Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312

1. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad II. Métodos de demostración. • Programa de Asignatura. • Fundamentos de Matemática. • Clave : MME - 312 • Prerrequisito. : Licenciatura o su • Equivalente. • Número de Créditos : 3 • # Horas Semanales : 3 • Horas Teóricas : 3 Prácticas: 0 • Aula : • Horario : Sábado de 8:00 AM a 4:00 PM.

2. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • Introducción. • Algunas frases para empezar. • Se aprende haciendo; • El esfuerzo y la dedicación aseguran el conocimiento; • Las matemáticas entran por las manos; • Presentación del Programa y discusión de Reglas internas.

3. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia. • El tratamiento de teoremas y sus demostraciones , se puede estructurar en • tres etapas fundamentales: • ­ Búsqueda del teorema; en esta etapa se pretende que el estudiante sea capaz de • encontrar una determinada suposición y formularla como proposición; • - Búsqueda de la demostración, como su nombre lo indica se pretende encontrar • los medios para la demostración, en particular en la demostración que se • desarrolla se pone al descubierto la cadena de inferencias que conducen de la • hipótesis a la tesis, a través de una serie de etapas intermedias; • - Representación de la demostración, pretendiendo aquí escribir correctamente • la cadena de inferencias lógicas en un esquema de demostración conveniente y • claro.

4. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia. • La proposición (o enunciado) que describe un teorema. • Una implicación o una equivalencia matemática? • El planteamiento antecedente-consecuente, (hipótesis-tesis) qué implica? • El planteamiento Equivalencia, qué implica? • Estos planteamientos, qué consecuencias producen en el proceso de la demostración de un teorema.

5. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 2.2 Fundamentos en el proceso de demostración. • En el proceso a seguir al hacer cualquier demostración, se debe tener acceso a: • Un conjunto de axiomas. • Un conjunto de definiciones. • Un conjunto de reglas o criterios de deducción. • Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.

6. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 2.3 Métodos de demostración. • La demostración en matemática. Rigor vs. Didáctica. • La demostración en matemática. Lo ideal: Elegancia + rigor + didáctica. • Métodos Deductivos. • Directo e indirecto. Ver ejemplo de cada uno. • Otros métodos de demostración. • Por refutación: • - Por contradicción. • - Por contraejemplo. • Por contrarecíproco. • Por demostración de existencia. • Inducción matemática.

7. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • Analizar algunos casos; • 1) Método directo. • Ejemplos. • 1. “Demostrar que si x es impar, entonces x2 también lo es”. • Demostración. • Afirmación. Justificación. • (1) x es impar. . Por hipótesis. • (2) Existe algún u ЄZ tal que x = 2u + 1. . Por definición de imparidad. • (3) x2 = (2u + 1)2 . Por teoremas del Algebra. • = 4u2 + 4u + 1 . Cuadrado de un binomio. • = 2(2u2 + 2u) + 1. . Factorizando. • (4) Luego de donde, x2 es impar . Por definición de imparidad. ■

8. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. • 1) Método directo (continuación). • 2. “Demostrar que si u es real, entonces ( – 1) x u = – u”. • Demostración. • Afirmación. Justificación. • (1) 1+ (– 1) = 0. . Por def. de inverso aditivo. • (2) 1 x u + (–1) x u = 0 x u. . Por distribución. • (3) 0 x u = 0. . Por propiedad absorbente. • (4) 1 x u = u . Identidad multiplicativa. • (5) u + (–1) x u = 0. . Por (2), (3) y (4). • (6) u + (–u) = 0. . Por def. de inverso aditivo. • (7) u + (– 1) x u = u + (– u). . Por (5) t (6) • (8) (– 1) x u = – u. . Por uniformidad. ■

9. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. • 1) Método directo (continuación). • 3. Demuestre que si a y b son números pares, entonces a + b es número par. Demostración. • Suponga que a y b son números pares, (Hipótesis auxiliar) luego, a = 2n y b = 2m con n, m Є Z. • Entonces, a + b = 2n+ 2m =2(n + m); (n + m) ЄZ (enteros). • Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k, es decir, a + b es un número par. ■

10. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. • 2) Método Indirecto. • Ejemplo. Tomemos un caso de Lógica Matemática. • “Demostrar p & q, a partir de las premisas dadas ”. • Demostración. • Afirmación. Justificación. • (1) ~ r. . Premisa. • (2) s → r. . Premisa. • (3) ~ s → (p& q). . Premisa. • (4) ~ s. . Por el MT. • (5). p& q . Por el MP. ■

11. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. • 3) Por reducción al absurdo. • “Demostrar que √2 no es racional”. • Demostración. Se parte del hecho de que cualquier número racional puede ser escrito en la forma x/y, donde y ≠ 0. Supongamos que √2 = p/q, donde p/q es • un racional simplificado a su mínima expresión. • Afirmación. Justificación. • (1) Puede escribirse que 2 = p2/q2 . Por uniformidad. • (2) También se tiene que p2 = 2q2. . Por uniformidad.. • - (3) Es obvio que p2 es divisible por 2 y • por tanto, también p lo es. . Por teorema del Algebra. • (4) Se puede escribir p = 2r, con r ЄZ. Entonces, • 4r2 = 2q2 o 2r2 = q2 y como q2 es divisible por 2, • q también lo es. . Propiedades Aritméticas. • - Luego, tanto p como q tienen un factor común, lo que contradice la hipótesis. ■

12. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. • 3. Inducción matemática. • Trabajar con el video del profe Alex. Verlo en: • http://profe-alexz.blogspot.com. • Ver demostraciones adicionales.