Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Budowlanych im. Kazimierza Wielkiego w Szczecinie • ID grupy: 97/26_mf_g1 • Opiekun: Krzysztof Markwart • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Różne właściwości liczb naturalnych • Semestr/rok szkolny: 3-ci

3. Plan prezentacji • Liczby pierwsze -definicja liczby pierwszej i złożonej, rozkład na czynniki pierwsze, ile • jest liczb pierwszych?, rozmieszczenie liczb pierwszych • Euklides – algorytm Euklidesa wraz z przykładami • Eratostenes- sito Eratostenesa • Wzory do odszukiwania liczb pierwszych – historyczne początki • Liczby względnie pierwsze – definicja, twierdzenie Dirichleta • Liczby Mersenne’a – test Lucasa-Lehmera • Fermat – Małe Twierdzenie Fermata, Liczby Fermata, test Pépina, związek liczb Fermata z geometrią • Euler – rozkład liczby pierwszej postaci 4k+1 na sumę dwóch kwadratów • Hipoteza Goldbacha • Twierdzenie Wilsona • Liczby czworacze, izolowane, liczby Sophie Germain • Liczby doskonałe • Liczby zaprzyjaźnione • Liczby palindromiczne • Liczby lustrzane • Liczby automorficzne • Liczby gnomiczne • Liczby olbrzymy • Diofantos • Wybrane cechy podzielności

4. Liczby naturalne są najstarszymi liczbami jakimi posługuje się człowiek. Jako obiektami matematycznych dociekań zajmowali się nimi starożytni Grecy: Pitagoras, Euklides, Archimedes, Eratostenes. Prekursorami nowoczesnej teorii liczb byli: Euler, Fermat , Gauss, Dirichlet.

5. Liczby pierwsze Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki - 1 oraz samą siebie. Każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Pytanie jakie możemy sobie postawić to czy złożoną liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki pierwsze na kilka sposobów? Odkrycie Euklidesa w Elementach daje odpowiedź na to pytanie, mianowicie każdą liczbę naturalną złożoną można jednoznacznie przestawić jako iloczyn liczb pierwszych. Można to pokazać znając zasadę Euklidesa: Liczba pierwsza dzieli iloczyn liczb tylko wtedy gdy dzieli przynajmniej jedną z nich.

6. Ile jest liczb pierwszych? Euklides pokazał, że nie ma końca liczbom pierwszym. Załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych, dajmy na to n rozumował Euklides . Oznaczmy je następująco: p1, p2, p3 ,... pn Rozważmy, zatem liczbę: W= p1 *p2 *p3 *...* pn +1 Żadna z liczb p1, p2, p3 ,... pn nie jest dzielnikiem liczby W ( bo jest dzielnikiem liczby W-1). Zatem muszą istnieć jeszcze inne liczby pierwsze będące dzielnikami liczby W (być może samo W jest pierwsze), co oczywiście przeczy temu, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Wniosek? Jest ich nieskończenie wiele.

7. Czy można jakoś określić rozmieszczenie liczb pierwszych, tak aby dało się je łatwo znajdywać? Na początek dwa twierdzenia Twierdzenie Jeżeli n jest liczbą naturalną większą od 2, to między n a n! leży co najmniej jedna liczba pierwsza(n! oznacza iloczyn 1 · 2 · ... · n). Twierdzenie (Czebyszewa) Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza. Teraz czas na funkcję π(x) Niech π(x) oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od x (x≥2). Mamy np. π(2)=1, π(3)=2, π(4)=2, …, π(18)=7, π(18)=7, π(19)=8, itd.

8. Nieznany jest prosty wzór na π(x), mamy jednak oszacowanie dla dostatecznie dużych x: Z powyższych nierówności mamy: Co można zapisać w postaci asymptotycznej:

9. Euklides Twórca algorytmu nazwanego jego imieniem, żył w latach od ok. 365 p.n.e. do ok. 300 p.n.e. Chociaż pochodził z Aten, większość życia spędził w Aleksandrii. Prawdopodobnie tam napisał swoje największe dzieła („Elementy”, „Dane” i inne, także poświęcone matematyce). „Elementy” stanowią zbiór wszystkich ówczesnych wiadomości o matematyce. Dzieło to zostało przetłumaczone na wiele języków, ilością wydań ustępuje jedynie Biblii, było także podstawowym podręcznikiem do nauki geometrii przez całe wieki.

10. Schemat blokowy algorytmu Euklidesa a>b Przedstaw a w postaci a=bq+r , gdzie: q- iloraz liczby a przez liczbę b r – reszta z dzielenia liczby a przez liczbę b Czy r=0? NIE a:=b b:=r TAK NWD(a,b)=b

11. Stosując algorytm Euklidesa oblicz NWD liczb: b) 4321 i 2745 a) 234 i 186 NWD(234,186)=6 NWD(4321,2745)=1

12. Eratostenes 276 p.n.e. – 194 p.n.e. Grecki matematyk, astronom i filozof. Jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, wyznaczył obwód ziemi oraz oszacował odległość słońca i księżyca od ziemi. Podał sposób znajdowania liczb pierwszych – sito Eratostenesa.

13. Sito Eratostenesa to algorytm wyznaczania liczb pierwszych z zadanego przedziału [2,n]. Ze zbioru liczb naturalnych z przedziału [2,n], tj. {2,3,4,...,n} wybieramy najmniejszą, czyli 2 i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej, to jest 4,6,8,… Z pozostałych liczb wybieramy najmniejszą niewykreśloną liczbę (3) i usuwamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej: , przy czym nie przejmujemy się tym, że niektóre liczby (na przykład 6 czy 12) będą skreślane więcej niż raz.

14. Według tej samej procedury postępujemy dla liczby 5, następnie dla 7,11,13, aż do sprawdzenia wszystkich wcześniej niewykreślonych liczb. Wykreślanie powtarzamy do momentu, gdy liczba i, której wielokrotność wykreślamy nie jest większa niż . Dla danej liczby n wszystkie niewykreślone liczby mniejsze od n są liczbami pierwszymi.

15. Wzory do odszukiwania liczb pierwszych (oto kilka wzorów przy pomocy których uczeni odkrywali kilka początkowych liczb pierwszych) • Legendre podał wzór który daje liczby pierwsze przy wartościach • od x=0 do x=28 • Euler wskazał wzór dający liczby pierwsze przy wartościach od • x=0 do x=39 • Escott zastępując we wzorze Eulera x przez x-40 otrzymał wyrażenie • które przy wartościach od x=0 do x=39 daje liczby pierwsze • Wzór dla k=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 daje liczby pierwsze. Przy • k=37 wzór zawodzi dając liczbę 45 812 984 491, która jest iloczynem liczby 1777 • przez 25 781 083

16. Liczby względnie pierwsze Liczbami względnie pierwszymi nazywamy liczby, których największym wspólnym dzielnikiem jest 1. Oznacza to, że żadna liczba naturalna większa od 1 nie dzieli jednocześnie tych liczb. • rozkłady na czynniki pierwsze liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem dzielników pierwszych wspólnych dla wszystkich liczb. • najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb względnie pierwszych jest ich iloczyn.  • każde dwie kolejne liczby naturalne są względnie pierwsze. • każde dwie liczby parzyste nie są względnie pierwsze. 15 = 3 · 5 i 28 = 2 · 2 · 7wspólne czynniki: brakNWD(15, 28) = 1Liczby 15 i 28 są względnie pierwsze. Przykład.

17. Peter Gustaw Dirichlet, jeden z największych matematyków niemieckich urodzony 13.02.1805. W 1822 przeniósł się do Paryża, gdzie poznał wielu matematyków, filozofów. W tym czasie uczęszczał na wykłady do College de France oraz zagłębiał się w dzieło Gaussa: „Disąuisitiones” które nadało kierunek jego zainteresowaniom. W roku 1826 wraca do Niemiec gdzie osiąga tytuł profesora zwyczajnego na uniwersytecie w Berlinie. W 1855 zostaje powołany na uniwersytet w Getyndze jako następca Gaussa. Jego twórczość naukowa dotyczy głównie teorii liczb, teorii szeregów i rachunku całkowego. W teorii liczb znane jest jego piękne twierdzenie, że w każdym nieskończonym postępie arytmetycznym którego wyraz pierwszy i różnica są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.

18. Liczby Mersenne’a Marin Mersenne (1588 -1648 ) francuski teolog, filozof, matematyk i teoretyk muzyki. Nauki pobierał w Le Mans i sławnym kolegium jezuickim w La Flèche, gdzie zawarł wieloletnią przyjaźń z Kartezjuszem, który także był uczniem tej szkoły. Prowadził ożywioną korespondencję naukową, m.in. z Fermatem i Pascalem a zwłaszcza ze swoim przyjacielem Kartezjuszem. Liczby postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbami Mersenne’a. • Pewne liczby Mersenne’a są pierwsze, a inne złożone. Dla przykładu • są liczbami pierwszymi, natomiast • jest złożona.

19. nie wiadomo, czy liczb pierwszych Mersenne'a jest nieskończenie wiele, a największą obecnie znaną liczbą pierwszą Mersenne'a jest 243112609 − 1. Odkrył ją 23 sierpnia 2008 roku Edson Smith w ramach projektu GIMPS. Do jej zapisania w układzie dziesiętnym potrzeba 12 978 189 cyfr. Współcześnie poszukiwaniem liczb pierwszych Mersenne'a i rozkładaniem liczb złożonych na czynniki pierwsze zajmują się projekty obliczeń rozproszonych. Czołowym z nich jest właśnie GIMPS, do którego należy odkrycie ostatnich dwunastu największych znanych liczb pierwszych. Test Lucasa -Lehmera Używa się go do stwierdzenie czy liczba Mersenne’a jest liczbą pierwszą. Niech dla k=2,3,4,…. Liczba jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dzielnikiem .

20. Pierre de Fermat 1601-1665 Prawnik i matematyk francuski, prekursor teorii liczb, rachunku różniczkowego i rachunku prawdopodobieństwa. Większość jego prac opublikował dopiero po jego śmierci syn (1679). Dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii.

21. Małe Twierdzenie Fermata Jeżeli p jest liczbą pierwszą, nie dzielącą liczby całkowitej a, to p dzieli liczbę  ap-1–1. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla każdej liczby całkowitej a liczba   ap - a jest podzielna przez p. Przykład. Udowodnij, że 7|201267-3  Z Małego Twierdzenia Fermata mamy, że Przykład. Wykaż, że liczba jest podzielna przez 19. Z MTF mamy, że 19 dzieli liczbę i liczbę . Zatem dzieli również liczbę Przykład. Wyznacz resztę z dzielenia liczby przez 13.

22. Liczby Fermata W 1640 roku Pierre de Fermat wyraził przypuszczenie, że liczby postaci są pierwsze. Czy miał rację? W 1732 Euler pokazał, że liczba jest liczbą złożoną. Otóż liczby: W 1880 roku F.Landry pokazał, że jest liczbą złożoną. Są rzeczywiście liczbami pierwszymi.

23. Do chwili obecnej wykazano, że i kilka innych są liczbami złożonymi. Jak zbadać czy dana liczba Fermata jest liczba pierwszą? Służy do tego test francuskiego matematyka T. Pépina podany w 1877 roku. Jego treść jest następująca: Oznaczmy . Liczba jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli . Przykład: liczba F2 = 17 zatem k = 8 więc 38 + 1 = 6562 6562 / 17 = 386 - dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby F2 Obecnie do sprawdzenia podzielności o której mowa w twierdzeniu używa się komputerów o dużej mocy obliczeniowej.

24. Związek liczb Fermata z geometrią Niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss (1777-1855) udowodnił fakt, że jeśli p jest liczbą pierwszą Fermata to za pomocą cyrkla i linijki można skonstruować p-kąt foremny stosując się do reguł Euklidesa. Gauss zażyczył sobie, żeby na jego nagrobku wyryć 17-kąt foremny. Nie zrobiono tego ale taki wielokąt umieszczono na jego pomniku w Braunschweig. Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2kp1p2...ps, gdzie p1, p2, ...ps są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny (k=0, s=1, p1=F1) i sześciokąt foremny (k=1, s=1, p1=F0), ale już nie siedmiokąt foremny.

25. Leonard Euler 1707-1783 Matematyk szwajcarski, jeden z najbardziej genialnych uczonych wszech czasów. Obalił hipotezę Fermata o pierwszości liczb Fermata. Odkrył też funkcję φ (zw. funkcją φ Eulera), przyporządkowującą każdej dodatniej liczbie całkowitej n liczbę mniejszą od n, która informuje ile jest liczb względnie pierwszych z n. Korzystając z właściwości tej funkcji Euler uogólnił małe twierdzenie Fermata w postaci znanej obecnie pod nazwą twierdzenia Eulera o liczbach względnie pierwszych. Przed rokiem 1772 Euler dowiódł, że liczba 231 − 1 = 2 147 483 647 jest liczbą pierwszą Mersenne'a. Pozostawała ona największą znaną liczbą pierwszą do roku 1867.

26. Rozkład na sumę dwóch kwadratów Fermat zauważył, że każda liczba pierwsza która jest postaci 4k+1 jest sumą dwóch kwadratów. Dowód tego twierdzenia Fermata zajął Eulerowi kilka lat. Warto dodać, że liczba pierwsza postaci 4k+1 rozkłada się na sumę dwóch kwadratów tylko jednym sposobem (nie licząc kolejności składników). Liczby złożone postaci 4k+1 mogą rozkładać się na sumę dwóch kwadratów kilkoma sposobami. W rozkładach tych występują kolejne liczby naturalne 31,32,33. Takich liczb które mają co najmniej trzy różne rozkłady na sumę kwadratów i w rozkładach tych występują trzy kolejne liczby naturalne jest nieskończenie wiele. Nie istnieje jednak liczba naturalna, której rozkłady na sumę dwóch kwadratów zawierają więcej niż trzy kolejne liczby naturalne co pokazali A.Nowicki i L.Kourliandtchik.

27. Hipoteza Goldbacha W 1972 roku Christian Goldbach w liście do Eulera sformułował hipotezę: Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Np.: 4=2+2 , 6=3+3 , 8=3+5 , 10=3+7 , 12=5+7 , 14=3+11, 20=3+17 … itd.. • gdyby hipoteza Goldbacha okazała się prawdziwa, to każda liczba naturalna większa od 5 • byłaby sumą trzech liczb pierwszych. • Niech m>5. Jeżeli m jest liczbą parzystą, to liczba m-2 jest parzysta i wtedy na mocy • hipotezy Goldbacha m-2=k+t , gdzie k i t są liczbami pierwszymi. Mamy zatem • Przedstawienie m=2+k+t. jeżeli m jest liczbą nieparzystą, to liczba m-3 jest parzysta i • wtedy m-3=k+t, czyli m=3+k+t. • w 1937 roku I.M. Winogradow wykazał, że każda dostatecznie duża liczba • nieparzysta jest sumą trzech liczb pierwszych.

28. Twierdzenie Wilsona Twierdzenie Wilsona to twierdzenie z teorii liczb. Mówi ono, że p >1 jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy   jest podzielna przez p. Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu). Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej czy jest pierwsza. Jednak nie istnieją efektywne algorytmy obliczania silni, dlatego twierdzenie to nie ma praktycznego znaczenia. (2-1)! + 1 = 2, co jest podzielne przez 2; wniosek: 2 jest liczbą pierwszą(5-1)! + 1 = 25, co jest podzielne przez 5; wniosek: 5 jest liczbą pierwszą(9-1)! + 1 = 40321, co nie jest podzielne przez 9; wniosek: liczba 9 jest złożona.

29. Liczby czworacze Liczby czworacze to takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą. Np.:5, 7, 11, 13; 821, 823, 827, 829. Liczby izolowane Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4. Np.: 89, 157, 173. Liczby Sophie Germain Liczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą. Np.: 5, 11, 23, 29. Liczby te badano w związku z wielkim twierdzeniem Fermata. Nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale prawdopodobieństwo trafienia na liczbę Sophie Germain wśród n początkowych liczb pierwszych dąży do zera (dla n dążącego do nieskończoności).

30. Liczy doskonałe Pitagorejczycy tak nazywali liczby, w których suma podzielników liczby(bez danej liczby oczywiście) równa się samejże liczbie. • Sądzono także, że Bóg stworzył świat w 6 dni, bo 6=1+2+3 jest liczbą doskonałą. • Inne przykłady takich liczb to: • 28=1+2+4+7+14 • 496=1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 • 8128=1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 • Parzyste liczby doskonałe mieszczą się w formule: gdzie musi być liczbą pierwszą. Ale może być liczbą pierwszą tylko wówczas gdy p jest również liczbą pierwszą.

31. Liczbami doskonałymi drugiego rodzaju niektórzy graccy matematycy nazywali liczby równe iloczynowi ich podzielników (bez danej liczby). Na przykład: Biorąc pod uwagę to co zostało przedstawione liczba 6 jest liczbą najdoskonalszą, ponieważ ma oba rodzaje doskonałości: O liczbie 6 jako doskonałej Św. Augustyna (354-430) napisał :"Sześć jest liczbą samą w sobie doskonałą nie dlatego, że Bóg dokonał dzieła stworzenia w sześć dnia; raczej Bóg stworzył wszystko w dni sześć, bo liczba sześć jest doskonała właśnie."

32. W połowie wieku XVII w sprawę liczb doskonałych wmieszali się specjaliści od liczb pierwszych Fermat i Mersenne. Ten ostatni napisał w swoim dziele Cogitata physica mathematica, że dla liczb (pierwszych) p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 odpowiadające im liczby 2(p − 1) × (2p − 1) są doskonałe. Napisał też, że "...dla liczby o 15, czy 20 cyfrach sprawdzenie, czy jest pierwsza, ze względu na potrzebny czas jest po prostu niemożliwe..." • Dalszy postęp nastąpił za sprawą Eulera w roku 1732. Znalazł on liczbę doskonałą dla p=31, a jest ona równa 2305843008139952128. I pozostawała największą znaną liczbą doskonałą przez 150 lat.  • W roku 1883 Pervusin pokazał, że 260 × (261 − 1) jest doskonała.  • Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911 roku) jest 2288 × (2289 − 1). Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

33. Tabela liczb doskonałych: … w pierwszej kolumnie nie ma wartości 11,23,29 dla p, gdyż liczby z trzeciej kolumny nie są wówczas pierwsze.

34. Liczby zaprzyjaźnione Dwie liczby A i B są zaprzyjaźnione, jeśli suma podzielników liczby A równa się liczbie B, i odwrotnie – suma podzielników liczby B równa się liczbie A. Nie bierzemy pod uwagę samych liczb jako podzielników. • Najmniejszą parą liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284: • 220=1+2+4+71+142, a wiec liczba 220 jest sumą podzielników liczby 284, a 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 jest sumą podzielników liczby 220. • Nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości tzn. jedna parzysta druga nieparzysta. Obie mogą być nieparzyste: 12285 i 14595 • Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), • przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety • z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w • miłości.  • Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

35. Liczby palindromiczne Palindrom to wyrażenie brzmiące tak samo czytane od lewej do prawej i od prawej do lewej. • W zapisie dziesiętnym liczb naturalnych możemy rozważać palindromy, np.: 22,303,4554 itp.. • Istnieje nieskończenie wiele palindromicznych • kwadratów: sześcianów: czwartych potęg: Nie wiadomo jak będzie w przypadku piątych i wyższych potęg.

36. Liczby lustrzane Liczby lustrzane to takie dwie liczby , które są lustrzanym odbiciem. To znaczy, takie z których jedna powstaje przez zapisanie drugiej w odwrotnej kolejności. • Przykładami liczb lustrzanych są: 13 i 31, 125 i 521, 3245 i 5423, • Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221 : 11 = 192 • Dla osób, które z zawodu mają do czynienia dzień w dzień z takimi liczbami np. makler, księgowa i muszą je zapisywać np. na komputerze liczby te mogą stać się zmorą. Bowiem ciągła taka praca powoduje popełnianie przez nich tzw. czeskiego błędu. Polega on właśnie na tym, że osoba taka zamiast liczby, którą ma napisać, załóżmy 23 nieświadomie już przestawia liczby i zapisuje ich lustrzane odbicia (w tym wypadku 32).

37. Liczby automorficzne Liczba automorficzna to taka, która podniesiona do kwadratu zawiera w końcówce samą siebie. • Liczbą automorficzną jest np.: 76, bo 76 x 76 = 5776 (liczba 76 jest końcówką liczby 5776). • Pierwszych dwadzieścia liczb automorficznych możemy przedstawić w ciągu: • 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625. • Liczby automorficzne z wyjątkiem 0 i 1 zawsze będą się kończyć cyfrą 5 lub 6.

38. Liczby gnomiczne Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby

39. Liczby olbrzymy

40. Ciekawostki • masa całego znanego obecnie wszechświata wynosić ma podobno niewiele • więcej nad 20 nonilionów gramów • włos ludzki powiększony bilion razy, byłby 6-krotnie grubszy od globu • ziemskiego • komar powiększony bilion razy byłby 50 razy większy od rzeczywistych • rozmiarów słońca • 29.04.1902 o godzinie 10:40 upłynął zaledwie pierwszy miliard minut od początku naszej ery • milion sekund upływa w niespełna dwa tygodnie, a bilion sekund trwa ponad 30 000 lat.

41. Diofantos Grecki matematyk, żyjący w III wieku w Aleksandrii. Z jego głównego dzieła Arytmetyka, składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Zadanie Diofantosa: „Znaleźć trzy liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem” Rozwiązanie: Musimy znaleźć takie liczby naturalne a, b, c aby liczby a+b+c , a+b , a+c , b+c były kwadratami liczb naturalnych. Zadanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań. Niech k>1 będzie liczbą naturalną, niech uczestnik wykładu przekona się sam, że przyjmując: otrzymamy rozwiązanie zadania.

42. Wybrane cechy podzielności Cecha podzielności – metoda umożliwiająca stwierdzenie, czy dana liczba jest podzielna bez reszty przez inną. Są one narzędziami pomocniczymi ułatwiającymi sprawdzenie czynników liczby bez uciekania się do dzielenia. Cecha podzielności przez 2Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę podzielna przez 2:Przykłady: 128 , 384, 1976 Cecha podzielności przez 3Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.Przykłady: 12, 1827, 2481 Cecha podzielności przez 4Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.Przykłady: 1816, 2344, 16712 Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0 lub 5.Przykłady: 60, 245, 1005

43. Cecha podzielności przez 7 Liczba jest podzielna przez 7 jeżeli różnica miedzy liczbą powstałą z jej pierwszych cyfr i liczba powstała z jej 3 ostatnich cyfr jest podzielna przez 7Przykład: 512498 bo 512 - 498 = 14, a 14 / 7 = 2 wiec jest podzielne Cecha podzielności przez 8 Liczba jest podzielna przez 8 jeżeli jej 3 ostatnie cyfry trwożą liczbę podzielna przez 8Przykłady: 240, 1328, 23816 Cecha podzielności przez 11Liczba jest podzielna przez 11 jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych (licząc od prawej) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11.Przykład: 175978 bo (8+9+7) - (7+5+1) = 24-13 = 11 Cecha podzielności przez 13Liczba jest podzielna przez 13 jeżeli różnica miedzy liczbą powstałą z jej pierwszych cyfr i liczba powstała z jej 3 ostatnich cyfr jest podzielna przez 13Przykład: 511498 bo 511 - 498 = 13

44. Bibliografia [1] Witold Bednarek, Szkice o liczbach, funkcjach i figurach, Oficyna Wydawnicza „Tutor”, Toruń 2003 [2] Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, Wydawnictwa Szkole i Pedagogiczne , Warszawa 1988 [3] John H.Conway, Richard K.Guy, Księga Liczb, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999 [4] http://pl.wikipedia.org