1 / 35

Chapter 5 隨機變數 Part I

Chapter 5 隨機變數 Part I. 隨機變數. 5-1 隨機變數的定義 5-2 累積分布函數 5-3 隨機變數的分類 5-4 期望值與變異數 5-5 常用離散機率分布 5-6 常用連續機率分布 5-7 二項分布的常態近似. 5-1 隨機變數的定義. 樣本空間之樣本點可能是 數值 ，亦可能為 質的敘述 ( 質化 ) ，例如 S={ 良品、不良品 } 。

fauna
Télécharger la présentation

Chapter 5 隨機變數 Part I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Chapter 5 隨機變數 Part I

  2. 隨機變數 • 5-1 隨機變數的定義 • 5-2 累積分布函數 • 5-3 隨機變數的分類 • 5-4 期望值與變異數 • 5-5 常用離散機率分布 • 5-6 常用連續機率分布 • 5-7 二項分布的常態近似

  3. 5-1 隨機變數的定義 • 樣本空間之樣本點可能是數值，亦可能為質的敘述(質化)，例如S={良品、不良品}。 • 通常對一個試驗，所關切的不是樣本點的敘述，而是一個出象的數值意義，例如三個產品的結果，若以A代表良品，B代表不良品，則樣本空間為{AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA}。 • 故必須透過某種函數將原有樣本空間對應到不良品數{0,1,2,3}，這種函數即稱為隨機變數(random variable)。

  4. 5-1 5-1 隨機變數的定義 • 設 S 為隨機試驗的樣本空間。對於每一個樣本點 s  S 皆對應一個實數 X(s) 的函數 X，稱為隨機變數。所有隨機變數 X 可能對應數值的集合，稱為值域(range space)。以符號 Rx表示。

  5. Ex. 1 • 檢驗三種產品的結果可表成 S={AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA} 若隨機變數X代表不良品個數，則 X(AAA)=0 X(ABA)=X(BAA)=X(AAB)=1 X(ABB)=X(BAB)=X(BBA)=2 X(BBB)=3 Rx={0,1,2,3}

  6. Ex. 2 • 若原有的樣本空間S以具有所要的數值時，可取X(s)=s。例如投擲一骰子一次所得的樣本空間為S={1,2,3,4,5,6}，若只關心點數是多少，則取X(1)=1, X(2)=2, …, X(6)=6等。但若關心點數呈現奇數或偶數時，則可先以0代表奇數，1代表偶數，再定義隨機變數X X(1)=X(3)=X(5)=0 X(2)=X(4)=X(6)=1 如何利用隨機變數，從原來樣本空間引出所需要訊息

  7. 5-2 5-1 隨機變數的定義 • 設 B 為 Rx 中的一個事件，若 A = { s  S | X(s)  B } 則定義事件 B的機率 P (B) 為 P (A)。

  8. Ex. 3 • 在Ex.1中，樣本空間S裡的出象皆具有相同機率，即 P(AAA)=P(AAB)=P(ABA)=P(ABB) =P(BAA)=P(BAB)=P(BBA)=P(BBB)=1/8 Rx中事件{X=1}的機率，由定義，為 P(X=1)=P({ABA,BAA,AAB)}=3/8 而P(X=0)=P(AAA)=1/8 P(X=2)=P({ABB,BAB,BBA})=3/8 P(X=3)=P(BBB)=1/8

  9. 5-3 5-2 累積分布函數 • 為了便於描述隨機變數之機率特性，定義隨機變數之累積分布函數(Cumulative distribution function) • 設 X 為隨機變數，對於任意實數 x，函數 F (x) = P (X x) 稱為 X 的累積分布函數。常簡寫成 c. d. f。

  10. Ex. 4 • 在Ex. 3中，隨機變數X之累積分布函數為： 1 7/8 4/8 1/8 x 1 2 3

  11. 5-2 累積分布函數 • 由Ex. 4，可了解累積分布函數具備下面特性 (1) 0  F(x)  1。 (2) F 為單調非遞減函數，即若 x1 < x2，則 F (x1) F (x2)。 (3) (4)對於每一個 x，F (x) 為右邊連續(continuous to the right)。且當 x = a，函數 F 具有跳距(jump)時，P (X = a) = F (a)  F(a) > 0，其中 F (a) 為 F 在 x = a 的左極限。 又當 F 在 x = a 為連續時，P (X = a) = 0。

  12. 5-2 累積分布函數 (5)若 x1 < x2，則(a, b為單點機率)

  13. 5-3 隨機變數的分類 • 依據累積分布函數之第四個特性：若F在x=a為連續，則P(X=a)=0，若F在x=a不連續，則P(X=a)>0，可將隨機變數區分為離散(discrete random variable)與連續隨機變數(continuous random variable)兩大類。 • 機率函數 p(x) 具有下列特性 (1)對於所有實數 x，0  p (x)。 (2)。

  14. Ex. 5 • 心理學家以某種動作以檢視猴子是否有所反應，假設每次試驗猴子有反應的機率為1/3，若試驗一直進行到猴子第一次有反應為止。以S表示有反應，F表示沒有反應，則樣本空間S為：{S, FS, FFS, FFFS,…} 若令隨隨機變數為猴子第一次有反應為止的試驗次數，則可得X的機率函數如下： 其一般式為 亦可利用機率函數計算之，例如： P(X≥3)=1-P(X<3)=1-(1/3+2/9)=4/9 P(2≤X≤4)=p(2)+p(3)+p(4)=2/9+4/27+8/81/=38/81

  15. Ex. 6 試問當c為何值時，下述函數 方可代表一個機率函數。 解：為使p(k)≥0，c必須為正數 又 故c=1/2

  16. 機率密度函數 • 若X為連續隨機變數，則每一數值發生機率為0。因此無法像離散隨機變數可定義一個代表機率的函數。但是可以定義一個機率密度函數(probability density function, p.d.f)，使得在曲線f下，介於任意值a、b間面積可代表機率值P(a≤X≤b}，亦即 P(a≤X≤b}

  17. 機率密度函數 因此可以得到P(X=0)=0的結論，因為 因此 由於F(x)=P(X≤x)，累積分布函數與機率密度函數的關係為： 因對 F可微分的所有x點， 又因為F(x)為一非遞減函數， 故機率密度函數特性：

  18. Ex. 7 若函數 解：(1) 若f為一機率密度函數，則

  19. Ex. 7 (2) 當0≤x≤3時，

  20. Ex. 8 若隨機變數之累積分布函數為 • 試求X的機率密度函數 • 試求P(X>3)

  21. Ex. 8 answer 解： f(x) x

  22. Ex. 9 已知電唱機唱針壽命X的機率密度函數為： • 試問唱針至少可使用150小時的機率為何？ • 若已知唱針已使用150小時，試問唱針在200小時內損壞的機率是多少？(條件機率)

  23. Ex. 9 answer

  24. 5-5 5-4 期望值與變異數 • 機率函數、機率密度函數、及累積分布函數可說包含隨機變數所有特性。但在許多情況下，只需要幾個適切數值已表示其特性就夠了。最常使用的兩個數值即為機率分布的期望值與變異數。 • 設 X 為一離散隨機變數，其可能值為x1, x2,……，則稱 為 X 的期望值(expectation, expected value)或平均數(mean)。

  25. 5-4 期望值與變異數 設 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 f (x)，則稱 為 X 的期望值。通常 E (X) 也以符號 表示。

  26. Ex. 10 投擲一公正骰子，設隨機變數X代表出現點數，則 p(1)=p(2)=…=p(6)=1/6 因此 E(X)=11/6+21/6+…61/6=3.5 此處E(X)=3.5並不是X的可能值，而期待表示當試驗重複很多次後，所得到的點數x1, x2, …,xn之平均值。

  27. Ex. 11 剛滿44歲的李先生，向某壽險公司購買一年期金額為25,000元保單，而李先生在其初時需付保費100元給壽險公司，由生命表中可查知一個44歲的人可生存至45歲的機率為0.99681。若設隨機變數X為壽險公司在此次交易中的利潤。則S={100,-24900} p(100)=0.99681，p(-24900)=0.00319 因此 E(X)=(100)(0.99681)+(-24900)(0.00319) = 20.25 注意：μ=20.25元並不是壽險公司在此次交易的利潤，而是表示當一群年紀與身體狀況與李先生一般的人投保時，壽險公司在這些交易上平均每張保單上可獲得20.25元利益。

  28. Ex. 12 設隨機變數X為某種電子零件的壽命(以小時計算)，其機率密度函數為： 經常當在已知隨機變數X的機率分布時，卻希望預測到另一個隨機變數g(X)的期望值。例如：若X代表某公司產品每個月的銷售量，而Y=g(X)為銷售量函數，表示每個月利潤，因此常需計算隨機變數g(X)之期望值。

  29. 5-1 5-4 期望值與變異數 • 若 X 為一離散隨機變數，其機率函數為 p(x)，則對於任意函數 g(X)， • 若 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 f (x)，則對於任意函數 g(x)，

  30. Ex. 13 設隨機變數X的機率函數為 解：

  31. Ex. 14 設隨機變數X的機率密度函數為 解：

  32. 5-2 5-6 5-4 期望值與變異數 • 設 X 為隨機變數，a、b 為實數，則 (1) E (aX + b) = aE(X) + b (2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X)) • 設隨機變數 X 的期望值為 ，則 稱為 X 的變異數。變異數也可用 2，V(X)表示。

  33. 定理5-3

  34. Ex. 15 設X為某產品每天銷售量，其機率函數為 試求V(X) 及標準差σ 解： E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.2)+3(0.3)+4(0.2)+5(0.1)=2.7

  35. Ex. 16 設隨機變數X的機率密度函數為 解：

More Related