UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I

1. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I DINAMICA DE UNCUERPO RIGIDO AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 OptacianoVasquez

2. I. OBJETIVOS Al finalizar este capítulo el estudiante será capaz de: • Aplicar métodos para calcular momentos de inercia de cuerpos rígidos • Formular las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido • Aplicar las ecuaciones de movimiento para estudiar el movimiento de traslación de un CR, la rotación de un CR alrededor de un eje fijo y el movimiento plano de un CR

3. II. INTRODUCCIÓN • Un cuerpo rígido es aquel cuerpo en el cual la distancia entre dos puntos pertenecientes a él no cambian cuando éste se le somete a fuerzas y momentos. • En esta sección nos dedicaremos a estudiar la cinética del movimiento de un cuerpo rígido

4. II. CLASES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO • TRASLACIÓN. Cuando todas las partículas describen líneas rectas paralelas (traslación rectilínea) o líneas curvas (traslación curvilínea)

5. II. CLASES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO • ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO. Aquel movimiento en el cual todas las partículas, excepto aquellas ubicadas sobre el eje de rotación describen trayectorias circulares en planos perpendiculares al eje de rotación

6. II. CLASES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO • MOVIMIENTO PLANO. Aquel movimiento en el cual existe una traslación acompañada de una rotación. La traslación ocurre en un plano y la rotación alrededor de un eje

7. III. TRASLACIÓN • Cualquier línea recta dentro de un cuerpo permanece constante cuando se mueve el CR. • Para cualquier par de partículas dentro del CR se cumple • Derivando respecto del tiempo • La aceleración será

8. El vector velocidadestangente a la trayectoria y sumagnitudes • Los mismosresultados se obtienen de ROTACIÓN ALDEREDOR DE UN EJE FIJO • Considere la rotación del CR alrededor de un ejefijo

9. La aceleración de P es la combinación de dos vectores ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: Aceleración • La aceleración se obtienederivando la velocidadrespecto del tiempo

10. La velocidad de cualquierpunto P de la placaes • La aceleración de cualquierpunto P es, • Las componentes normal y tangencial son ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: Movimiento Plano • Considere el movimiento de unaplacaeen el plano perpendicular al eje

11. El desplazamiento de lasaprtículas A y B a A2y B2puede ser dividida en dos partes: • Traslación a A2and • Rotación de alrededor de A2a B2 MOVIMIENTO PLANO GENERAL • Este movimientoestácompuestoporunatraslaciónmasunarotación • Puede ser consideradocomo la suma de la traslaciónmásunarotación

12. VELOCIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA EN UN MOVIMIENTO PLANO • Cualquiermovimientoplanopuede ser remplazadoporunatraslación de un punto de referncia A y unarotaciónsimultáneaalredeor de A

13. Todaslaspartículas de unaplaca con movimientoplanopueden ser remplazadaspor la traslación de cualquierpuntoarbitrario A y unarotaciónalrededor de A con unavelocidad angular queesindependiente del puntoelegido • Las mismasvelcoidades de traslación y rotación en A pueden ser obtenidashaciendorotar a la lamina alrededor de C sobre la perpendicular a la velocidad de C CENTRO INSTANTÁNEO EN UN MOVIMIENTO PLANO • Las velocidades de lasdemáspartículas de la lámina son lasmismasquelasdefinidasoriginalmente • Porconsiguiente, en lo que se refiere a lasvelocidades de la placaparecerotaralrededor del centroinstantáneo C en el instanteconsiderado

14. Si lasvelocidades de dos puntos A y B son conocidos, el centroinstantáneo de rotación se ubica en la intersección de lasperpendiculares a los vectoresvelocidad de A y B • Si los vectoresvelocidad de A y B son perpendiculares a la linea AB, el centroinstantaneo de rotación se ubica en la intersección en la línea AB con la lineaobtenida al unir los extremos de lasvelocidades de A y B CENTRO INSTANTÁNEO EN UN MOVIMIENTO PLANO • Si los vectoresvelocidad son paralelos, el centroinstantáneo de rotación se encuentra en el infinito y la velcoidad angular esnula • Si las magnitudes de lasvelcoidades son iguales, el centroinstantáneeestá en el infinito y la velcoidad angular es cero

15. Ejemplo • El doble engranaje de la figura rueda sobre la cremallera inferior que se encuentra. La velocidad de su centro A es de 1,2 m/s, dirigida hacia la derecha. Determine: (a) la velocidad angular de la rueda dentada, (b) las velocidades de la cremallera superior R y del punto D del engranaje

16. Entonces el punto A describe unacircunferencia con centro en C . Su velocidad angular será • De igual forma se dice que los puntos de la ruedagiran con centroinstatnátneo en C SOLUCIÓN • Del dibujo se observaque el centroinstantáneo C tienevelocidadnula.

17. Aceleraciónabsoluta de unapartícula de la placa, • La aceleraciónrelativaasociada con la rotaciónalrededor de A incluyelascomponentestangencial y normal Aceleraciónabsoluta y relativa en movimientoplano

18. Momentum angular de un CR • La partícula Ai, describe una circunferencia de radio AiBicon una velocidad. • Su módulo será • El momento angular de la partícula Ai con respecto a O será • Su dirección es perpendicular al plano de riy viy esta situado en el plano definido por ri y el eje Z

19. Momentum angular de un CR • La magnitud del momento angular será • La componente paralela al eje Z • La componente del momento angular total alrededor del eje Z es • El término en paréntesis se le denomina momento de inercia (I)

20. Momentum angular de un CR • El momento de inercia será • El momento angular alrededor del eje z en función del momento inercia • El momento angular total será Este momento no tiene necesarimante que ser paralelo al eje de rotación

21. Momentum angular de un CR • Sin embargo, para cualquier cuerpo sin importar su forma existen tres ejees mutuamente perpendiculares para los cuales el momento angular coincide con el eje de rotación • A estos ejes se le llama ejes principales de inercia y sus momentos se llam momentos principales de inercia • Cuando un cuerpo rota alrededor de un eje principal de inercia, el momento angular se escribe

22. Momentum angular de un CR • Hemos visto que, en un sistema de partículas, la relación entre el momento angular total y el momento de las fuerzas aplicadas es: • Esta ecuacipin es la ecuacipon fundamental de la dinámica de rotación. • Si el cuerpo gira alrededor de un eje principal de inercia se tiene

23. EQUATIONS OF TRANSLATIONAL MOTION • Nuestroestudioestálimitado a la cineticaplana de cuerposrígidosque son simétricos con respecto a un plano de referencia • Cuando un cuerpotienemovimientoplano, este se consideracomo la superposición de un movimiento de traslaciónmasunarotación. • Primero se establece un sistema de referencia con suorigen en un puntoarbitrario P. Los ejes x e y no rotan y pueden ser fijos o moverse a velocidadconstante

24. •En otraspalabras “la lasuma de todaslasfuerzasactuandosobre el cuerpoesigual al producto de la masa de cuerpopor la aceleración de sucentro de masa. = ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN • • Si un cuerpopresentamoviento de traslación, la ecuación de movimientoesF = m aGpuedenescribirseescalarmente • Fx = m(aG)x and  Fy = m(aG)y

25. = Ecuaciones de movimiento de rotación Necesitamosdeterminar el efectocusadoporlasfuerzasexternas del sistema. El momentorespecto a P se escribe  (riFi)+ Mi=rGmaG+IG  Mp= ( Mk)p donde Mpes el momentoresultantealredeor de P debido a lasfuerzasexternas y el término(Mk)pse le llama momentocinéticoalredeor de P

26. Ecuaciones de movimiento de rotación Si el punto P coincide con el centro de masa G, estasecuaciones se escriben MG= IG . Es decir, el momentoresultantealrededro del centro de masaalredor del centro de masadebido a lasfuerzasexternasesigual al momento de inerciaalrededor de G por la aceleración angular de cuerpo. Así, para un movimientoplanopuedenutilizarselasecuacionesecalares  Fx= m(aG)x  Fy= m(aG)y  MG= IG o  Mp =  (Mk)p

27. Ecuaciones de movimiento: TraslaciónPura • Fx= m(aG)x •  Fy= m(aG)y •  MG= 0 Cuando eel cuerporígidoexperimentasolamente un movimeinto de traslación, todaslaspartículas del cuerpotienen la mismaaceleracióntalqueaG= a y a= 0. Las ecuaciones de movimiento se escribe: Debeobservarseque la ecuación de momentospuedeaplicarse a otropuntocomoporejemplo A, en estecasodebeconsiderarse el momento de maG MA= (m aG) d .

28. Ecuaciones de movimiento de traslacióncurvilinea Si el cuerpoessometido a unatraslacióncurvilíne, esmejorutiliarcordenadas normal y tangencial. Entonceslasecuaciones de movimiento se escriben • Fn = m(aG)n •  Ft = m(aG)t •  MG= 0 or •  MB= e[m(aG)t] – h[m(aG)n]

29. Ejemplo o1 • Un bloque uniforme de 50 kg descansa sobre una superficie horizontal para la cual el coeficiente de ficción es k = 0,20. Si se aplica al bloque una fuerza P = 600 Ncoo se indica en la figura . Determine la velocidad del bloque después de que se ha movido 3 m. Suponga que incialmente el bloque estaba en reposo

30. Nc = 490 N x = 0.467 m aG = 10.0 m/s2  Solución En la figura se muestra el DCL del cuerporígido con el sistema de referencia. Las fuerzasqueactúan son au peso W, la reaccón normal actuando NC en O y la fuerza de fricción Aplicandolasecuaciones de movimiento:  Fx= m(aG)x: 600 – 0.2 Nc = 50 aG  Fy= m(aG)y: Nc – 490.5 = 0  MG= 0: -600(0.3) + Nc(x)-0.2 Nc (0.5) = 0

31. Continua la solución del ejemplo 01 Debido a quex = 0.467 m < 0.5 m, la cajadeslizacomo lo hemosasumido Si x > 0,5 el problematienequevolver a resolverse con la hipótesis de hay volcamineto Debido a que la aceleración es constante la velocidad después de que l bloque recorre 3 m será

32. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Cuando un cuerporotaalrededro de un ejefijo perpendicular al plano del cuerpo pr ejemplo el punto A el centro de gravedaddescriveunacircunferencia de radio rG. La aceleración de G se descompone en componetestangencial(aG)t = rGa y normal (aG)n = rGw2. Debido a que el cuerpotieneunaaceleración angular, suinerciacrea un momento de magnitudIGaigual al momento de lasfuerzasexternasalrededor de G. Las ecuacionesecalares son  Fn = m (aG)n = m rGw2  Ft = m (aG)t = m rGa  MG = IG a

33. ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJ FIJO Note que la ecución de momentosMGpuede ser rempalzadaporunasuma de momentosalrededor de un puntoarbitrario. MO = IGa + rGm (aG) t = (IG + m (rG)2 ) a Usando el teorema de los ejesparalelos, el término entre paréntesisesigual al momento d inerciarespecto de O, IO = IG + m(rG)2,. Entonces la ecuacionesescalares se escriben Fn = m (aG) n = m rGw2 Ft = m (aG) t = m rGa MO = IO a

34. Ejemplo • Una barra de 50 kg de masa se encuentra girando con una velocidad angular  = 5 rad/ s cuando se le aplica un momento externo M = 60 N.m como se muestra en la figura. Encuentre la aceleración angular y la reacción en el pasador O cuando la barra se encuentra en posición horizontal

35. Las ecuaciones de mov son: + Fn = man = mrGw2 On = 20(1.5)(5)2 = 750 N + Ft = mat = mrGa -Ot + 20(9.81) = 20(1.5)a + MO = IG a + m rGa (rG) Solución Solution: Diagrama de cuerpolibre UsandoIG = (ml2)/12 y rG = (0.5)(l), escribimos: MO = a[(ml2/12) + (ml2/4)] = (ml2/3)a where (ml2/3) = IO. Después de remplazar: 60 + 20(9.81)(1.5) = 20(32/3)a resolviendo:a = 5.9 rad/s2 Ot = 19 N

36. ECUACIONES DE MOVIMINETO PARA UN MOVIMIENTO PLANO GENERAL Usandolascordenadsasinerciales x-y, lasecuacionesalrededor del centro de msa se escriben  Fx = m (aG)x  Fy = m (aG)y  MG = IG a P Cuando el cuerpo se encuentrasometido a fuerzas y momentos, el cuerpopuedeexperimentar un movimento de traslaciónmas un movimiento de rotación. Es decirexperimenta un movimientoplano

37. P ECUACIONES DE MOVIMENTO PLANO A vecesesmasconvenienteescribirlasecuaciones de momentosalrededor de un puntoporejemplo P. Entonceslasecuaciones de moimiento se escriben  Fx = m (aG)x  Fy = m (aG)y  MP =  (Mk)P En estecaso,  (Mk )Prepresenta la suma de momentos de IGay maGalredeodr de P

38. PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CON FRICCIÓN En algunosproblemas de movimiento de cilindros, discos, etc a veces no se conocesisumovimientoes con rodadurapura o con rodadura y deslizamiento. Consideremosporejemplo el movimiento de un disco sometido a la fuerza P desconocida Las ecuaciones de movimientoserán  Fx = m(aG)x => P - F = maG  Fy = m(aG)y => N - mg = 0  MG = IGa => F r = IGa hay 4 cantidades no conocidas(F, N, a, andaG) en estasecuaciones.