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1. Logaritmos
3. Logaritmos O que ?
Qual a sua utilidade ?
Onde encontro informaes?
Segundo o Modo de Arquimedes, definies e procedimentos formais decorrem de problemas prticos.
Objetivo: Recuperar a compreenso prtica.
4. O que um logaritmo? Na verdade, a idia de logaritmo muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo uma nova denominao para expoente.
*Procurando um expoente?
Trate de achar o logaritmo!
* Antonio dos Santos Machado professor de matemtica do Curso Intergraus .
5. Origem Os logaritmos foram inventados por volta de 1615, quando j havia grande desenvolvimento da navegao, do comrcio, da astronomia, entre outros setores do conhecimento.
Um astrnomo, por exemplo, podia saber quais eram os clculos que tinham de fazer, mas s vezes, levava meses para obter o resultado.
Assim quando surgiram os logaritmos, um grande astrnomo da poca, um austraco chamado Jahannes Kepler(1571-1630), saudou os logaritmos com muito entusiasmo, afirmando que reduziam consideravelmente o tempo que ele tinha de dispensar aos clculos.
6. Quem criou?
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemtico escocs John Napier (1550-1617) e aperfeioado pelo ingls, Henry Briggs (1561-1630).
7. Briggs Henry Briggs foi um matemtico ingls, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.
Foi o homem mais responsvel pela aceitao dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.
Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.
Briggs publicou trabalhos em navegao, astronomia, e matemtica. Ele props os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada at o sculo 19.
8. John Napier John Napier nasceu em 1550, e morreu dia 4 de abril de 1617.
Era um matemtico escocs. Foi o inventor dos LOGARITMOS.
Ele foi educado na universidade de St. Andrew na Europa. Em 1571, Napier voltou Esccia e se dedicou sua corrente propriedade e tomou parte nas controvrsias religiosas do tempo.
Ele era um protestante fervente e publicou a influente Descoberta de Plaine de toda revelao de St.John (1593).
Seu estudo de matemtica era, portanto, s um passatempo.
Em 1614, Napier publicou o seu Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Uma Descrio do Maravilhoso Cnon de Logaritmos) que conteve uma descrio de logaritmos, um conjunto de tabelas, e regras para o uso deles. Napier esperou que, por meio dos seus logaritmos, ele salvaria os astrnomos por muito tempo e os livraria dos erros de clculos. Suas tabelas de logaritmos de funes trigonomtricas foram usadas durante quase um sculo.
9. ... Napier apresentou outro mtodo de simplificar clculos no seu Rabdologiae (1617). Nesse ele descreveu um mtodo de multiplicao que usa barras com nmeros marcados nelas. As barras de Napier, s vezes foram feitas de marfim, ento elas pareciam ossos, e conduziram ao nome de ossos de Napier (Napier's bones). Multiplicao eram feitas colocando os ossos apropriados lado a lado, e lendo os produtos apropriados. Essencialmente este dispositivo era uma tabela de multiplicar com partes mveis. Napier tambm fez contribuies trigonometria esfrica, achou expresses exponenciais para funes trigonomtricas, e foi influente na introduo da notao decimal para fraes.
Bibliografia: Ball, W. W. R., A Short Account of the History of Mathematics (1908; repr. 1960); Bell, E.T., Men of Mathematics (1937; repr. 1986).
10. Logos = razo Arithmos = nmeros Coloque-se em 1600 e imagine que voc tivesse de fazer o seguinte clculo: considere o fator de que ainda no existe calculadora!
11. Mas em que os logaritmos facilitaram o clculo? Vamos trocar os valores, do clculo por potncias de base 10,retiradas da tbua de logaritmos(1615 - data em que surgiram as primeiras tabelas).
Assim:
log 1536= 3,18639
log 43,6= 1,63949
log 7085 = 3,85034
log 932 = 2,96491, ento substituindo, temos que:
12. ...e aps substituir os valores por potncias, verificamos que: Para realizar estes clculos, levamos apenas alguns minutos, para realizar o anterior necessitamos de um perodo de horas...
Para realizar estes clculos, levamos apenas alguns minutos, para realizar o anterior necessitamos de um perodo de horas...
13. E as mquinas de calcular? Uma das primeiras mquinas de calcular foi inventada anos depois em 1642, por um matemtico francs:
Blaise Pascal(1623-1662)
Motivao para criar a calculadora: Blaise era filho de um coletor de impostos, assim para facilitar as contas de seu pai, criou a mquina de calcular, mas a mesma s realiza operaes de soma e subtrao e evidentemente era de manivelas .
14. Pascal
15. A histria de Pascal... Blaise Pascal foi um Filsofo e Matemtico francs, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, tambm Matemtico. Em 1632, toda a famlia foi viver em Paris.
O pai de Pascal, que tinha uma concepo educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele prprio a ensinar os filhos e que Pascal no estudaria Matemtica antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal comeou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ngulos de um tringulo igual a dois ngulos retos. Ento o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cpia do livro de Euclides.
16. Aos catorze anos, ...
..., Pascal comeou a acompanhar o seu pai nas reunies de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reunies, Pascal apresentou uma nica folha de papel que continha vrios teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama mstico" em que demonstra que "se um hexgono estiver inscrito numa cnica, ento as interseces de cada um dos 3 pares de lados opostos so colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho "Ensaio sobre seces cnicas", no qual trabalhou durante 3 anos
Em 1639 a famlia de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.
17. Mas aos dezoito anos,... Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira mquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adio e subtrao, e posteriormente organizou a produo e comercializao destas mquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecnica dos anos 40). Pelo menos sete destes computadores ainda existem; uma foi apresentada rainha Cristina da Sucia em 1652.
Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irms uma carta sobre a morte com um profundo significado cristo em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosfica "Penses" que constitui um conjunto de reflexes pessoais acerca do sofrimento humano e da f em Deus.
Em Fsica destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilbrio dos lquidos" relacionado com a presso dos fludos e hidrulica. O princpio de Pascal diz que a presso em qualquer ponto de um fluido a mesma, de forma a que a presso aplicada num ponto transmitida a todo o volume do contentor. Este o princpio do macaco e do martelo hidrulicos.
18. Tringulo aritmtico...
Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Tringulo aritmtico", publicado em 1654, diversas propriedades do tringulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, j Tartaglia usara o tringulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemticos rabes e chineses j o utilizavam. Este famoso tringulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o nmero de linhas, conhecido como Tringulo de Pascal ou Tringulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de nmeros em que cada nmero igual soma do par de nmeros acima de si. O tringulo de Pascal apresenta inmeras propriedades e relaes, por exemplo, "as somas dos nmeros dispostos ao longo das diagonais do tringulo geram a Sucesso de Fibonacci.
19. Seu ltimo trabalho foi sobre a Ciclide...
Em correspondncia com Fermat, durante o Vero de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu ltimo trabalho foi sobre a Ciclide a curva traada por um ponto da circunferncia que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela cincia; passou os ltimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e religio. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estmago se ter estendido ao crebro.
Fontes: Grande Enciclopdia Portuguesa Brasileira, Editorial Enciclopdia Lda. Boursin, Jean-Louis. Dicionrio elementar de matemticas modernas. Publicaes Dom Quixote. Jorge, A., Alves C. , Fonseca, G., Barbedo, J. Infinito 12. Areal Editores.
20. Entendendo as propriedades operatrias ... Voc observou que para realizar o clculo anterior, apenas somamos os expoentes das potncias de base dez, ou seja:
Se trabalharmos com produto de logaritmos de mesma base, reduzimos a questo a multiplicao de potncias de mesma base.
21. Como verificar que:
22. Henry Briggs Construo da Tbua de Logaritmos Decimais (primeira tabela foi publicada em 1617) Mdia Geomtrica : Dados dois nmeros, a e b(?0) a mdia geomtrica deles sempre um nmero situado ente a e b (Intervalo Numrico).
Briggs, considerou a existncia da mdia geomtrica e comeou encontrando uma potncia de base 10 que inferior a 3 e outra que superior a 3.
100 = 1
10? = 3
101 = 10
A seguir, Briggs obteve a mdia geomtrica dos nmeros que esto apresentados nas extremidades do esquema, calculando a mdia geomtrica de dois modos diferentes:
23. Briggs e a tbua de logaritmos...
24. Refazendo mdias ... Aproximando extremos...
25. necessrio refazer as mdias... (vrias vezes...)
26. mdias...
27. Esta a quarta mdia...
28. quinta , sexta mdia...
29. Stima, oitava,...
30. Nona,dcima,...
31. Leituras diferentes de mesmas quantidades! Se ao chegar no aougue pedssemos 100,477 Kg de carne, isto seria equivalente a comprar 3 Kg.
Se ao invs de escrevermos (10 - 4) =6, usssemos a linguagem logartmica, uma opo seria dizer:
32. Resolvendo logaritmos...
33. Observando os possveis valores de um logaritmo. Se o anti-log for um decimal, o log ser negativo.
( 0 < N < 1 )
Ex.: log2 =x
Se o anti-log for 1, o log zero.
Se o anti-log for zero, o log no existe.
Se o anti-log for igual a base, o log 1.
Condio de Existncia: base > 0 e ? 1, N >0 .
34. Aplicaes Problema 1:
UEFS 2000.2 A escala Richter usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto atravs da frmula
I = (2/3). Log 3 (E / k), em que E a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k medidas em kWh quilowatt-hora.
Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo Ex a energia liberada em X e Ey a energia liberada em Y, pode-se afirmar:
A) Ey = 2Ex B) Ey = 28Ex C) Ey = 32Ex D) Ey = 33Ex E) Ey = 36Ex
35. ... Soluo: Temos que IX = 4 e IY = 8, pelo enunciado do problema. Substituindo na frmula do enunciado, vem: 4 = (2/3).log3(EX / k) ?4 / (2/3) = log(EX / k) ? log 3(EX / k) = 6 8 = (2/3).log3(EY / k) ?8 / (2/3) = log(EX / k)? log 3(EY / k) = 12 J sabemos de Logaritmos que se log bN = x,ento b x = N. Logo, De log3(EX / k) = 6 tiramos EX / k = 36 De log3(EY / k) = 12 tiramos EY / k = 312
36. ...soluo problema 1 Dividindo membro a membro as expresses , fica: (EX / k) / (EY / k) = 36 / 312 Efetuando as divises indicadas no primeiro e segundo membros, vem:
Nota: lembre-se que para dividir duas fraes, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Teremos ento: EX / EY = 36 : 312 = 36-12 = 1 / 36 Nota: Lembre-se que a-n = 1 / an Da vem imediatamente que: EX / EY = 1 / 36 ? EY / EX = 36 ? EY = 36.EX
37. Ainda problema 1... E a alternativa correta. Nota:
A escala logartmica Richter foi criada em 1935 para avaliar a energia liberada por terremotos, pelo norte-americano Charles Richter (1900 1985).
Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo.
Assim sendo, pelo enunciado do problema acima, a cidade Y, provavelmente foi destruda! Bastava 5!
Paulo Marques, 28 de agosto de 2001 Feira de Santana BA.
38. Aplicao 2 : Qual o nmero de algarismos de
Soluo: Seja x = 2 2000 .
Podemos escrever:
log x = log 2 2000 e da, log x = 2000 . Log2
Ocorre que log 2 = 0,3010 ou seja, o logaritmo decimal de 2 igual aproximadamente a 0,3010.
39. Continuando...
Nota:
O logaritmo decimal de 2 ou seja, log 2 , na verdade, um nmero irracional e, por isto, s poderemos conhecer os seus valores aproximados,pois
log 2 = 0,30102999566398119521373889472449...
formado por um nmero infinito de casas decimais.
O valor acima foi obtido na calculadora cientfica do Windows.
Os logaritmos decimais so obtidos das tbuas ou atravs de calculadoras cientficas.
40. ... Ento, retornando ao exerccio:
x = 2 2000
log x = log 2 2000
log x = 2000.log 2
= 2000.0,3010
= 602,0000
e, como a parte inteira do logaritmo decimal de x = 2 2000 602, o nmero x possui 602 + 1 = 603 algarismos.
Resposta: 2 2000 possui 603 algarismos.
41. Aplicao 3: Qual o nmero de algarismos de 32 1000 ? Soluo: Seja x = 32 1000.
Observe que poderemos escrever x = (2 5)1000 = 25000
Portanto, x = 25000 e, aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, fica:
log x = log 25000 = 5000 . log 2 e como j sabemos que o valor aproximado de log 2 0,3010, vem: log x = 5000 . 0,3010 = 1505, 0000 Portanto, pelo mesmo raciocnio do exerccio anterior, o nmero 321000 possui 1505 + 1 = 1506 algarismos.
Resposta: 321000 possui 1506 algarismos.
42. Curiosidade:...
No ano de 1938, o matemtico americano Edward Kasner (1878 1955), criou a expresso googol (aportuguesada para gugol), para expressar o nmero 10 elevado a 100, ou seja, segundo o professor Kasner, 1 gugol = 10100.
Qual o nmero de algarismos de 100 gugis? Soluo: Sendo 1 gugol igual a 10100 , 100 gugis ser :
x = 100 . 10100 = 102 . 10100 = 10102 x = 10102
A no precisa nem aplicar logaritmos, pois 10102 igual ao nmero 1 seguido de 102 zeros. Portanto, 10102 possui 103 algarismos.
Nota: 10n para n natural possui (n + 1) algarismos (1 seguido de n zeros).
43. Aplicao 4: Admitamos que uma aplicao em caderneta de poupana render 20% ao ano daqui por diante.
Isso significa que uma quantia C aplicada hoje se transformar num saldo de 1,2 C daqui a 1 ano, (1,2)2 C daqui a 2 anos, (1,2) 3 C daqui a 3 anos, e assim por diante.
Em quantos anos teremos o qudruplo da quantia inicial?
Para responder, precisamos calcular o nmero n de anos na equao (1,2)n C = 4C, portanto em (1,2)n = 4.
Procuramos, ento, o expoente que devemos dar base (1,2) para que a potncia resultante, (1,2)n, seja igual a 4.
Tal expoente o logaritmo de 4 na base 1,2.
Indicamos n = log 1,24
44. Continuao ... Nos vestibulares, por no ser permitido o uso de calculadoras, costuma-se colocar como dados os logaritmos decimais (de base 10) necessrios para que se calcule o logaritmo desejado.
Nesse caso, poderiam ser dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 (em logaritmos decimais no escrevemos a base 10).
Para o clculo de n, aplicamos as propriedades dos logaritmos comeando pela mudana de base.
n = log1,24 = log 4/log 1,2 log 4 = log(2 2) = 2 log 2 = 2 x 0,30 = 0,60 log (1,2) = log (22.3.10-1) = 2 log 2 + log 3 - log 10 = 0,08
Logo, n = 0,60/0,08 = 7,5
A quantia inicial estar quadruplicada daqui a sete anos e meio. E lembre: o problema calcular um expoente, a soluo um logaritmo!
* Antonio dos Santos Machado professor de matemtica do Curso Intergraus
45. Grficos de logaritmos:
46. Informaes sobre os grficos: Primeiro grfico:
x2>x1 ? y2>y1
(as desigualdades tm mesmo sentido)
f(x) crescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domnio
Segundo grfico:
(x) decrescente e Im = IR
Para quaisquer x 1 e x 2 do domnio:
X2>x 1 ? y2<y1
(as desigualdades tm sentidos diferentes)
47. Exerccios sobre log : Vestibular VUNESP Se log 8 = 0,903 e log 70 = 1,845, ento log 14 igual a: a) 1,146 b) 1,164 c) 1,182 d) 1,208 e) 1,190
Soluo: Observe que 14 = 2x7. Portanto, log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7
Como log 8 = 0,903, poderemos escrever: log 2 3 = 0,903 ? 3.log 2 = 0,903 ? log 2 = 0,903/3 log 2 = 0,301
48. Continua ... Como log 70 = 1,845, poderemos escrever: log 70 = log (7.10) = log 7 + log 10 = 1,845
Como o logaritmo decimal de 10 igual a 1, ou seja, log 10 = 1, vem imediatamente por substituio:
log 7 = log 70/10
= log 70 log 10
= 1,845 -1 ? log 7 = 0,845.
Finalmente, log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7 log 14 = 0,301 + 0,845 = 1,146
49. Exerccio 2 - Vestibular CESGRANRIO As indicaes R1 e R2, na escala Ritcher, de dois terremotos esto relacionadas pela frmula R1 R2 = log(M1/M2), onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. Ento, a razo (M1/M2) vale: a) 100 b) 2 c) 4/3 d) 10 e) 1
Soluo:
Decorre imediatamente do enunciado que: 8 6 = log (M1/M2) = 2. Logo, ( M1 / M2) = 102 = 100.
50. Exerccio 3: Vestibular Mackenzie O volume de um lquido voltil diminui de 20% por hora. Aps um tempo t, seu volume se reduz metade. O valor que mais se aproxima de t : a) 2h 30 min b) 2h c) 3h d) 3h 24 min e) 4h
Dado: log 2 = 0,30.
51. ... Soluo:
Seja Vo o volume inicial do lquido.
Teremos para o volume V, lembrando que 100% - 20% = 80% = 0,80: Aps 1 hora: V = 0,80.VO Aps 2 horas: V = (0,80).(0,80.VO) = (0,80)2.VO ..............................................
Aps n horas: V = (0,80)n.Vo
Quando o volume for a metade do volume inicial, teremos
V = Vo/2 Substituindo, fica: Vo/2 = (0,80)n . Vo
Simplificando, vem: 1/2 = (0,80)n
52. Continua Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:
log(1 /2) = log (0,80)n log 1 log2 = n.log 0,80
log 1 log 2 = n . log (8/10) log 1 log 2 = n.(log 8 log 10)
log 1 log 2 = n.(log 23 log 10) log 1 log 2 = n.(3.log 2 log 10)
Como log 1 = 0 e log 10 = 1, vem: - log 2 = n.(3.log 2 1)
Substituindo o valor de log 2 = 0,30, fica: - 0,30 = n.[3.(0,30) 1] -0,30 = n.(0,90 1) -0,30 = - 0,10.n n = -0,30/(-0,10) = 3h n = 3h
53. Exerccio 4: Resolva a equao seguinte:
log2(x2 + 2x 7) log2(x 1) = 2
Soluo:
Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja: logbA logbB = logb(A/B), vem: log2[(x2 + 2x 7)/(x 1)] = 2
Lembrando que se logbN = c ento bc = N, vem: 22 = [(x2 + 2x 7)/(x 1) 4(x 1) = x2 + 2x 7 4x 4 - x2 - 2x + 7 = 0 2x x2 + 3 = 0 x2 - 2x - 3 = 0
54. ... Resolvendo esta equao do segundo grau, vem imediatamente: x = 3 ou x = -1
Observe que a raiz x = -1 no serve ao problema, pois na equao dada, log2(x2 + 2x 7) log2(x 1) = 2,
... substituindo x por 1, as expresses entre parnteses seriam negativas e, como sabemos, no existe logaritmo de nmero negativo.
Assim, a nica soluo da equao proposta x = 3.
55. Exerccio 5: Vestibular FUVEST Se log 8 = a ento log 5 vale: a) a3 b) 5 a 1 c) 1 + a/3 d) 2 a/3 e) 1 a/3
Soluo:
Podemos escrever: log 2 3 = a ? 3.log 2 = a ? log 2 = a/3
Ora, 5 = 10/2 e, portanto, log 5 = log(10/2) = log 10 log 2 = 1 a/3.
Resposta: log 5 = 1 a/3
56. Exerccio 6: Determinando o nmero de algarismos
Determine o nmero de algarismos do nmero N = 212 . 58 Soluo: Tomemos o logaritmo decimal de ambos os membros da igualdade:
log N = log (2 12 . 5 8 ) Aplicando as propriedades usuais dos logaritmos, vem: log N = log 2 12 + log 5 8 log N = 12 . log 2 + 8 . log 5
57. ... Mas, 5 = 10 / 2, logo: log N = 12 . log 2 + 8 . log (10 / 2) log N = 12 . log 2 + 8 (log 10 log 2) Mas, log 10 = 1, de onde vem: log N = 12 . log 2 + 8 (1 log 2) Desenvolvendo o segundo membro , fica: log N = 12 . log 2 + 8 8 . log 2
58. .... Simplificando, teremos: log N = 4 . log 2 + 8 Tomando o valor aproximado do logaritmo decimal de 2 que igual a log 2 = 0,3010 e substituindo, fica: log N = 4 . 0,3010 + 8 = 1,2040 + 8 = 9,2040 log N = 9,2040 Da tiramos da definio de logaritmo :
N = 10 9,2040 = 10 9 . 10 0,2040
59. ... claro que o nmero 10 0,2040 um nmero entre 1 e 10 pois 10 0 < 10 0,2040 < 10 1 , ou seja:
1 < 10 0,2040 < 10
e, portanto, possui apenas um dgito. Claro que este nmero multiplicado por 10 9 resultar num nmero seguido de 9 zeros, portanto, ele ter 10 algarismos.
Agora resolva este: Quantos algarismos possui o nmero 10241024 ? Sugesto: observe que 1024 = 2 10 Resposta: 3083 algarismos
60. Exerccio 7 Resolva a equao abaixo em R (conjunto dos nmeros reais) :
log16x + logx2 = 5/4 Soluo: Sabendo-se que: logbN = logaN / logab (frmula da mudana de base), poderemos escrever para log16x : log16x = log2x / log216 = log2x / 4, uma vez que log216 = 4, pois 24 = 16. Substituindo na expresso original, vem: logx2 + log2x / 4 = 5/4
61. ... Multiplicando ambos os membros por 4, (para eliminar o denominador 4), fica: 4.logx2 + log2x = 5 Lembrando que logba = 1 / logab , entenderemos facilmente que logx2 = 1 / log2x Substituindo novamente, vem: 4 / log2x + log2x = 5 Fazendo log2x = y (uma mudana transitria de varivel), vem: 4 / y + y = 5
62. ... Supondo y ? 0, poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por y, para eliminar o denominador y. Teremos ento: 4 + y2 = 5y , ou passando 5y para o primeiro membro: y2 5y + 4 = 0 Resolvendo a equao do segundo grau acima, encontraremos: y = 4 ou y = 1 Ora, j sabemos que y = log2x (devido mudana de varivel feita acima) e, portanto: log2x = 4 OU log2x = 1
63. ... Da, da definio de logaritmo, conclumos inevitavelmente que: x = 24 ou x = 21 ? x = 16 ou x = 2. Logo, o conjunto soluo (ou conjunto verdade) do problema apresentado : S = { 2; 16 }.
Paulo Marques, 29 de maro de 2002 Feira de Santana - BA
64. Exerccio 8 Quantos algarismos ter a potncia 4040 ?
Dado: log 2 = 0,3010 A) 40 B) 50 C) 60 D) 65 E) 1600
65. ... Soluo:
4040 = 40.40.40. ... .40 (produto com 40 fatores).
Vamos calcular o logaritmo da potencia dada:
log 4040 = 40.log 40
Observando que 40 = 4.10 = 22.10, podemos escrever: log 4040 = 40.log 40 = 40.log(22.10)
log 4040 = 40.(log 22 + log 10) = 40(2.log 2 + log 10)
Como log 2 = 0,3010, porque 100,3010 = 2e log 10 = 1, 101 = 10, vem, substituindo os valores log 4040 = 40(2.0,3010 + 1) = 40.1,6020 = 64,0800
Como a caracterstica de log 4040 igual a 64 (parte inteira do logaritmo decimal), conclumos que ele possui 65 algarismos. Portanto, alternativa D.
Paulo Marques, 01 de julho de 2001 Feira de Santana - BA
66. Determinando um logaritmo numa calculadora cientfica
A questo a seguir, compareceu num vestibular da UERJ e foi enviada por um visitante da pgina atravs e-mail de 13/01/2004, solicitando a resoluo.
UERJ Em uma calculadora cientfica de 12 dgitos, quando se aperta a tecla LOG, aparece no visor o logaritmo decimal do nmero que estava no visor. Se a operao no for possvel, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhes, o nmero de vezes que se deve apertar a tecla LOG para que no visor aparea ERRO pela primeira vez :
a) duas vezes b) trs vezes c) quatro vezes d) cinco vezes e) oito vezes
67. ... Soluo:
J sabemos que o logaritmo decimal de um nmero positivo N indicado por log N, que representa o logaritmo de N na base 10. J sabemos que se log N > 0 ento N > 1 e que se log N < 0 ento 0 < N < 1.
Seja Ai o nmero que aparece no visor da calculadora no i-simo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente.
Vamos considerar que o nmero introduzido na calculadora para o clculo do log seja A0 = 48 bilhes = 48 000 000 000 = 4,8.1010.
68. ... Teremos ento:
A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010
A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log4,8 + log1010 = 10 + log4,8 Ento: A2 = log A1 = log (10 + log4,8)
Ora, como 100 < 4,8 < 101, podemos concluir que log 4,8 ser uma nmero entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um nmero decimal entre 0 e 1). Ento, A1 = 10 + log4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que um nmero entre 10 = 101 e 100 = 102.
69. ... Nestas condies, teremos:
A2 = log A1 = log (10,m)
Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que
l < log(10,m) < 2, ou seja,
log (10,m) ser um nmero entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um
nmero decimal entre 1 e 2), ou seja log A2 = 1,n.
70. ... Portanto, A3 = log A2= log (1,n)
Como 1,n um nmero decimal entre 1 = 100 e 10 = 101, podemos afirmar que log (1,n) ser um nmero decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p . Portanto, A3 = 0,p
A4 = log A3 = log (0,p) Ora, como 0,p um nmero decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, j sabemos que o resultado ser um nmero negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 negativo. Portanto, A4 menor do que zero, ou seja, um nmero negativo.
71. ... Logo, A 5 = log A 4 e como A 4 negativo (menor do que zero) e j sabemos que no existe logaritmo decimal de nmero negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO.
Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A 5 - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranqilamente alternativa D.
Ento, A1 = 10 + log4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que um nmero entre 10 = 101 e 100 = 102. Nestas condies, teremos: A2 = log A1 = log (10,m) Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, log (10,m) ser um nmero entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um nmero decimal entre 1 e 2), ou seja log A2 = 1,n.
72. Ainda resolvendo, vestibulares... Agora resolva este da FUVEST na dcada de 90:
FUVEST 1990) Pressionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do nmero que estava no visor. Digita-se inicialmente o nmero 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla LOG precisa ser pressionada para que aparea a mensagem de erro?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Resposta: B
Paulo Marques, 14 de janeiro de 2004 Feira de Santana - BA
73. PROBLEMA interessante ! Se um cavalo engorda 10% ao ms quando ele vai dobrar seu peso?
Dados: log 1,1 = 0,041 log 2 =0,301
X + 10% de x = 1x + 0,1x= 1,1x
Dobrar o peso: 2x= x 1,1 logo 0,041n= 0,301
N= 0,301 => 7,341
0,041
Assim: ele duplicar seu peso em 7 meses e 10,23 dias.
74. Portanto, no preciso sentir-se perdido, existem inmeros sites... Sobre logaritmos www.uol.com.br
www.intergraus.com.br
www.uol.com.br
www.intergraus.com.br
75. Para concluir ...
76. E ... Sejamos todos muito felizes!
Muito Obrigada!
Com carinho, Marlbia de PaulaSejamos todos muito felizes!
Muito Obrigada!
Com carinho, Marlbia de Paula
