I derivati

1. U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni” I derivati Lezione 0

2. Terminologia • strumento derivato • posizione lunga • posizione corta • vendita allo scoperto • arbitraggio • tasso spot, prezzo spot • tasso forward, prezzo forward

3. Strumento derivato I derivati (o derivatives o contingent claims) sono strumenti il cui «valore» dipende dai «valori» di altre variabili fondamentali dette sottostanti (o underlying) prezzo sottostante Il sottostante può riguardare una qualsiasi attività o variabile economica. Ad es. azioni, obbligazioni, indici di mercato, merci, servizi, situazioni meteorologiche e climatiche, risultati sportivi ecc.

4. Esempi di Derivati • Opzioni • Contratti Forward (o Forwards) • Contratti Futures (o Futures) • Swaps

5. Perché si Usano i Derivati • Per proteggersi dai rischi • Per concretizzare un’opinione circa la futura evoluzione del mercato (scommessa) • Per bloccare un profitto di arbitraggio • Per cambiare la natura di una passività • Per cambiare la natura di un investimento senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e l’acquisto di un altro • Per ragioni fiscali

6. Operatori • Hedgers: ridurre un rischio al quale sono esposti • Speculatori: scommettitori • Arbitraggisti: operatori che traggono profitto privo di rischio senza investire

7. Economia di arbitraggio Per sottolineare la possibilità di sfruttare tutte le opportunità offerte dal gran numero di mercati disponibili cause: • disintermediazione (scambio diretto) • deregolamentazione (contesto finanziario flessibile) • integrazione (fine della segmentazione) La finanza moderna si fonda sulla cosiddetta «Economia di arbitraggio». Con questo termine si vogliono sottolineare le possibilità offerte dall’evoluzione dei mercati finanziari.

8. Arbitraggio «You make money without risk» L’arbitraggio consiste • nell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in modo da garantire dei guadagni certi a fronte di investimenti nulli (più intuitivo) oppure • nell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in grado di garantire dei guadagni nulli a fronte di disinvestimenti non nulli (meno intuitivo)

9. Opportunità di arbitraggio • Con il termine “opportunità di arbitraggio” ci si riferisce alla possibilità di sfruttare eventuali incongruenze tra i diversi mercati e/o i diversi beni. • Ad es. compro oro a 100 $/oncia in USA e lo vendo a 102 $/oncia in GB, quando il trasporto costa 1$/oncia. • Dati: P = prezzo, q = quantità investita, D = rendimento • Abbiamo: Pq = investimento, Dq = guadagno • L’arbitraggio del primo tipo è dato da: Pq = 0 e Dq > 0. In generale si usa dire Pq 0 e Dq > 0. • L’arbitraggio del secondo tipo è dato da: Pq < 0 e Dq = 0. In generale diremo Pq < 0 e Dq 0.

10. Posizione finanziaria • La parte che ha deciso di comprare «prende una posizione lunga» • La parte che ha deciso di vendere«prende una posizione corta» • Una posizione viene chiusa prendendo una posizione di segno opposto

11. Vendita allo Scoperto • La vendita allo scoperto: • consiste nel vendere titoli che non si posseggono • I titoli vengono «presi in prestito» attraverso un broker • e vengono venduti nel modo consueto • Il venditore allo scoperto potrà essere chiamato a chiudere la propria posizione (in ogni momento) qualora il broker si trovasse senza azioni • Chi vende allo scoperto • dovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker da cui li ha presi in prestito • deve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli

12. Vendita allo Scoperto • Per la vendita allo scoperto si incarica un broker che gestisce un portafoglio contenente i titoli che vogliamo vendere allo scoperto. (Notiamo che non stiamo discutendo sulle ragioni che ci spingono a vendere qualche cosa che non abbiamo, ma dobbiamo solamente capire come questo sia possibile). • Ad es., vogliamo vendere 10 000 Fiat a 18.38 (prezzo di mercato). Non disponendo dei titoli possiamo chiedere in prestito le azioni a un broker (di cui godiamo la fiducia). Il broker ovviamente deve disporre di almeno 10 000 Fiat, ad esempio perché gestisce il portafoglio della propria clientela. • Si incarica quindi il broker di venderci le 10 000 azioni e di versarci in conto l’importo realizzato al netto della commissione. Spesso questa operazione richiede delle garanzie (in titoli o contanti). • Al variare del prezzo della Fiat possiamo decidere (in ogni momento) di ricomprare le 10 000 azioni versando l’importo necessario al broker e restituendogli i titoli presi a prestito. • In presenza di elevate variazioni di prezzo a noi sfavorevoli (forti aumenti) o in caso di richiesta di disponibilità dei titoli il broker può chiederci (in ogni istante) di chiudere la posizione.

13. Spot e Forward • Tasso e prezzo spot riguardano il tasso e il prezzo attuali • Tasso e prezzo forwardriguardano il tasso e il prezzo a termine (a una certa scadenza)

14. Tasso Forward o di Riporto (Repo) • Il tasso di riporto è il tasso d’interesse rilevante per molti arbitraggisti • I contratti di riporto (repos o repurchaseagreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più alto • La «differenza» tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l’«interesse» percepito dalla controparte

15. Forwards

16. Contratto a termine o Forward « Agreement to buy or sell“something” in the future» • Accordo per comprare o vendere un’attività ad una certa data futura, per un certo prezzo

17. Come funzionaun contratto Forward • Il contratto forwardè un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC) • Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nullo • Pertanto, non c’è alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulato • Il contratto viene «liquidato a scadenza»

18. Esempio di contratto Forward • 8 maggio 2002: una società entra in un contratto forwardlungo per acquistare tra 90 giorni £1.000.000 a $1,6056 per sterlina ($/£ = GBP/USD) sottoscrizione del contratto pago $1 605 600 ricevo £1 000 000 8 maggio 2002 6 agosto 2002

19. Esempio di contratto Forward • 6 agosto 2002: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a $1,6500 pago $1 605 600 ricevo £1 000 000 che valgono $1 650 000 8 maggio 2002 6 agosto 2002

20. In base alle «condizioni» contrattuali (forward del 5 maggio 2002), la società paga $1.605.600 e riceve £1.000.000 Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $1.650.000 pago $1 605 600 ricevo £1 000 000 vendo £1 000 000 ricevo $1 650 000 -------------- guadagno $44 400 Esempio di contratto Forward

21. Posizione lunga su un Forward Profitto 0 K S T Posizione lunga (a) K

22. Posizione corta su un Forward prezzo forwardo prezzo di consegna? K Profitto 0 K S T Posizione corta (b)

23. Contratti Forward • Prezzo Forward: • prezzo di consegna del giorno di stipula tale da rendere il valore del contratto Forward nullo • Prezzo di consegna: • prezzo applicato alla compravendita a termine • Valore del contratto Forward: • prezzo di scambio durante la vita intermedia del contratto Il valore del contratto Forward rappresenta quanto vale detenere l’impegno iscritto nel contratto.

24. Oro: un’opportunità di arbitraggio? • Si supponga che: • il prezzo spot dell’oro sia di $390 • il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $425 • il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo • non si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro • C’è un’opportunità di arbitraggio?

25. prestito di contanti +390 –409.5 $390×15% lungo di oro –390 +oro corto Forward su oro 0 +425–oro Saldo 0 15.5 opportunitàdi arbitraggio nessun investimento guadagno certo C’è opportunità di arbitraggio? Oggi 1 anno Tasso d'interesse 5%

26. Oro: un’altra opportunità di arbitraggio? • Si supponga che: • il prezzo spot dell’oro sia di $390 • il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $390 • il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo • non si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro • C’è un’opportunità di arbitraggio?

27. deposito di contanti –390 409.5 corto di oro +390 –oro lungo Forward su oro 0 –390+oro Saldo 0 19.5 opportunitàdi arbitraggio nessun investimento guadagno certo C’è opportunità di arbitraggio? Oggi 1 anno Tasso d'interesse 5%

28. deposito di contanti –371.43 390 corto di oro +390 –oro lungo Forward su oro 0 –390+oro Saldo 18.57 0 19.5 / (1+5%) opportunitàdi arbitraggio disinvesti-mento guadagno nullo C’è opportunità di arbitraggio? Oggi 1 anno Tasso d'interesse 5%

29. Formalizzando • Se oggi F > S (1+i)(T–t) • prendo in prestito la somma S • vado corto sul Forward che paga F per il titolo che oggi vale S • acquisto il titolo spot che costa S • fine periodo • pago S (1+i)(T–t) a chi mi ha prestato i soldi • cedo il titolo alla somma F

30. Formalizzando (continua) • Se oggi F < S (1+i)(T–t) • prendo una posizione corta sul titolo spot e ricevo S • vado lungo sul forwardche paga Fper il titolo che oggi vale S • deposito la somma S ricevuta dalla venditaallo scoperto • fine periodo • ricevo S(1+i)(T–t) dal deposito dei contanti • compro il titolo alla somma F • chiudo la posizione corta sul titolo restituendolo al broker

31. Prezzo Forward • Concludiamo che il prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Forward alla stipula è pari a S (1+i)(T–t) oppure Se r (T–t) per titoli che • non pagano dividendi o dividend yields • non hanno costi di deposito, custodia o immagazzinamento

32. Valore di un Forward • Sia • K: prezzo di consegna di un contratto forward • F: prezzo forwardche si applicherebbe ora al contratto • Il valore di un contratto forwardlungo, f, è • f =(F – K )e–r(T – t) • Analogamente, il valore di forwardcorto è f=(K – F)e–r(T–t)

33. 0 t T Valore di un contratto Forward • Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a F–K in T, ossia (F–K)e-r(-t) oggi, per vendereK. Dato che f(F)=0, si deduce chef(K)= (F–K)e-r(-t) • Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a K–F in T, ossia (K–F)e-r(-t) oggi, per acquistareK anziché F. Di conseguenzaf(K)= –(K–F)e-r(-t) = (F–K)e-r(-t)

34. 0 26/11 26/5 Esempio di Forward • r = 6%, T – t = 6mesi • in T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare €8.32 meno di chi sottoscrive ora: F=Ster(T-t) = €958.32  K –F= €8.32 • quindi K F. Quanto è la preferenza? 8.32 e-6% × 6 / 12 = 8.08 • Chi vuole acquistare una posizione lunga su Kpagherà 8.08, (f = -8.08) • Chi vuole vendereuna posizione lunga su Kotterrà 8.08, (f = 8.08) • Chi vuole acquistare una posizione cortasu Kotterrà 8.08, (f = 8.08) • Chi vuole vendereuna posizione cortasu Kpagherà 8.08, (f = -8.08)

35. Valore di un contratto Forward • Se f = $7 in che modo possiamo fare arbitraggio? • Volendo anticipare i guadagni?

36. 0 t T Valore di un contratto Forward:senza redditi • Lunghi di forwardF equivale al possesso di un sottostante S a scadenza T (qualunque sia il suo valore in tale data): St S0 acquista oggi e dispone del titolo S in T Deve valere come un portafoglio che

37. I Beni d’Investimentoche Offrono Redditi Noti • Vale la relazione • FSIerTt (3.7) p. 52 • dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti (in quanto sono di diritto a coloro che prestano il titolo)

38. 0 t T Valore di un contratto Forward:con redditi noti • Lunghi di forwardF vuol dire acquistare il sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in tale data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e T: St S0 che dispone del titolo S in T Deve valere come un portafoglio

39. I Beni d’Investimento che Offrono un «Dividend Yield Noto» • Vale la relazione • FSerqTt (3.10) p. 54 • dove q è il dividend yield (dividendi in funzione del prezzo dell’azione) • Si assume che l’attività sottostante offra un reddito pari a qSt nel periodo t

40. Forward con dividend yields • Supposto noto che chiamiamo dividend yield (annuo) • lo ‘spalmiamo’ sull’intero anno, cioè paga SqΔt per Δt0, • in altre parole, dopo un giorno paga dividendi • dopo due giorni paga • in base a pag. 47 abbiamo che • ad es. S = 100, div(T)=110.52-100=10.52= SeqT - S • volendo attualizzare i dividendi: (SeqT - S)e-qT = S - e-qT  I • da cui: F=(S - I) erT = (S - S + Se-qT) erT = Se(r-q)T

41. 0 t T Valore di un contratto Forward:con dividend yields noti • Dato che gli interessi qSDt maturano “istantaneamente” (per piccoli Dt): St S0