Demonstrações do Teorema de Bell

1. Projeto de Conclusão de Curso Demonstrações do Teorema de Bell Rodrigo Rodrigues Machado Orientador: Carlos Eduardo Aguiar

2. Introdução • Teorema de Bell: resultado fundamental para compreensão e interpretação da mecânica quântica. • Pouco discutido em livros-texto. • Este trabalho: revisão de três demonstrações “didáticas” do teorema de Bell com enfoques diferentes, além da demonstração original de Bell. • Demonstrações “didáticas”: • Herbert (AJP, 1975), Kuttner e Rosemblum (TPT, 2010) • d’Espagnat (SciAm, 1979) • Peres (AJP,1978)

3. Concepções realista e não-realista • Posição Realista - medidas apenas nos revelam uma informação desconhecida, porém existente. • Teoria Quântica Faz previsões estatísticas sobre o resultado de uma medida e não sobre algo pré-existente. “Observações não somente perturbam o que está sendo medido, elas o produzem...” Pascual Jordan

4. O paradoxo de EPR • EPR argumentavam que a teoria quântica não era capaz de fornecer uma descrição completa de realidade física. • Elemento de realidade física: Se, sem perturbarmos um sistema, nós pudermos prever com precisão (i.e. com a probabilidade igual a uma unidade) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento de realidade física correspondente a esta quantidade física.

5. O paradoxo de EPR • O experimento pensado de EPR • e • Temos, por meio destas duas quantidades, que e podem ser definidos simultaneamente.

6. O paradoxo de EPR • Podemos preparar o sistema de modo que seu estado seja: | | • Medida de revela • Medida de revela • Como uma perturbação não pode se propagar instantaneamente de 2 para 1, o critério de realidade EPR é satisfeito. • Einstein acreditava que uma teoria completa envolveria variáveis ocultas, numa situação aproximadamente análoga à da Termodinâmica e Mecânica Estatística.

7. O Teorema de Bell • Imaginemos um sistema em repouso e com momento angular zero que em dado instante se divide em duas partículas de spin • Medimos as componentes de spin ao longo das direções e . • Podemos encontrar 2 valores spin para cima e spin para baixo .

8. O Teorema de Bell • Chamaremos de o valor do spin da partícula 1 ao longo da direção e o valor do spin da partícula 2 ao longo da direção - é a variável oculta que determina esses valores. • A localidade está presente no fato de que, devido à separação entre os aparelhos, o valor de não depende de e vice versa. • Podemos construir a média do produto das medições e : , com . • Pela relação , podemos reescrever a fórmula acima.

9. O Teorema de Bell • Podemos utilizar o mesmo raciocínio para outra direção . Subtraindo de . i.e. , pois o produto • O módulo dessa diferença obedece à desigualdade

10. O Teorema de Bell • Como , e 1, a desigualdade acima reduz-se a que pode ser reescrita como . • Assim chegamos a uma desigualdade de Bell • Podemos agora ver o que a mecânica quântica nos diz a respeito da desigualdade de Bell.

11. O Teorema de Bell • O valor médio descrito pela mecânica quântica de para 2 partículas de spin no estado singleto é dado por: Aplicando esse resultado a desigualdade acima nós temos: Se fizermos e perpendiculares entre si e formando um ângulo de 45º com e ,

12. O Teorema de Bell • , mas, • Assim vemos que a desigualdade foi violada. • Como a desigualdade foi violada, a mecânica quântica se mostra incompatível com a teoria de variáveis ocultas locais • Ou o realismo ou a localidade devem ser abandonados.

13. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Herbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010) • Experimento 1 • Podemos esperar uma similaridade nos resultados encontrados por Alice e Bob.

14. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Herbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010) • Experimento 2 Por exemplo, uma discrepância de 5% encontrada para um grande número de medidas

15. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Herbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010) • Experimento 3 • Alice alinha seu polarizador com a vertical enquanto Bob rotaciona de o seu polarizador • A mesma taxa de discrepância, para um grande número de medidas, do experimento 2 é esperada, ou seja, 5%. • Experimento 4

16. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Herbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010) • O que poderíamos esperar sobre as discrepâncias no experimento 4? • Poderíamos esperar uma incompatibilidade de 10% nas medidas. • Mas esta incompatibilidade não leva em conta que um par de fótons que gerou a incompatibilidade no experimento 2 e 3, gere uma concordância no experimento 4, assim se isto ocorrer, a taxa de discrepância tem de ser menor do que 10%. • Pelo fato de não existir direção preferencial de medida, uma rotação de em sentidos opostos deve ser igual a uma única rotação de de um único só polarizador, digamos que Alice faça isso.

17. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Herbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010) • Utilizando as ideias acima podemos escrever uma desigualdade de Bell. • A desigualdade de Bell ficaria então: A taxa de discrepância de uma rotação de é menor ou igual ao dobro da taxa de discrepância da rotação de um único polarizador de um ângulo .

18. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Herbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010) • Utilizando a Lei de Malus: • Por meio da relação acima: • A desigualdade de Bell fica: , para ângulos infinitesimais temos, o que é um resultado absurdo.

19. Outras Demonstrações do Teorema de Bell d’Espagnat (1979) • Nesta demonstração utilizaremos partículas de spin , por exemplo prótons. • Representaremos as componentes de spin de um próton nas direções A, B e C por meio de um diagrama de Venn.

20. Outras Demonstrações do Teorema de Bell d’Espagnat (1979) • , onde essa é a probabilidade do próton ter componentes de spin e . • Através da figura também podemos ver que: e • Somando com temos: • Como uma probabilidade é sempre maior ou igual a zero, temos que:

21. Outras Demonstrações do Teorema de Bell d’Espagnat (1979) • A desigualdade para o par de prótons no estado singleto fica: • O que a mecânica quântica nos diz sobre esta desigualdade? • A probabilidade de uma medida encontrar os spins “para cima” de ambos os prótons na direções e é dada por

22. Outras Demonstrações do Teorema de Bell d’Espagnat (1979) • Denotando as direções A, B e C por , , e respectivamente, a desigualdade fica : • Se, por exemplo, etemos: , que é violada para ângulos pequenos.

23. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Peres (1978) • Suponhamos uma bomba que se divida em 2 partes. No processo ocorre a conservação do momento angular. • Dois observadores medem: e de modo que e só podem assumir os valores .

24. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Peres (1978) • O valor médio de e , para um grande número de medidas, tende a zero. • Podemos calcular a média do produto das medidas . Esta média pode diferir de zero. Se, por exemplo, ,

25. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Peres (1978) • Poderíamos pensar no que teria acontecido caso os observadores tivessem alinhado os seus detectores na direções ’ e ’. Assim, poderíamos construir a seguinte tabela

26. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Peres (1978) • Partiremos da seguinte igualdade: . • O módulo do valor médio desta expressão fica: . • Consideremos duas partículas de spin ½ no estado singleto (), de modo que os observadores medem e . Assim: =

27. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Peres (1978) • Se fizermos , enquanto e formam um ângulo com A desigualdade de Bell fica

28. Outras Demonstrações do Teorema de Bell Peres (1978) • Fazendo Assim vemos que para a desigualdade é violada. • Nesta demonstração fizemos suposições sobre o resultado de experimentos que poderiam ter sido feitos, mas não o foram. Ou seja, partimos da ideia que todas as coisas possuem uma realidade – estejam ou não sendo medidas.

29. Comentários Finais • John Clauser e posteriormente Alain Aspectconfirmaram experimentalmente que a desigualdade de Bell era violada da maneira prevista pela Mecânica Quântica. • Assim, confirmamos que em nosso mundo não podem coexistir Localidade e Realismo.

30. Fim