch Substitution

5. 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Tangentenproblem • Gegeben: Funktion f(x)=x² • Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25) • Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der Tangente?

8. 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen • Die Sekante liegt ,,nah“ bei der Tangente → ihre Steigung wird ,,nah“ bei der Tangente liegen Sekantensteigung → noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt wird

10. 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Sekantensteigung → Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte → mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente durch eine Sekante approximiert, welche nicht von der Tangente zu unterscheiden ist

11. 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Was sind Infinitesimalzahlen? • sie sind unglaublich ,,winzig“, aber nicht Null • sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl → wir ,,erfinden“ neue Zahlen • wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+,(0.5+)²), welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich wenig entfernt ist,  infinitesimal

12. (0.5+)² 0.25 0.5+ 0.5

13. 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Sekantensteigung • da  eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal), kann 1+  nicht von 1 unterschieden werden →

14. 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen • bei den Rechnungen wurde das reelle und das hyperreelle Zahlensystem benutzt • das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere hyperreelle Zahlen • Mangel an ,,Strenge“ verhinderte, dass die Infinitesimalmethode als Begründung für die Analysis akzeptiert wurde

15. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem • Axiom der Infinitesimalzahlen: Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive reelle Zahl b gilt: -b<<b. Eine solche Zahl heißt Infinitesimalzahl 0   0

16. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem • es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle Zahl, , infinitesimal

17. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem 0 ³ ² /5 /2  0

18. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem • b reell und  infinitesimal → b+ ist unendlich benachbart zu b • Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x-y eine Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y • Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b<x<b. Andernfalls heißt x unendlich.

19. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

20. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem • Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b. b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x) Beispiel: 5+,  infinitesimal → st(5+)=5 • Rechnen mit hyperreellen Zahlen Beispiel 1:  infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal, oder sogar unendlich

21. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal für ß=²: /ß=1/ unendlich • ,ß Infinitesimalzahlen • c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen • A,B unendliche Hyperzahlen

22. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Addition Subtraktion

23. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Multiplikation Division

24. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß) • c(d+) • (4-)²-16

25. 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Lösung

26. 5. Literatur Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis. MU, Jg. 29, Heft 4, August 1983. Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare Einführung in die Nichtstandard - Analysis. BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.