Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

1. Vortrag über Fraktale Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

2. Inhalt: • Was ist ein Fraktal? • Einige Dimensionsbegriffe • Iterierte Funktionensysteme • L-Systeme • Strange Attractors • Julia-Mengen • Die Mandelbrotmenge Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

3. 1 – Was ist ein Fraktal? Benoit Mandelbrot: Ein fragmentiertes geometrisches Gebilde, das in Teile zerlegt werden kann, die (nahezu) eine kleine Kopie des ganzen Gebildes sind. Oder: Eine Menge von Punkten heißt Fraktal, wenn ihre fraktale Dimension ihre topologische übertrifft. Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

4. 1 – Was ist ein Fraktal? Mathematischere Formulierung der Idee von Mandelbrot: Ein Fraktal ist Attraktor eines iterierten Funktionensystems (IFS). Beispiel: Sierpinski-Dreieck zeichnen Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

5. 2 – Dimensionsbegriffe 2.1 Minkowski-Dimension 2.2 Box-Dimension 2.3 Hausdorff-Dimension 2.4 Packing-Dimension 2.5 Selbstähnlichkeitsdimension Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

6. 2 – Dimensionsbegriffe – Minkowski-Dimension • Vorteile: • leicht anschaulich zu verstehen • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs • Nachteile: • Nicht immer eindeutige Dimensionszuweisung • Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

7. 2 – Dimensionsbegriffe – Box-Dimension • Vorteile: • leicht anschaulich zu verstehen • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs • Nachteile: • Keine eindeutige Dimensionszuweisung • Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

8. 2 – Dimensionsbegriffe – Hausdorff-Dimension • Vorteile: • Eindeutige Dimensionszuweisung • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs • Abzählbare Stabilitätseigenschaft • Nachteile: • I.A. sehr schwer zu berechnen • Bemerkung: Es gilt Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

9. 2 – Dimensionsbegriffe – Packing-Dimension • Vorteile: • Eindeutige Dimensionszuweisung • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs • Abzählbare Stabilitätseigenschaft • Nachteile: • I.A. sehr schwer zu berechnen • Bemerkung: Es gilt • Weiterhin: Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

10. 2 – Dimensionsbegriffe – Selbstähnlichkeitsdimension • Vorteile: • Eindeutige Dimensionszuweisung • Verallgemeinerter normaler Dimensionsbegriff • Einfachste Berechnung • Nachteile: • I.A. keine sehr große Aussagekraft Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

11. 3 – Iterierte Funktionensysteme • Satz: Zu jedem IFS existiert genau ein nicht-leerer kompakter Attraktor. • Dieser lässt sich sich durch folgende Algorithmen zeichnen: • Der Mehrfachverkleinerungskopiermaschine • Das Chaos Game Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

12. 3 – Iterierte Funktionensysteme • Die Mehrfachverkleinerungskopiermaschine: • Man starte mit beliebiger nicht-leerer Teilmenge V(0) • . • Bei hinreichender Genauigkeit stoppe man. • Nachteile: • - Nahezu nur rekursiv vernünftig programmierbar Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

13. 3 – Iterierte Funktionensysteme • Das Chaos-Game: • Man starte mit beliebigem Punkt • Man wähle unter den Zahlen 1,..,n unter Gleichverteilung unabhängig von den bisherigen Wahlen eine Zahl aus. • Man setze und zeichne: • Man stoppe bei vorher festgelegter Schranke • Bemerkungen: • Man sollte erst ab einer Schranke anfangen zu zeichnen • Anstelle der Gleichverteilung kann man irgendeine Verteilung nehmen, die allerdings die ganze Menge als Träger haben muss Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

14. 3 – Iterierte Funktionensysteme • Fazit: • Attraktoren von IFS sind fraktale Strukturen, deren Informationen sämtlich in den Funktionen gespeichert sind • Bemerkung: • Erfüllt das IFS die offene Menge Bedingung, dann gilt für den Attraktor C des IFS und für die Ähnlichkeitsdimension s: s = dim C. Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

15. 4 – L-Systeme • L-Systeme bestehen aus einem Urahn und Axiomen, was sich aus diesen im nächsten Zeitschritt entwickelt (siehe etwa die MVKM). • Beispiel (Cantorsche Menge): • Reduktion der Information auf Urahn und Axiome. • Baumstruktur  Baumfraktale • Möglichkeit der stochastischen Auswahl der angewandten Vererbungsregeln • Möglichkeit der sukzessiven Erschaffung von komplexen Gebilden: (Büschen, Landschaften) Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

16. 5 – Strange Attractors • Versuch einer Definition: • Eine beschränkte Menge A ist ein chaotischer und seltsamer Attraktor der Transformation T, wenn eine Menge R mit den folgenden Eigenschaften existiert: • R ist eine Umgebung von A. R ist ein Gefangenenbereich. A ist in R attraktiv. • Bahnen in R hängen sensitiv von den Daten ab • A hat eine fraktale Struktur • A kann nicht in zwei verschiedene Attraktoren aufgespalten werden, d.h. es gibt Anfangspunkte aus R, deren Bahnen jedem Punkt von A beliebig nahe kommen. • Probleme: • Definition kaum beweisbar für spezielle Strukturen Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

17. 5 – Strange Attractors • Beispiele für diskretes Erzeugungsgesetz: • Newton-Approximation der Nullstellen im Komplexen von • Henon-Attraktor Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

18. 5 – Strange Attractors • Beispiel für stetiges Erzeugungsgesetz: • Lorenz-Attraktor: Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

19. 6 – Julia Mengen Definition: Eine Julia-Menge J im weiteren Sinne zu einer Funktion Ist definiert durch: Definition: Eine Julia-Menge J(c) ist eine Julia-Menge i.w.S. für: Man kann zeigen, dass es bei Julia-Mengen genügt zu zeigen, dass gilt: Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

20. 6 – Julia Mengen • Julia-Mengen sind entweder zusammenhängend oder Punktwolken • Möglichkeit der schrittweisen Einkreisung der Gefangenenmenge • Auch den Rand der Gefangenenmenge nennt man Julia-Menge • Die Invertierung von f liefert für den Rand oft ein IFS, so dass der Attraktor des IFS eben die Julia-Menge darstellt • Ist 0 in der Gefangenenmenge der Julia-Menge, dann ist J zusammenhängend Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

21. 7 – Die Mandelbrotmenge • Definition: Mandelbrotmenge M • Man kann die Mandelbrotmenge als Inhaltsverzeichnis sehen, d.h. die Struktur der zugehörigen Juliamenge wird im gewissen Maße induziert von der Lage des Punktes in der Mandelbrotmenge • Man kann Mandelbrotmengen natürlich im weiteren Sinne für andere f in Abhängigkeit von einem komplexen Parameter c definieren. Starte Fractint Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

22. Quellen • An introduction to fractals, Paul Bourke, 1991, http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro • Fractal Geometry, Paul Mörters, Basierend auf Vorlesung WS 2000/2001, http://www.mathematik.uni-kl.de/~peter/fract.ps • Bausteine des Chaos: Fraktale, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1992 • Chaos: Bausteine der Ordnung, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1994 Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan