Μαθήματα Διανυσματικού Λογισμού

1. Μαθήματα Διανυσματικού Λογισμού για τη Γεωπονική Σχολή του Α.Π.Θ. Ν. Καστάνη Ακαδημαϊκό έτος, 2010-2011

2. Εισαγωγή Η κατεύθυνση σπουδών : των Εγγείων Βελτιώσεων, της Εδαφολογίας και της Γεωργικής Μηχανικής, της Γεωπονικής Σχολής, Α.Π.Θ., έχει ως έναν βασικό άξονα μαθημάτων, αυτά που εξετάζουν τα ζητήματα της Υδραυλικής και της Τοπογραφίας.

5. Και η κατεύθυνση σπουδών: της Αγροτικής Οικονομίας, της ίδιας Σχολής, έχει ως έναν βασικό άξονα της τα μαθήματα για την Οικονομική Ανάλυση και τη Στατιστική.

8. Για τα μαθήματα αυτά, χρειάζονται τα Ανώτερα Μαθηματικά, γενικά, και ο Διανυσματικός Λογισμός, ειδικότερα. Με άλλα λόγια, οι μαθηματικές αυτές γνώσεις αποτελούν ένα από τα επιστημονικά εργαλεία, που είναι αναγκαία για τις θεωρητικές βάσεις και τους μεθοδολογικούς χειρισμούς των σχετικών μαθημάτων, των κατευθύνσεων αυτών, και η άγνοια τους μπορεί να έχει ως συνέπεια την υποβάθμισή τους σε απλές αφηγηματικές περιγραφές.

9. Η ουσία των Μαθηματικών Τα Μαθηματικά έχουν ως ρίζα, δηλ. ως γενετικό υλικό, τις ακριβείς μετρήσεις και τους αδιαμφισβήτητους προσδιορισμούς θέσεων στο χώροή μορφολογικών χαρακτηριστικών. Γι’ αυτό το λόγο, αποτελούν τη βάση των Θετικών Επιστημών, που σημαίνει ότι χωρίς αυτά δεν μπορεί να υπάρχει συλλογή και επεξεργασία ποσοτικών δεδομένων, ούτε πειραματισμός, ούτε επαληθεύσιμα συμπεράσματα. Τρία, πολύ χαρακτηριστικά, παραδείγματα: i) Η μέτρηση της ακτίνας της Γης

10. ii) Ο προσδιορισμός της θέσηςκαι της πορείας ενός πλοίου

11. iii) Το Σχήμα της Γης René Descartes(1596–1650) Isaac Newton (1642 – 1727) Alexis Clairaut (1713-1765) Θεωρία για το Σχήμα της Γης, 1743 Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759)

12. Το επίκεντρο του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού • Ο κλάδος αυτός των Μαθηματικών αποβλέπει: • στην ποσοτική εξέταση των διαδικασιών αλλαγής, • ιδιαίτερα των διαφόρων περιπτώσεων της κίνησης, • 2) στην πραγμάτευση μορφολογικών χαρακτηριστικών των καμπύλων • ή των επιφανειών,και • 3) στη μέτρηση των μεγεθών καμπυλόγραμμων σχημάτων και στερεών. Έχει ως βάση τη μέθοδο των απειροστών, ή πιο σωστά, με τη σύγχρονη ορολογία, τη μέθοδο των ορίων. • Και οι κύριες έννοιες του είναι: • οι πραγματικοί αριθμοί, • οι συναρτήσεις, • τα όρια, • οι παράγωγοι και τα διαφορικά, και • τα ολοκληρώματα.

13. Christiaan Huygens (1629-1695) Κυκλοειδής καμπύλη

14. Βλητική

15. Αρχιμήδης 3ος αιώνας π.Χ.

17. Η κεντρική ιδέα του Διανυσματικού Λογισμού Σε αρκετές επιστημονικές προσεγγίσεις εξετάζονται περιπτώσεις που εξαρτώνται από προσανατολισμούς και κατευθύνσεις, όπως π.χ. τα μαγνητικά φαινόμενα. Η κατανόηση και ο χειρισμός των ποσοτικών ή μορφολογικών αλλαγών, σε τέτοιου είδους περιβάλλοντα, μπορούν να αντιμετωπιστούν συνδυάζοντας τις έννοιες και τις μεθόδους του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού με τις αντίστοιχες προσανατολιστικές συνθήκες και επιδράσεις. Οι προσανατολιστικές καταστάσεις μπορούν να περιγραφούν και να προσδιορισθούν με αναπαραστάσεις που σηματοδοτούνται ως σύνθεση τριών χαρακτηριστικών: του μεγέθους, της διεύθυνσης και της φοράς. Αυτά τα χαρακτηριστικά διαμορφώνουν την έννοια του διανύσματος.

18. Κατά συνέπεια, ο Διανυσματικός Λογισμός αποτελεί τη θεωρητική και μεθοδολογική αντιμετώπιση των προσανατολιστικών φαινομένων και καταστάσεων, με τη συνύφανση των διανυσμάτων στο εννοιολογικό και διαδικαστικό μοντέλο του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού. Πιο απλά, ο Διανυσματικός Λογισμός είναι η διαπλοκή των διανυσμάτων με τις απειροστικές έννοιες και μεθόδους. Κι επειδή οι σύγχρονες επιστημονικές αντιλήψεις δεν στηρίζονται σε απλές συσσωρεύσεις μεμονωμένων επιστημονικών εννοιών, αλλά με ολότητες και δομές, το επίκεντρο του Διανυσματικού Λογισμού είναι τα διανυσματικά πεδία κι όχι τα διανύσματα, εξατομικευμένα. Αυτό σημαίνει ότι η έμφαση δίνεται στη συμπεριφορά των διανυσμάτων και στις διανυσματικές τεχνικές.

19. Ένα παράδειγμα διανυσματικού πεδίου

20. Μαθηματικές προσεγγίσεις διανυσματικών πεδίων

21. Οι θεματικές ενότητες του Διανυσματικού Λογισμού Το περιεχόμενο του Διανυσματικού Λογισμού αποτελούν τρεις ενότητες: • Η Διανυσματική Άλγεβρα, • Η Διανυσματική Γεωμετρία, και • Η Διανυσματική Ανάλυση. Η Διανυσματική Άλγεβρα επικεντρώνεται στη δομή των διανυσμάτων, δηλ. στις πράξεις και τις σχέσεις τους. Η Διανυσματική Γεωμετρία αποσκοπεί στην διανυσματική αναπαράσταση και τους διανυσματικούς χειρισμούς των γεωμετρικών σχημάτων. Και η Διανυσματική Ανάλυση έχει να κάνει με τις μεταβολές των διανυσματικών καταστάσεων, με τη βοήθεια των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων.

22. Τα διανύσματα στη Μέση Εκπαίδευση 1. Στη Φυσική

26. 2. Στα Μαθηματικά