雅典时期的另５个学派 黄金时代－亚历山大学派

1. 雅典时期的另５个学派黄金时代－亚历山大学派雅典时期的另５个学派黄金时代－亚历山大学派 数本2003级

2. 教学目标：了解雅典期另５个学派的主要研究问题及其影响以及欧几里德、阿波罗尼奥斯和阿基米德的主要数学成绩，理解芝诺悖论针对的问题、穷竭法思想及其意义，欧多克斯比例论在解决“不可公度量”存在问题的意义，掌握《几何原本》中蕴含的公理化思想的意义，阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的意义和阿基米德“平衡法”思想，熟练掌握论证明数学形成的全过程。教学目标：了解雅典期另５个学派的主要研究问题及其影响以及欧几里德、阿波罗尼奥斯和阿基米德的主要数学成绩，理解芝诺悖论针对的问题、穷竭法思想及其意义，欧多克斯比例论在解决“不可公度量”存在问题的意义，掌握《几何原本》中蕴含的公理化思想的意义，阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的意义和阿基米德“平衡法”思想，熟练掌握论证明数学形成的全过程。 • 教学重点：论证数学形成的全过程，欧几里德、阿基米德和阿波罗尼奥斯及其数学成就以及穷竭法的提出及其证明。 • 教学难点：穷竭法证明及其应用。

3. 一、伊利亚学派：代表人物巴门尼德和芝诺（公元前490——前430）。巴为毕派成员，芝诺为巴的学生。一、伊利亚学派：代表人物巴门尼德和芝诺（公元前490——前430）。巴为毕派成员，芝诺为巴的学生。 • (一)四个悖论: 1.两分法 2.阿基里斯追龟论 3.飞箭不动 4.运动场（一半时间=全部时间） A A B B C C (二)提出背景 毕派发现”不可公度量”这一事实,突出了连续与离散(有限与无限)矛盾,反映在运动上形成两种”时空观” 1、空间与时间无限可分（因而运动是连续而平顺的） 2、空间与时间由不可分的小段组成（因而运动是点截式的，由一连串小跳动组成） 前两个针对事物是无限可分的，后两个则是不可分无限小量的思想。

4. 恩格斯的观点： 按辩证法观点，时空及其运动应是连续性与连截性的辩证统一，如恩格斯所说：物体在同一瞬间既在空间某一位置，又不在同一位置，这种矛盾的产生和同时解决正好是运动。

5. （二）诡辩学派：代表人物希比阿斯（约生于公元前460年）和安提丰。（二）诡辩学派：代表人物希比阿斯（约生于公元前460年）和安提丰。 • 三大几何问题： • 化圆为方、倍立方体、三等分角 • 要求： 用尺规作图 化圆为方—作一圆，使其面积等于已知正方形的面积 问题突显“直与曲”的矛盾 研究者有安纳萨哥拉斯(公元前500 —前428) 希波克拉底、安提丰、希皮亚斯等

6. 毕派的希波克拉底曾采用转化方法解决问题 E B • 如图，圆O，AO⊥BO，以AB为直径作半圆ABE。 D O’ A O 则1/2S⊙O’=SADBO S月牙ADE = S⊿AOB 实现了由“曲”向“直”的初步转化

7. 安提丰提出从圆内接正四边形出发，通过加边加倍得到圆内接正八边形、十六边形……而逐渐“穷竭”圆的方法来解决，蕴含极限思想，称此法为“穷竭法”，它是近代极限论的雏形.安提丰提出从圆内接正四边形出发，通过加边加倍得到圆内接正八边形、十六边形……而逐渐“穷竭”圆的方法来解决，蕴含极限思想，称此法为“穷竭法”，它是近代极限论的雏形.

8. 倍立方体—作一立方体为已知立方体的两倍 • 来源由埃拉托赛尼记述 • 希波克拉底将其用代数“简化”即化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题： a:x=x:y=y:2a 进而柏拉图学派的梅内赫斯化为方程 x2=ay， y2=2ax， xy=2a2 抛物线 双曲线 从而发现了圆锥曲线

9. 梅内赫斯通过用垂直于圆锥母线的平面去截圆锥面，当圆锥顶角分别为直角、锐角和钝角时分别得到抛物线、椭圆和双曲线。梅内赫斯通过用垂直于圆锥母线的平面去截圆锥面，当圆锥顶角分别为直角、锐角和钝角时分别得到抛物线、椭圆和双曲线。

10. 三等分角—对任意角用尺规将其三等分 • 用尺规等分任一角是容易的，特殊角如900，1800，1350要三等分是容易的，可分任意角就不行，如600就不行，否则正9边形，正18边形就可作出来。 希比亚斯作出著名的希比亚斯曲线—“割圆曲线”，将运动引入数学

11. 指出：1、解析几何建立，已证明用尺规解决三大几何问题是不可能的。指出：1、解析几何建立，已证明用尺规解决三大几何问题是不可能的。 2、没有尺规的限制，三大问题是极容易解决的。 3、三大几何问题本身无重大价值，但在尝试解决过程中，得到许多有意义的成果才是更重要的。

12. 三、柏拉图学派 • 1、把数学看成抽象物并使之系统化； • 观点：数同几何不含物质性，因而与具体事物不同，数学概念不依赖经验而自有其实在性。 • 认为：唯有具体对象的完美理想才是实在的，唯有理解世界及其理想间的关系才是永恒的，不受时代影响的、不朽的，因而才是普遍的。

13. 2、坚持对数学知识作演绎推理，并重视方法。2、坚持对数学知识作演绎推理，并重视方法。 • 认为：科学的任务是发现结构，并将其放在演绎系统中加以表述，要求学生“根据公认原理”为演绎证明。此外，柏重视演绎方法，据认为：分析法与归谬法系柏所创。

14. 四、欧多克斯学派 • 1、穷竭法证明 • 引理：对任两个不等量，将大量减去比其一半还大的量，将余量减去比其一半还大的量，…如此下去，必有某个余量比小量还要小。 C D A B E F G CD﹥GB

15. D D D’ C’ H G A C C O O A E F A’ B B B’ SABCD=1/2SA’B’C’D’ S⊿AHD﹥1/2S弓AHD S⊙O﹤SA’B’C’D’=2SABCD 4个三角形面积﹥1/2（4个弓形面积） SABCD﹥1/2 S⊙O 设圆面积为大量，任意§为小量 必有某个内接正2n边形， 使S⊙O-S内接正2n边形﹤§

16. 2、新比例论 • 首先引入变量概念，它不是数，而是代表线段、高度、面积等连续变动的东西。然后定义比和比例。 例1：定理：两等高三角形，其面积比等于两底之比 毕达哥拉斯学派的证明 A S⊿ABC:S⊿ADE=p:q=BC:DE B C D E

17. 欧多克斯的证明 BmC=m(BC),⊿ABmC=m(⊿ABC); DEn=n(DE), ⊿ADEn=n(⊿ADE) A ⊿ABC:⊿ADE=BC:DE Bm C D En 该证明避开了“不可公度量”的问题

18. 四、亚里士多德学派 • 对数学有影响的观点主要有： • 1、科学分类 • 理论性：探求真理。如数学、力学、形而上学 • 生产性：各种工艺 • 实务性：规范行为。如政治学、伦理学 • 2、数学的本性：关于量的科学 • 3、关于定义：只告诉是什么，但不一定存在。如正十面体 • 4、公理：应区分公论与公理 • 5、关于算术与几何：算术更准确，且先于几何 • 6、关于无穷：应区分潜无穷和真实无穷，不存在后者 • 7、逻辑学：演绎规则

19. 五、黄金时代——亚历山大学派 • 古希腊衰落后，亚历山大城采取了几个重要措施： • 1、将原希腊学者（包括其它地方）请到亚历山大城从事研究，并用国家经费俸养； • 2、修建供学术研究使用的艺术中心； • 3、建造藏书25万册的图书馆。 • 这个时期，几何脱离哲学而独立，成为真正的演绎科学，公理化方法在几何中取得了相当不错的成就。同时，数论、代数也取得了一些成果。亚历山大被称为“数学的圣地”。 • 代表人物：欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯

20. （一） 欧几里得与几何《原本》 • 欧几里得（约公元前330—275年）——亚历山大数学学派的奠基人。最在影响的著作是《几何原本》（或《原本》）。 • 《原本》——是用公理法建立数学演绎体系的始祖。全书共13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条例命题。 • 最大贡献在于对公理的特定选择，把定理按逻辑顺序进行排列，使每一结论都是先前的公理、定义、定理及已知条件的逻辑结果，从而确立了数学演绎范式，其中蕴含的公理化思想成为构成今天数学理论体系的支柱，使得数学成为论证严密，语言简炼，结论准确的典范。

21. 《原本》内容： • 第一卷：36个定义， 5条公理、5条公设。 • 第二卷：论面积的变换。 • 第三卷：讨论圆及与圆有关的图形。 • 第四卷：讨论多边形与圆的关系及用尺、规作正三角形、正四、五、六和十五边形的作法。 • 第五卷：比例论（既可用于可公度量，又可用于不可公度量，消除了毕达哥拉斯学派的悖理，为19世纪的实数理论提供了一个基础） • 第六卷：将比例论用于相似形的研究。 • 第七卷：有关数论的内容。 • 第八卷：连比和有关的等比级数。

22. 第九卷：继续数论的内容。（其中有质数有无穷多个的证明）第九卷：继续数论的内容。（其中有质数有无穷多个的证明） • 第十卷：不可公度量。 • 第十一卷：立体几何。 • 第十二卷：穷竭法。 • 第十三卷：讨论正多面体。（有正多面体只有5种的证明） • 缺陷：有些定义太直观或含糊，有些公理不独立等。

23. 例：命题（第12卷命题2）圆与圆之比等于直径平方比例：命题（第12卷命题2）圆与圆之比等于直径平方比 • 证明思路 S‘ S O 设S和S’表示两圆面积，d与d’分别为直径，欲证S: S’=d2:d’2，采用了相当于反证的方法。

24. 2.2.2 阿基米德的数学成就 • 阿基米德（公元前287—前212年）——历史上最伟大的数学家之一（有的史家将他与牛顿、高斯并列为古今三大数学家） • 主要著作：见书。 • 主要成就：天文、力学、数学 • 运用穷竭法计算圆周率约为22/7＜π＜3/2 • 球的体积、面积分别是其外切圆柱体体积和表面积的2/3，这个模型后刻于其墓碑上。

25. 阿基米德的数学研究集中在面积、体积计算方面，显示了他的数学天才和创造性，其研究特点是数学方法与物理方法结合，数学创造技巧与严格性证明相结合而形成被称为“平衡法”的方法，此法蕴含了原始积分法思想。阿基米德的数学研究集中在面积、体积计算方面，显示了他的数学天才和创造性，其研究特点是数学方法与物理方法结合，数学创造技巧与严格性证明相结合而形成被称为“平衡法”的方法，此法蕴含了原始积分法思想。 C △x B A x R S T N X-R

26. 关于《沙粒计数》是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。 • 万——万万（亿）——亿亿——… • 天球沙数：1063 • 国际象棋上的小麦数：264-1≈1.8*1019 • 52张扑克牌的所有排列：8*1067 • 围棋不同棋局数（沈括《梦溪笔谈》）：约10173 • 大素数244496*（244496-1） ≈1026791 • 牛群问题——太阳神有一群牛，由黑、白、花、棕四种公、母牛组成，公牛中的白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的二分之一加三分之一；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的四分之一加五分之一；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的六分之一加七分之一。问这群牛是怎样组成的？

27. 2.2.3 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 • 阿波罗尼奥斯（约公元前262—前190年） • 主要成就：创立了相当完美的圆锥曲线论，几乎使后人没有更多发挥的余地。主要用综合法。 • 对三种曲线的讨论，涉及：圆锥曲线的直径、共轭直径、切线、中心、双曲线的渐近线、椭圆与双曲线的焦点以及处在各种不同位置的圆锥曲线的交点数等等。 • 阿波罗尼奥斯在第1卷中用语言表述并证明了圆锥曲线的性质，其中含有深刻的坐标制思想。笛卡尔的坐标制很可能得自阿波罗尼奥斯的启发。

28. 《圆锥曲线论》共8卷，含486个命题，写作风格同《原本》，主要内容为：《圆锥曲线论》共8卷，含486个命题，写作风格同《原本》，主要内容为： • 第1卷：圆锥曲线定义及其性质 • 第2卷：双曲线及其渐近线 • 第3卷：切线、极点、焦点及其性质 • 第4卷：极与极线的性质 • 第5卷：最长线与最短线 • 第6卷：全等相似圆锥及曲线弓形 • 第7卷：有心曲线、共轭直径 • 第8卷：（已失传） 阿波罗尼奥斯在第1卷中用语言表述并证明了圆锥曲线的性质，其中含有深刻的坐标制思想。笛卡尔的坐标制很可能得自阿波罗尼奥斯的启发。

29. 不足：1、《圆锥曲线论》中没有提到抛物线的焦点，更没有焦点准线统一定义：一动点到一定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比是常数e，则动点的轨迹是圆锥曲线。ｅ<1时是椭圆，ｅ=1时是抛物线，ｅ>1时是双曲线。不足：1、《圆锥曲线论》中没有提到抛物线的焦点，更没有焦点准线统一定义：一动点到一定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比是常数e，则动点的轨迹是圆锥曲线。ｅ<1时是椭圆，ｅ=1时是抛物线，ｅ>1时是双曲线。 • 可能是由于狄俄克利斯的《取火镜》中有焦点。 • 2、帕波斯认为《圆锥曲线论》的前4卷是根据欧几里得的《圆锥曲线》写成的，还有阿基米德等的成果，但阿波罗尼奥斯没有归功于这些先驱者。由此而受到指责。