Manipuler et expérimenter en mathématiques Thierry Dias

1. Manipuler et expérimenter en mathématiques Thierry Dias Deuxième partie Résolution de problèmes en cycle 2 Sylvie COUSTIER CPAIEN -Oullins 2012

2. TRI • Trier les problèmes selon un critère défini • Ecrire le critère de regroupement en haut de chaque colonne du tableau constitué • Critère de réussite: faire apparaître les différents « types » de problèmes

3. Critères retenus • Organisation gestion de données • Logique espace / géométrie • Logique suite numérique • Partage • Tri de données utiles/inutiles • Échanges / grandeurs et mesures • Déduction • Une étape / deux étapes • 1 question / question intermédiaire • Durée • Sans donnée numérique • Additif simple • Choix des données numériques • Cycle 2 / Cycle 3 • Géométrie / calcul d’aire

4. « Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule ».Equipe Ermel- INRP

5. savoir faire • Construire des capacités • méthodes • techniques • procédures savoir être une culture scientifique à l'école savoirs • Développer des attitudes • recherche • raisonnement • pensée critique • Acquérir des connaissances • concepts • objets • relations

6. Descatégories de problèmes… • Première classification : à partir des formes d’énoncés • Deuxième classification : à partir des notion mathématiques • Troisième classification : à partir des objectifs pédagogiques • Quatrième classification:à partir des procédures utilisées

7. A partir des formes d’énoncés • Situationà vivre + Enoncé oral • Enoncé écrit, situation imaginée • Texte et document réel : publicité, extrait de tarif… • Texte et image(s) : photo, dessin… • Texte littéral et texte visuel: tableau, diagramme, carte, schéma… • Texte • Présence ou absence de question(s), place de celle(s)-ci dans l’énoncé

8. A partir des notions des différents domaines des mathématiques • NUMERATION Types de nombres • TECHNIQUE OPERATOIRE Opérations utilisées • GRANDEURS ET MESURES Domaine et unité de mesure • GEOMETRIE Différents objets géométriques • OBS. ET GESTION DE DONNEES Différents outils de traitement de données

9. A partir des objectifs pédagogiques • Place de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement • Séance derelevé des savoirs et de mise en questionnement: problème ouvert(recherche) • Séance deformalisation: problème pour apprendre(échanges sur les procédures) • Séance(s) demémorisation et d’entrainement des savoirs et des procédures: problèmes d’application(différenciation)

10. A partir des objectifs pédagogiques Place de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement • Séance d’évaluation: problèmes d’application • Séance deremédiation: problèmes d’application et/ou de réinvestissement (différenciation)

11. agir dire ACTION recherche FORMULATION Expérimenter Manipuler Représenter Mettre en mots Faire des hypothèses Anticiper sur l’effet de la procédure mise en commun VALIDATION entraînement Argumenter Prouver Justifier INSTITUTIONALISATION prouver Stabiliser les savoirs S’entrainer Mémoriser retenir

12. 12 Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir différentes fonctions.

13. 13

14. PROGRESSIVITE DES APPRENTISSAGES • MATERNELLE / Début de CP: Situation vécue, non écrite • Au cours du CP idem ci-dessus +… De la situation vécue à la situation représentée et introduction d’un énoncé écrit • Au CE1 idem ci-dessus +… De la situation représentée avec énoncé au problème évoqué (énoncé écrit seul)

15. ENSEIGNER DES STRATEGIES DE RESOLUTION Mise en commun • Inventorier les procédures de résolution • Débattre de leur validité • Les comparer, les confronter • Garder trace des procédures efficaces Conséquences : La diversité est possible La différenciation est réelle Le partage entre pairs est efficace Les progrès sont ressentis par l’élève

16. RÉSOUDRE UN PROBLÈME: Les étapes cognitives • Phase de structuration • Représentation du problème • Mise en œuvre de la stratégie « Écrits privés », traces intermédiaires Phase d’opérationnalisation Phase de formalisation 16 • Transcription du résultat Appropriation (Dévolution) Elaboration d’une stratégie

17. RÉSOLUTION UN PROBLÈME Lecture de l’énoncé Recherche d’une procédure Instanciation de la procédure Exécution de la procédure Communication de la réponse

18. Résultats obtenus à un problème proposé à l’entrée en 6ème Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ? Cet exercice obtient 59,3% de réussite.

19. Analyse • Maîtrise insuffisante de la langue ? • mots du lexique de la vie courante, situation simple • Mauvaise connaissance des nombres ? • nombres familiers depuis le CP • Mauvaise maîtrise des méthodes de calcul ? • possibilité d’utiliser des procédures personnelles représentant plusieurs niveaux d’abstraction Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?

20. Qu’est-ce qu’un problème ? Comment faire pour le résoudre ? Quand on interroge les élèves en difficulté on obtient les réponses suivantes • Un problème a toujours une solution. • Un problème fait toujours intervenir des nombres. • Un problème se présente toujours sous la forme d’un énoncé qui se termine par une question. • Il n’y a qu’une façon de résoudre un problème. • C’est le résultat qui compte. • Pour résoudre le problème, il faut utiliser les dernières notions étudiées en classe. • Pour trouver la solution, il faut déjà savoir. • Seul le maître est capable de dire si le résultat est juste.

21. Quelques pistes pour « apprendre à résoudre » Pour s’approprier le problème Pour élaborer ou rechercher une procédure Pour exécuter la procédure et valider sa solution

22. Aide pour s’approprier le problème • Varier les supports de présentation • Situation réelle • Situation représentée : dessin, schéma, document • Situation communiquée oralement • Situation communiquée par un énoncé écrit • Varier les problèmes • Avec des nombres mais sans calcul • Sans nombres : géométrie, logique • Numériques avec essais successifs • Sans solution - Absurdes • Situations inhabituelles

23. Lecture de l’énoncé 23

24. 24

25. 25

26. 26

27. 27

28. 28

29. Difficultés pour élaborer ou rechercher une procédure • Des blocages psychologiques • Une richesse variable des réseaux de connaissances stockés en mémoire Favoriser la diversité des procédures Exploiter cette diversité • La non maîtrise de certaines techniques opératoires Entrainer: calcul mental, calculs écrits • La non maîtrise des procédures Classer les problèmes par procédures, relever des exemples de résolutions Aider à progresser vers les résolutions expertes: comparaisons, justifications

30. Difficultés pour exécuter la procédure et valider sa solution • Difficultés à exécuter la procédure de résolution • Remédiations Entrainement • Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat Valider par la cohérence du résultat: ordre de grandeur, unité

31. Roland CHARNAY

32. CONCLUSIONS • Concevoir le parcours de résolution de problème de l’élève: en équipe  • Etablir une progressivité dans les problèmes proposés, les procédures et les représentations • S’attacher à des outils communs de classements de référence par les procédures : affiches évolutives, qui peuvent passer de classes en classes, outil individuel élève dans l’école (portfolio de problèmes résolus) • Penser les séances d’entrainement : calcul mental, rituels : énigmes, jeux, séries de petits problèmes simples.

33. OUVERTURES • Mise en place d’un labo maths de classe, d’école… • Résolution de problèmes dans tous les domaines d’enseignement : vie de classe, EPS, sciences, géographie, histoire, étude de la langue

34. ça demande beaucoup de matériel ? Expérimenter, manipuler ?? matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, jeux, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves… supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle, ficelle instruments : instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, files numériques, tables d’addition, de multiplication, ordinateur

35. Exemple 1 : à la bonne place (éval. Ce2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient 367 582 309

36. DEUX EXEMPLES 150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ? 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?

37. Exemples monnaie

38. Dans un restaurant, on propose : • Deux entrées • Trois plats principaux • Deux desserts • Combien de menus «entrée+plat+dessert» peut-on composer?

41. LES DEUX CERCLES SONT BLEUS LE TRIANGLE EST VERT IL Y A UNE FORME ROUGE A GAUCHE D’UNE FORME BLEUE