Aula 9

1. Aula 9 análise das equações de conservação

2. sistema físico • modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão La transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = hs + hb: profundidade do escoamento hs : espessura da camada de transporte em suspensão hb : espessura da camada de transporte por arrastamento La : espessura da camada de mistura Yb : cota do fundo

3. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura equações de fecho: variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : concentração de sedimentos : velocidade média do escoamento : declive da linha de energia : cota do fundo

4. C x análise das equações • motivação considere-se a equação de advecção pura de uma grandeza C: (A) seja, para simplificar o cálculo,  e G constantes. em particular, seja: considere-se o problema de valores iniciais e de fronteira representado por (A) e pelas condições de fronteira e iniciais: comportamento esperado:

5. n+1 n i i+1 i1 análise das equações • motivação discretize-se a derivada espacial por diferenças “upwind” e a derivada temporal por diferenças de 1ª ordem: discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico considerando

6. n+1 n i i+1 i1 análise das equações • motivação discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico

7. n+1 n i i+1 i1 análise das equações • motivação análise: note-se que a derivada material de uma grandeza C se escreve, num referencial Eulereano: comparando com a equação (A) conclui-se que i.e.,  tem o significado físico de uma velocidade de propagação conclusão: existe uma velocidade física para a propagação de informação relativa a um fenómeno essencialmente advectivo e, também, uma velocidade numérica de propagação; num modelo numérico, terão que ser compatíveis!

8. n+1 n i i+1 i1 análise das equações • motivação direcção de propagação física: jusante para montante direcção de propagação numérica: montante para jusante se se colocar a condição de fronteira na secção correcta (jusante) e se discretizar o termo equação convectivo da equação (A) por diferenças finitas de 1ª ordem “downwind” obtém-se

9. análise das equações • objectivos da análise matemática dos modelos de transporte de sedimentos - determinar as velocidades (magnitude e sentido) de propagação de informação inerentes ao modelo conceptual - determinar a natureza da informação propagada • aplicações - determinação do número e natureza das condições de fronteira e iniciais - escolha dos esquemas numéricos em face da correcta propagação da informação no domínio de cálculo

10. t P t P x x análise das equações • exemplo, modelo #5 conservação da massa de sedimentos velocidade de propagação termos de fonte forma canónica não-conservativa de uma pde (equação diferencial parcial) derivada temporal gradiente velocidade de propagação: (perturbações na cota do fundo) grandeza transportada:

11. t J M I x análise das equações • exemplo, modelo #5 condições no contorno: t x 1 condição de fronteira a montante 1 condição inicial 1 condição de fronteira a jusante 1 condição inicial

12. análise das equações • problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem forma canónica não-conservativa de um sistema de n pdes V: vector das variáveis dependentes primitivas G: vector dos termos de fonte (irrelevante para as velocidades de propagação) A e B : por analogia com a equação diferencial única do exemplo anterior, as matrizes A e B dão conta das direcções e velocidades de propagação de informação física quanto à determinação das velocidades de propagação, os conceitos fundamentais são: linearidade/não linearidade hiperbolicidade

13. análise das equações • problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem linearidade/não linearidade os sistemas de equações de conservação associados a processos fluviais são sistemas de pdes de 1ª ordem quasi-lineares, i.e., as matrizes A e B são função das variáveis dependentes primitivas mas não das suas derivadas. exemplo:

14. análise das equações • hiperbolicidade do sistema (ver acetato para a noção de fase, velocidades de fase = características do sistema) definição: . o sistema é hiperbólico se tiver n direcções de propagação independentes . o sistema é hiperbólico se o polinómio característico (ex: ) tiver n raízes reais distintas . o sistema é hiperbólico se a matriz A-1B admitir n vectores próprios independentes nota: as características do sistema permitem conhecer a velocidade e a direcção de propagação da informação no domínio; falta conhecer as grandezas efectivamente propagadas!

15. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant forma conservativa forma não-conservativa (TPC) polinómio característico

16. t t P P x x escoamento lento escoamento rápido análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant características do sistema: propagação da informação para jusante (cheias) propagação da informação para montante ou jusante (efeitos de regolfo)

17. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant que informação é propagada ao longo das linhas características? ou... pode um sistema ser escrito na forma ? variáveis características: informação propagada ao longo das linhas características sim, pode, desde que, sendo S uma matriz de mudança de base, seja possível proceder à transformação nesse caso com

18. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant a matriz de mudança de base é, por definição composta pelos vectores próprios de M. em rigor, as linhas de S são os vectores próprios esquerdos de M. para as equações de Saint-Venant, B = M e os vectores próprios são:

19. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant

20. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant informação propagada ao longo de informação propagada ao longo de

21. t P x análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant ao longo de ao longo de exemplo: escoamento lento

22. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura o polinómio característico, , é . tem três raízes reais distintas (três vectores próprios independentes). é portanto um sistema hiperbólico!

23. análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média linhas características, comparação com as equações de Saint-Venant para água limpa concentrações calculadas por: linha vermelha ( ) fórmula de Meyer-Peter & Muller; linha azul ( ) fórmula de Bagnold. notas: - (1) é, fundamentalmente, idêntica à água limpa; - (2) e (3) são afectadas pelo transporte de sedimentos; - se Fr < 0.7 o sistema exibe duas escalas distintas.

24. t t P P x análise das equações • hiperbolicidade do sistema exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média aspecto das linhas características (notar que as características não mudam de sinal com Fr... como se define o regime crítico?) Fr > 1.0 Fr < 0.7 x

25. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões separação de escalas: se Fr < 0.7, (2) é aproximadamente igual a e (3) é aproximadamente igual a s (justifica o modelo #5) massa total massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura

26. t t x x análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação. resolução desacoplada (I) do sistema de equações porque - propagação na fase líquida resolvida como uma sucessão de regimes permanentes; velocidades de propagação l(1) e l(2) infinitas (l(2) determina o sinal, consoante o número de Froude); - num dado Dt, a equação da fase líquida é resolvida antes da equação relativa à evolução morfológica (problemas: ver acetatos). P P

27. t x análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação. resolução desacoplada (II) do sistema de equações porque - num dado Dt, as equações (dinâmicas completas, ie. com termos de inércia local) da fase líquida são resolvidas antes das equações relativas à conservação da massa de sedimentos e do leito (problemas: ver acetatos). - localmente: M

28. t M J I x análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio: jusante: curva de vazão (Fr < 1) ou evolução temporal da cota do fundo (Fr > 1) CFM 1 CFM 2 montante: hidrograma de caudais sólidos e líquidos ou hidrograma de caudais sólidos e alturas do escoamento CFJ CIs iniciais: h, u e Yb

29. t I x análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio: montante: notar que a variável dependente é a cota do fundo, Yb, mas a condição de fronteira relativa a ls = l(2) é expressa em termos de Qs. há que converter, na vizinhança da fronteira, o caudal sólido em equilíbrio em cotas do fundo; M J CFM 1 CFM 2 CFJ em modelos desacoplados este procedimento pode levar ao mau-condicionamento do problema (oscilações que crescem a partir da fronteira). CIs

30. P J M t CFJ CFM 1 CFM 2 x análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em desequilíbrio (Cb é variável dependente): notas: i) Qs é facilmente introduzido na equação de conservação da massa de sedimentos na camada de transporte; ii) não se pode prescrever a cota do fundo nas fronteiras sob pena de provocar o mau condicionamento do problema. I CIs

31. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões condições iniciais e de fronteira: - em geral, o número de condições independentes a especificar numa dada superfície de contorno é igual ao número de linhas características que “entram” por essa superfíce; - simbolicamente: em que C(k) é a expressão vectorial da linha caracterísitca cuja velocidade de fase é l(k).

32. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões problemas descontínuos, soluções fracas. forma conservativa: forma não-conservativa: com: o aparecimento de soluções descontínuas é inevitável!

33. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões problemas descontínuos, soluções fracas. t1+dt U+ caminho do choque dt U- t1 x1 x1+dx dx

34. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões soluções fracas – solução descontínua num número contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. teorema de Lax (1957): se i) o sistema de equações é estritamente hiperbólico, se os fluxos são funções contínuas e diferenciáveis e iii) se a amplitude da descontinuidade inicial é finita, então a solução do problema de Riemann consiste em n ondas (choques ou ondas de expansão), em que n é a dimensão da matriz jacobiana do sistema, mediados por n+1 estados constantes.

35. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. onda de expansão associada a l- t através do choque - condições de Rankine-Hugoniot: choque associado a l+ x através da onda de expansão – quasi-invariantes de Riemann:

36. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. solução para a onda de expansão: solução para o estado constante e para o choque: incógnitas: h*, u* e S

37. análise das equações • estudo da hiperbolicidade; conclusões soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.