全數的乘法 國立台南大學數學教育系 謝 堅

1. 全數的乘法 • 國立台南大學數學教育系 • 謝 堅

2. 人們為什麼會發明乘法？ • 發明乘法對我們有那些幫助？ • 如何幫助學童理解並學會使用乘法替代加法(相同數字)解決問題？ 

3. 乘法問題的語意與解題策略： • 加減運算是解決相同單位的點數問題，而乘法問題中出現兩種不同的單位，面對乘法問題，可以有那些解讀題意的方式?可以有那些解題策略?

4. 1盒蘋果有3個，4盒蘋果有多少個？ • 將乘法問題解讀為加法問題，並 • 使用加法當做工具解題。 • 3＋3＋3＋3＝( )。 • 透過加法解決乘法問題比較沒有效率。

5. 1盒蘋果有3個，4盒蘋果有多少個？ • 將乘法問題解讀為比的問題： • 1：3＝4：□。

6. 將「每1盒都有3個蘋果」視為一個單位，透過累積的策略解題。將「每1盒都有3個蘋果」視為一個單位，透過累積的策略解題。 • 1盒：3個 • 1盒：3個 • 1盒：3個　 • 1盒：3個 •  • 4盒：12個

7. 1：3＝4：□。 • 透過內項乘以內項等於外項乘以外項（比的算則）解題： • 3個／盒 × 4盒＝12個。 • 3個／盒是比值的概念。

8. 將乘法問題解讀為單位量轉換的 • 問題(單位量轉換的問題就是倍 • 的問題，習慣上我們將倍的問題 • 稱為乘法問題)。 • 4個3合起來是多少個1？ • 3的4倍是多少？ • 3×4＝（ ）

9. 倍的問題vs比的問題 • 加、減、乘、除等四則運算，都是解決同一個單位的計數問題，加和減是用來簡化點數活動，乘和除是用來簡化相同個數的加減活動。 • 比是兩個單位並置的問題。

10. 乘法問題可以使用加法當工具解題，也可以使用乘法當工具解題（後者比前者有效率），它們都是解決一種單位計數的問題。乘法問題可以使用加法當工具解題，也可以使用乘法當工具解題（後者比前者有效率），它們都是解決一種單位計數的問題。 • 將注意力放在確定某一個單位的個數上(例如將注意力放在確定蘋果的個數上，盒變成次數的意義)。

11. 乘法問題也可以用比當工具解題。 • 比是解決兩個單位並置的問題。 • 1：3 透過複製，可以得到 4：12。 • 每1盒就有3個蘋果，透過複製可以得到4盒有12個蘋果。 • 在比的解題活動中，蘋果和盒兩個單位是同等的地位。

12. 乘法和比，是兩種不同的運算，　先引入那一種運算比較恰當？乘法和比，是兩種不同的運算，　先引入那一種運算比較恰當？ • 解乘法問題前，一定要有比的概念或運算能力嗎? • 解比的問題前，一定要有乘法的概念或運算能力嗎?

13. 單位量轉換： • ♤♤♤♤♤♤♤♤♤♤♤♤ • 上圖中有12個蘋果，當選擇不同的單位量時，可以有不同描述蘋果個數的方式。 • 12個，6堆，3盤，1/3箱，48片。

14. 以1個蘋果為單位量： 有12個蘋果（12個1）。 　 • 以1堆（2個蘋果）為單位量： 有6堆蘋果（6個2）。 • 以1盤（4個蘋果）為單位量： 有3盤蘋果（3個4）。

15. 以1箱（36個蘋果）為單位量： 有 1/3 箱蘋果（1/3 個 36） • 以1片（1/4個蘋果）為單位量： 有48片蘋果（48 個 1/4）

16. ♤♤ ♤♤ ♤♤ ♤♤ ♤♤ ♤♤ • 1堆2堆3堆4堆5堆6堆 • 以2個蘋果為單位量時，可以將12個蘋果視為6堆蘋果。 • 單位量是2。 • 單位數是6。 • 總量是12 (6個2)(12個1)。

17. 1盒蘋果有3個，4盒有多少個蘋果？ • 1箱蘋果有36個，2/3箱幾個蘋果？ • 為什麼數學上都使用乘法算式 • (3×4＝12，36×2/3＝24)記錄這兩個問題的解題活動。

18. 乘數是整數乘法「3×4」是將「3」重複累積4次的活動。乘數是整數乘法「3×4」是將「3」重複累積4次的活動。 • 乘數是分數的乘法「36×2/3」是將「36」先分割成3等份，再合成其中2份的活動。 • 這兩個乘法問題是相同的數學模型(解題活動類型)嗎？為什麼數學上都使用乘法算式來記錄?

19. 透過單位量轉換，可以將它們視為相同的數學模型(解題活動類型)嗎？透過單位量轉換，可以將它們視為相同的數學模型(解題活動類型)嗎？ • 如何幫助學童將這兩種乘法問題視為相同的數學模型(解題活動類型)? • 如何幫助學童使用相同的乘法算式記錄這兩種乘法問題的解題活動？

20. 可以將乘數(單位數)是整數的乘法問題「1盒蘋果有3個，4盒有多少個蘋果？」視為單位量轉換問題：可以將乘數(單位數)是整數的乘法問題「1盒蘋果有3個，4盒有多少個蘋果？」視為單位量轉換問題： • 也可以將乘數(單位數）是分數的乘法問題「1箱蘋果有36個，1/3箱有多少個蘋果？」視為單位量轉換的問題：

21. 總量以1盒（3個）為單位來描述時是4盒，當總量以1個為單位來描述時是多少個？總量以1盒（3個）為單位來描述時是4盒，當總量以1個為單位來描述時是多少個？ • 4個3合起來是多少個1？ • 3的4倍是多少?

22. 當總量以1箱(36個）為單位來描述時是1/3箱，當總量以1個為單位來描述時是多少個？　　當總量以1箱(36個）為單位來描述時是1/3箱，當總量以1個為單位來描述時是多少個？　　 • 1/3個36合起來是多少個1？ • 36的1/3倍是多少?

23. 如何引入乘法算式比較恰當： • 你同意透過連加引入乘法算式嗎？ • 解題過程記錄：3＋3＝6，6＋3＝9，9＋3＝12。 • 3＋3＋3＋3＝12。 • 解題摘要記錄： • 3×4＝12。

24. 你同意利用單位量轉換概念，透過倍的語言引入乘法算式嗎？你同意利用單位量轉換概念，透過倍的語言引入乘法算式嗎？ • 解題過程記錄：　 • 3＋3＝6，6＋3＝9，9＋3＝12。 • 3＋3＋3＋3＝12。 • 語言轉換：4個3合起來是12，可以說成3的4倍是12，記成3×4=12。 • 解題摘要記錄： • 3×4＝12。

25. 將連加視為乘法數學模型的原型合適嗎？ • 當乘數（次數）是整數時很容易引入，當乘數（次數）不是整數時，學童不易接受。

26. 「3加5次」記成「3×5」 • 「1/3加5次」記成「1/3×5」， • 「5加1/3次」記成「5×1/3」， • 那些是你可以接受的記法? • 5可以加1/3次嗎? • 5加1/3次有意義嗎？

27. 將單位量轉換（倍的問題）視為乘法數學模型的原型合適嗎？將單位量轉換（倍的問題）視為乘法數學模型的原型合適嗎？ • 5個3合起來是15， 　　　 • 說成：3的5倍是15。 • 記成：3×5＝15。

28. 5個1/3合起來是5/3，　 　　　　 • 說成：1/3的５倍是5/3。 　 • 記成：1/3×5＝5/3。 • 你接受這種說法及記法嗎?

29. 「倍」指的是兩個量的關係， • 「5倍」指的是當基準量為1時，比較量是5的關係。 • 看到「5倍」，你會想到什麼？ • 「5倍」是等價類。

30. 基準量甲是2，比較量乙是10。 • 基準量甲是7，比較量乙是35。 • 基準量甲是0.3，比較量乙是1.5。 • 基準量甲是2/7，比較量乙是10/7。 • 上述關係都稱呼乙是甲的5倍。

31. 國小低年級階段：「2的5倍是10」是「5個2合起來是10」的另一種稱呼，5倍並不是兩個量的關係，5倍比較像5次的意思。國小低年級階段：「2的5倍是10」是「5個2合起來是10」的另一種稱呼，5倍並不是兩個量的關係，5倍比較像5次的意思。 • 何時可以引入「10是2的多少倍?」這類的問題？

32. ６４年課程中的乘法教材： • 乘數是整數時，透過連加引入乘法算式，可以將「3＋3＋3＋3＝12」摘要地記成「3×4＝12」。 • 乘數非整數時，透過倍的語言引入乘法算式，「6的 1/3 倍是2」， 可以摘要地記成「6×1/3＝2」。

33. 乘數是整數與乘數是分數或小數，引入乘法算式的方式不同，它們像兩種不同的乘法。乘數是整數與乘數是分數或小數，引入乘法算式的方式不同，它們像兩種不同的乘法。 • 有人建議用不同的符號區分乘數是整數和乘數是分數或小數的乘法算式，你同意這樣的看法嗎?

34. 82年與九年一貫數學課程中的乘法教材，都利用單位量轉換的概念，透過倍的語言引入乘法算式。82年與九年一貫數學課程中的乘法教材，都利用單位量轉換的概念，透過倍的語言引入乘法算式。 • 3個5合起來是15， • 說成：5的3倍是15。 • 記成：5×3＝15。

35. 5個1/3合起來是5/3， • 說成：1/3的5倍是5/3。 • 記成：1/3×5＝5/3。 • 1/3個5合起來是5/3， 　 • 說成：5的1/3倍是5/3。 　 • 記成：5×1/3＝5/3。

36. 剛開始，「5的3倍」只是「3個5」或「3加5次」的另一種說法，透過相當多的解題經驗，希望學童逐漸理解「倍」的意義。剛開始，「5的3倍」只是「3個5」或「3加5次」的另一種說法，透過相當多的解題經驗，希望學童逐漸理解「倍」的意義。

37. 如何引入乘法算式? • 1盒蘋果有3個，4盒蘋果有幾個？ • 解題過程記錄： • 3＋3＝6，6＋3＝9，9＋3＝12。 • 3＋3＋3＋3＝12。 • 如何引入乘法算式(摘要記錄)?

38. 摘要記錄記錄了問題，答案，數學模型(解題活動類型）。摘要記錄記錄了問題，答案，數學模型(解題活動類型）。 • 加法算式，只能呈現一種單位，而乘法問題有單位量及單位數兩個不同的單位，摘要記錄要記錄問題，必須將加法算式中沒有記錄的單位數(4盒)記下來。

39. 3＋3＝6，6＋3＝9，9＋3＝12 • 3＋3＋3＋3＝12 • 4個3合起來是12 •  3的4倍是12 •  3×4＝12

40. 如何引入「4個3合起來是12」？ • 為何要將「4個3合起來是12」， 透過語言轉換成「3的4倍是12」？

41. 如何引入成數是分數的乘法算式： • 一瓶水有24公升，2又3/4 瓶水有幾公升？ • 解題過程記錄： • 24×2＝48，24÷4＝6，6×3＝18， 48＋18＝66。

42. 解題摘要記錄： • 2個24合起來是48 •  24的2倍是48 •  24×2＝48 • 2又3/4個24合起來是66 •  24的2又3/4倍是66 • 24×2又3/4＝66

43. 3/4個24合起來是18 •  24的3/4倍是18 •  24×3/4＝18 • 先引入帶分數倍問題的記法， • 先引入真分數倍問題的記法， • 何者比較恰當？為什麼?

44. 乘法結合律的意義： • 乘法結合律是指當計算ａ、ｂ、ｃ三數的積時，先算ａ×ｂ的積，再算（ａ×ｂ）乘以ｃ的積，與先算ｂ×ｃ的積，再算ａ乘以（ｂ×ｃ）的積，其結果相同。 • （a×b)×c＝ａ×（b×c）

45. 如何幫助學童理解乘法結合律？ • 一個箱子裝8個盒子，一個盒子裡有6個蘋果，小明買了4箱，問共有幾個蘋果？

46. 先算4箱有幾個盒子： • 記成：8×4＝32，　 • 再算32盒有幾個蘋果， • 記成：6×32＝192，　 • 最後記成併式：6×（8×4）＝192。

47. 先算1箱有幾個蘋果， • 記成：6×8＝48， • 再算4箱有幾個蘋果， • 記成：48×4＝192，　 • 最後記成併式：（6×8）×4＝192。

48. 6×（8×4）＝192。 • （6×8）×4＝192。 • 比較上述兩個併式（記錄了同一個問題的解題活動），功能性瞭解乘法結合律。

49. 學童解乘法問題的策略： • 何謂九九乘法表？ • 何謂十十乘法表？ • 何謂基本乘法事實？ • 為什麼64年課程要求學童背誦九九乘法表？

50. ６４年教材只引入乘法算則這一種特殊的解題策略，而記憶九九乘法表是使用乘法算則解乘法問題時必備的經驗。６４年教材只引入乘法算則這一種特殊的解題策略，而記憶九九乘法表是使用乘法算則解乘法問題時必備的經驗。