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第四章 Pólya 定理

第四章 Pólya 定理. 群的概念 置换群 循环、奇循环与偶循环 Burnside 引理 Pólya 定理 例 母函数型的 Pólya 定理 图的计数. 4.1 群的概念. (1) 群 定义 给定集合 G 和 G 上的二元运算 · ，满足下列条件称为群。 ( a) 封闭性： 若 a,b∈G, 则存在 c∈G, 使得 a · b=c. (b) 结合律成立： 任意 a,b,c∈G, 有( a · b) · c=a · (b · c). ( c) 有单位元： 存在 e∈G, 任意 a∈G.a · e=e · a=a.

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第四章 Pólya 定理

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  1. 第四章 Pólya定理 • 群的概念 • 置换群 • 循环、奇循环与偶循环 • Burnside引理 • Pólya定理 • 例 • 母函数型的Pólya定理 • 图的计数

  2. 4.1 群的概念 (1)群 定义 给定集合G和G上的二元运算 · ，满足下列条件称为群。 (a)封闭性：若a,b∈G,则存在c∈G,使得a·b=c. (b)结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c). (c)有单位元：存在e∈G,任意a∈G.a·e=e·a=a. (d)有逆元：任意a∈G,存在b∈G, a·b=b·a=e. b=a. 由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c. 例 证明对于a1,a2,…,an的乘积，结合律成立. a·a·…·a=a (共n个a相乘). -1 n

  3. 4.1 群的概念 (2) 简单例子 例G={1,-1}在普通乘法下是群。 例G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群. 例 二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构成群。其中Ta= cosa sina -sina cosa TbTa= cosb sinb cosa sina -sinb cosb -sina cosa

  4. 4.1 群的概念 = cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb -sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb = cos(a+b) sin(a+b) =Ta+b -sin(a+b) cos(a+b) 从而有(a)封闭性; (b)结合律成立：(TαTβ)Tγ = Tα(TβTγ) = TαTβTγ ; (c)有单位元：T0 = ; (d)有逆元：Ta =T-a = cosa -sina sina cosa 1 0 0 1

  5. 4.1 群的概念 • 前两例群元素的个数是有限的，所以是有限群；后一例群元素的个数是无限的，所以是无限群。 • 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。 • 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。责称G为交换群，或Abel群。 • 设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算之下也是一个群,则称为G的一个子群。

  6. 4.1 群的概念 • 基本性质 • 单位元唯一 e1e2=e2=e1 • 消去律成立 ab=ac → b=c, • ba=ca → b=c • 每个元的逆元唯一 aa =a a = e, • ab = ba = e , aa = ab , a = b • (d)(ab….c) =c …b a . • c …b a ab…c = e -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

  7. 4.1 群的概念 (e) G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使得a = e.且a = a . 证 设|G|=g,则a,a ,…,a ,a ∈G,由鸽巢原理其中必有相同项。设a =a ,1≤m＜l≤g+1, e=a ,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有a =a a=e.即a =a .既然有正整数r使得a =e,其中必有最小者，不妨仍设为r. r称为a的阶。易见 H={a,a ,…a ,a =e}在原有运算下也是一个群。 r -1 r-1 g g+1 2 m l r l-m r-1 -1 r-1 r r-1 r 2

  8. 4.2 置换群 • 置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。 • 置换：[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。[1,n]目标集。( ), a1a2…an是[1,n]中元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一置换用这样的表示可有n!个表示法。例如 p1=( )=( )，n阶置换又可看作[1,n]上的一元运算，一元函数。 1 2 … n a1 a2 … an 1 2 3 4 3 1 2 4 3 1 4 2 2 3 4 1

  9. 4.2 置换群 1 2 3 4 3 1 2 4 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 3 1 2 4 1 2 3 4 2 4 3 1 3 1 2 4 2 4 3 1 • 置换乘法 P1=( ),P2=( ) P1P2=( )( )=( ) 注意：既然先做P1的置换，再做P2的置换就规定了若作为运算符或函数符应是后置的。这与一般习惯的前置不一样。 • 一般而言，对[1,n]上的n阶置换，i[1,n]要写成(i)P1P2，而不是P1P2(i). (i)P有时写成i 在上面例中，1→3→2,2→1→4,3→2→3,4→4→1.也可写(1)P1P2=2,(2)P1P2=4,(3)P1P2=3,(4)P1P2=1. P2P1=( )( )=(　　 )≠P1P2. P2 P1 P1 P2 P2 P1 P2 P1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 4 2 3 1 4 3 2 1 4 2 1 3

  10. 4.2 置换群 • (1)置换群 [1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定义下是一个群。 (a)封闭性 ( )( )=( ) (b)可结合性 (( )( ))( ) =( )=( )(( )( )) (c) 有单位元 e=( ) (d) ( ) =( ) 1 2 … n a1 a2 … an a1 a2 … an b1 b2 … bn 1 2 … n b1 b2 … bn a1 a2 … an b1 b2 … bn 1 2 … n a1 a2 … an b1 b2 … bn c1 c2 … cn 1 2 … n a1 a2 … an a1 a2 … an b1 b2 … bn 1 2 … n c1 c2 … cn b1 b2 … bn c1 c2 … cn 1 2 … n 1 2 … n -1 a1 a2 … an 1 2 … n 1 2 … n a1 a2 … an

  11. 4.2 置换群 1 2 3 • (2)例 等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 绕对称轴翻转。 P1=( ),P2=( ),P3=( ),P4=( ), P5=( ),P6=( )。 [1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为对称群，记做Sn. • 注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3

  12. 4.2 置换群 • 任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任意aj∈G，Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的一个置换，即以G为目标集。　Pi=( 　 )， G的右正则表示f：ai→( )=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj f(aiaj) = ( ) =( )( )=f(ai)f(aj) 令P={Pi=( )|a,ai∈G},则P≈G a1 a2 … an a1ai a2ai … anai ai aai a1 a2 … an a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) a1 a2 … an a1ai a2ai … anai a1 a2 … an (a1ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj ai aai

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