3. Fonones: Vibraciones Cristalinas

1. 3. Fonones: Vibraciones Cristalinas • Bibliografía: Kittel, cap. 4. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

2. Desplazamiento Atómico • Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por: • Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal. • Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R. • El desplazamiento del átomo i se puede escribir como Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

3. Desplazamiento Atómico • Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación. • Problema se vuelva 1D: para cada k (vestor de onda) hay 3 modos de vibración: • 1 de polarización longitudinal • 2 de polarizaciones transversales Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

4. Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos • La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados. • El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN) • El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico). (No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

5. Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos • La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es: • De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte). • Nota: En posiciones de equlibrio F=0 y términos son lineales en los desplazamientos. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

6. Fuerzas Centrales • Las fuerzas centrales resultan si la energía sólo es función de las distancia entre átomos. (Este es el caso de las fuerzas electrostáticas y de van der Waals.) • Entonces, la energía por átomo es: donde i son todos los vecinos del átomo s (factor 1/2 es para evitar contar 2 veces). • Expandiendo hasta órden armónico: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

7. Cadena Lineal • Consideremos una línea de átomos. • Entonces, la energía por átomo es: y la fuerza es: • Considerando sólo las interacciones con vecinos cercanos: i’’= 1’’ y Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

8. Oscilaciones de una Cadena Lineal • Ley de Newton (ecuación de movimiento): • Dependencia temporal: luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos: • ¿Cómo resolver esta ecuación con un número infinito de osciladores acoplados? Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

9. Oscilaciones de una Cadena Lineal • Como la ecuación es la misma para cada s, la solución debe tener la misma forma para cada s, difiriendo sólo en un factor de fase (onda estacionaria): • Luego: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

10. Oscilaciones de una Cadena Lineal • Una forma más conveniente es: • Finalmente: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

11. Oscilaciones de una Cadena Lineal • Se ha resuelto el conjunto infinito de osciladores acoplados. • La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia • Relación de k en función de k se llama relación de dispersión. Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a) k Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

12. Primera Zona de Brillouin • La solución de k sobre el espacio recíproco (de fases) es periódica. • Toda la información está en la primera zona de Brillouin. • La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a • El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k= k+G ! (G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a) ¿Qué significado tiene este hecho? k Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

13. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico de k+G. • Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB). k Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

14. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas. • El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es: • El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes: k Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

15. Vk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) vk=vsonido k Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana. • La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk (i.e. es pendiente de k vs. k) • Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

16. Vk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) Significado de vk=0 en frontera dezona de Brillouin • Como k es periódico, debe tener dk/dk =0 en algún valor. • Ocurre en el límite de la ZB porque debe ser simétrica c/r a los puntos de límite. • Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB. • Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria. • Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo = 0. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

17. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones. • Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran. • Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco. • Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB). • Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

18. Vk=0 en borde de ZB vk=vsonido k Velocidad de Grupo: límite de longitud de onda largo • ska<<1  cos(ska)  1 - 1/2(ska)2 • Resultado:  es directamente proporcional al vertor de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas:  = vk (mecánica del continuo). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

19. Dispersión en Cu Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

20. k’ k Zona de Brillouin Recordemos: Difracción y la Zona de Brillouin • La zona de Brillouin está formada por las bisectrices perpendiculares a los vectores G. • Consecuencia: No hay difracción para todo k dentro de la primera zona de Brillouin. • Este es el rol especial de la primera zona de Brillouin c/r a otra celdas Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

21. m M C C C un vn un+1 Red Biatómica 1D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

22. Red Biatómica 1D m M C C C • Resultado: • Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite: • ka << 1 : cos(ka)  1 - ½ (ka)2 + ... • ka =  (borde 1ZB) • Para ka << 1: un vn un+1 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

23. Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

24. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

25. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

26. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

27. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

28. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

29. Dispersión en KBr Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas