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Transformaciones

Transformaciones. Contenido. Sistemas de coordenadas Transformaciones en 2D Transformaciones en 3 dimensiones Composición de transformaciones Rotación alrededor de un pivot Rotación alrededor de un eje. Agradecimientos:

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  1. Transformaciones

  2. Contenido • Sistemas de coordenadas • Transformaciones en 2D • Transformaciones en 3 dimensiones • Composición de transformaciones • Rotación alrededor de un pivot • Rotación alrededor de un eje Agradecimientos: A Alex García-Alonso por facilitar el material para la realización de estas transparencias (http://www.sc.ehu.es/ccwgamoa/clases)

  3. Sistemas de coordenadas • Un objeto se representa por polígonos • Un polígono es una colección de vértices y aristas • Para transformar un objeto se transforman sus vértices • Del sistema local al sistema global: transformaciones

  4. Transformaciones en 2D • Traslación • Escalado • Rotación • Deformación

  5. x´ 1 0 tx x y´ 0 1 ty y 1 0 0 1 1 2 dimensiones: traslación x´ = x + tx y´ = y + ty

  6. x´ sx 0 0 x y´ 0 sy 0 y 1 0 0 1 1 2 dimensiones: escalado x´ = sx ·x y´ = sy ·y

  7. 2 dimensiones: rotación x = r cos  y = r sen  x’ = r cos ( + ) == r (cos  cos  – sen  sin ) == x cos  – ysen  y’ = r sen ( + ) == r ( cos  sen  + sen  cos ) == x sin  + ycos  P’ y’ r  P y  x’ x

  8. x´ cos β -sin β 0 x y´ sin β cos β 0 y 1 0 0 1 1 2 dimensiones: rotación • Representado matricialmente en coordenadas homogéneas:

  9. x´ 1 hx 0 x y´ 0 10 y 1 0 0 1 1 2 dimensiones: deformación (shear) • Deformación de la coordenada x: x´ = x + hx ·y y´ = y

  10. x´ a11 a12 a13 a14 x y´ a21 a22 a23 a24 y z´ a31 a32 a33 a34 z 1 0 0 0 1 1 Transformaciones en 3 dimensiones • La expresión general de una transformación en tres dimensiones en coordenadas homogéneas es:

  11. Matriz de transformación M44 • Describe todas las transformaciones: traslación, escalado, rotación, deformación. • La composición de transformaciones se realiza mediante el producto de matrices • Se pueden obtener los valores de la transformación a partir de la matriz: desplazamiento, escala y giro.

  12. x´ 1 0 0 tx x y´ 0 1 0 ty y z´ 0 0 1 tz z 1 0 0 0 1 1 3D: Traslación x´ = x + tx y´ = y + ty z´ = z + tz

  13. x´ sx 0 0 0 x y´ 0 sy 0 0 y z´ 0 0 sz 0 z 1 0 0 0 1 1 3D: Escalado x´ = sx ·x y´ = sy ·y z´ = sz ·z

  14. 3D: Escalado no homogéneo sx  sy sz

  15. 3D: Rotación

  16. x´ 1 0 0 0 x y´ 0 cos θ -sin θ 0 y z´ 0 sin θ cos θ 0 z 1 0 0 0 1 1 x´ cos θ 0 sin θ 0 x y´ 0 1 0 0 y z´ -sin θ 0 cos θ 0 z 1 0 0 0 1 1 x´ cos θ -sin θ 0 0 x y´ sin θ cos θ 0 0 y z´ 0 0 1 0 z 1 0 0 0 1 1 3D: Matrices de rotación Rotación en x Rotación en y Rotación en z

  17. x´ 1 0 a 0 x y´ 0 1 b 0 y z´ 0 0 1 0 z 1 0 0 0 1 1 x´ 1 0 0 0 x y´ 0 1 0 0 y z´ 0 0 -1 0 z 1 0 0 0 1 1 Otras transformaciones Oblicua en xy (z invariante) Reflexión plano xy

  18. Composición de transformaciones • Se pueden aplicar sucesivas transformaciones a un punto. • Al resultado de la primera transformación: • M1· P • se aplica una segunda transformación: • M2·[ M1· P] = [M2· M1 ] · P • La composición de transformaciones se realiza mediante el producto de matrices • M = Mn·Mn-1·… ·M2· M1

  19. La composición de transfor-maciones no es conmutativa

  20. Estructura jerárquica • Un objeto se sitúa respecto a su sistema de coordenadas. • Todo el conjunto se puede situar en un sistema de coordenadas distinto y así sucesivamente. • Las coordenadas en el sistema final se obtienen por composición de transformaciones.

  21. Rotación alrededor de un pivot • Si el eje de rotación no pasa por el origen, son necesarias las siguientes operaciones • Trasladar el punto de rotación Q, al origen • Realizar la rotación • Deshacer la traslación • La composición de transformaciones es: • MRQ(θ) = M3· M2· M1 • MRQ(θ) = MT (qx, qy, qz)·MR (θ)· MT (-qx, -qy, -qz) • El escalado se realiza análogamente

  22. θ y R r Q O x z Rotación alrededor de un eje • El eje define por un punto “Q” y un vector unitario “r”. Se realiza una rotación de un ángulo θ. • Se resuelve mediante composición de transformaciones • Se enuncian las transformaciones • Se determina el cálculo de cada una de ellas • Se explica como evaluar los ángulos requeridos

  23. y y y y y y y y R´´ R´´ R R r r R´´´ R´´´ R’ R’ Q Q x x x x x x x x Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ z z z z z z z z Rotación alrededor de un eje:composición de transformaciones Posición inicial Traslación QO Rotación β en x Rotación θ en y Rotación  en z M1 M2 M3 M4 Posición inicial Rotación -β en x Rotación -  en z Traslación -QO M7 M6 M5

  24. Rotación alrededor de un eje:relación de transformaciones • La matriz de transformación es: • M(Q,r) (θ) = M7· M6· M5· M4· M3· M2· M1 • M1 : traslación QO • M2 : rotación  en z • M3 : rotación  en x • M4 : rotación  en y • M5 : rotación - en x • M6 : rotación - en z • M7 : traslación -QO

  25. θ y R r Q O y x z R’ x Q’ z Rotación alrededor de un eje: M1 - traslación QO • Sea R tal que OR = OQ + r • La traslación que lleva Q al origen es: • M1 = MT (-qx, -qy, -qz) M1

  26. rxy y α R´´ R’ x Q’ z

  27. rxy y α R´´ R’ x Q’ z Rotación alrededor de un eje:M2 - rotación  en z • Calcular el ángulo  entre los planos YZ y el plano definido por el eje z y OR’ • rxy es la proyección ortogonal de r sobre XY • R’’ es el resultado del giro alrededor de z •  es el ángulo entre rxy y j (vector unitario de y) • tener en cuenta el sentido de giro positivo k • M2 es la matriz de rotación alrededor del eje z: • M2 = MRz ()

  28. y β R´´´ R´´ x Q’ z Rotación alrededor de un eje:M3 - rotación β en x • Aplicando M2 a R’ se obtiene R’’ • R’’ está en el plano YZ • r’’ lo define OR’’ • Calcular el ángulo β entre r’’ y j • tener en cuenta el sentido de giro positivo i • M3 es la matriz de rotación alrededor del eje x: • M3 = MRx (β)

  29. y R´´´ x Q’ z Rotación alrededor de un eje:M4 - rotación θ en y • Aplicando M3 a R’’ se obtiene R’’’ • R’’’ está en el eje y • Se realiza el giro θ en el eje y • M4 es la matriz de rotación alrededor del eje y: • M4 = MRy (θ)

  30. Rotación alrededor de un eje:M5, M6, M7 - inversas • Una vez calculado el giro θ alrededor del eje transformado, habrá que invertir el proceso de transformación y para ello se calculan las matrices inversas • M5 = MRx (-β) • M6 = MRz (-) • M7 = MT(qx, qy, qz) • La matriz de transformación compuesta es: • M(Q,r) (θ) = M7· M6· M5· M4· M3· M2· M1

  31. rxy y α R´´ R’ x Q’ z y α rxy j rxy z x α Rotación alrededor de un eje:ángulo  • Cálculo del ángulo  • rxy es la proyección ortogonal de r sobre el plano XY: (rx, ry, 0) • cos  = j · rxy / | rxy | = = ( (0, 1, 0) · (rx, ry, 0) ) / (rx2 + ry2 )1/2 • cos  = ry / (rx2 + ry2 )1/2 • Como cos  = cos (–) , entonces • si rx < 0 entonces el ángulo debe ser (2- ) = -   = acos (ry / (rx2 + ry2 )1/2) y si rx < 0  = - 

  32. y β R´´´ y R´´ β r´´ j r´´ x Q’ z x z β Rotación alrededor de un eje:ángulo β • Cálculo del ángulo β • R’’ y r’’ están en el plano YZ • cos β = j · r´´ / | r´´| = = ( (0, 1, 0) · (0, ry´´, rz´´) ) / (ry´´2 + rz´´2 )1/2 • cos β = ry´´ / (ry´´2 + rz´´2 )1/2 • Como cos β = cos (–β) , entonces • si rz´´ > 0 entonces el ángulo debe ser (2- β)β = - β β = acos (ry´´/ (ry´´2 + rz´´2 )1/2) y si rz´´ > 0 β = - β

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