Készítette: Kovács Zita

1. Halmazok, relációk, függvények Készítette: Kovács Zita

2. Tartalom • Teszt 1. • Alapfogalmak (ismétlés) az alábbi témakörökből: • Halmazok • Relációk • Függvények

3. Teszt 1. - Halmazok • Írd le matematikai jelekkel a következő halmazt! Legyen A a 6-nál nagyobb és a 14-nél nem nagyobb természetes számok halmaza! • Igaz vagy hamis?

4. Teszt 1. - Halmazok • Legyen A={1;2;3} és B={2;4;6}. AUB=? A∩B=? A\B=? • Mennyi a számossága az alábbi halmaznak? C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} • Legyen H= {k; e; n; y; é; r} és A = {k; é; r}. Mi az A halmaznak a H halmazra vonatkozó komplementere? • Legyen A = {3; 5} és B={1;2}. AxB=?

5. Teszt 1. - Függvények • Add meg azt a függvényt, amely a számokhoz hozzárendeli a reciprokuk kétszeresét!

6. 1. Halmazok • halmaz jelölése: nagybetűkkel, pl.: A, B, C, … • halmaz eleme jelölése: kisbetűkkel, pl.: a, b, c,… • eleme, hozzátartozik: • az eleme reláció jele: ∈; • ha a egy objektum, H pedig egy halmaz, akkor a∈H azt fejezi ki, hogy az a objektum eleme a H halmaznak • számosság: elemeinek darabszáma; jele: |A| • üreshalmaz: egyetlen eleme sincs, jele: ∅ vagy {} • megj.: |∅|=0; ∅ ≠ {0}

7. 1. Halmazok • Megadási módok • Felsorolással • Matematikai kifejezéssel • Szöveggel • Adott: ha egyértelműen eldönthető minden elemről, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem. • Szemléltetése pl. Venn-diagrammal

8. 1. Halmazok • Részhalmaz: A részhalmaza B-nek, ha A minden eleme B-nek is eleme. • Jele: A ⊆ B • Példa: • B = {1;2;5;7;9} • A = {1;7} • C = {2;5;9} • Részhalmazok felsorolása • az A halmaz összes részhalmazának darabszáma: 2|A| • Megj: ∅ ⊆ B, B ⊆ B (nem valódi részhalmazok)

9. Feladat

10. Műveletek halmazokkal • Egyesítés (unió) • Közös rész (metszet) • Különbség • Szimmetrikus különbség • Részhalmaz kiegészítő (komplementer) halmaza • Két halmaz Descartes-féle (direkt) szorzata

11. 1. Egyesítés (unió) • Az A és B halmazok uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak. • Jele: A ∪ B • A ∪ B = { x | x ∈ A vagy x ∈ B}

12. Unió Példa: A = {1; 3; 5} B = {2; 4; 6} A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

13. 2. Közös rész (metszet) • Az A és B halmazok metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartoznak. • Jele: A ∩ B • A ∩ B = { x | x ∈ A és x ∈ B} • Ha A ∩ B = ∅, akkor az A és a B halmazt diszjunkthalmaznak nevezzük.

14. Metszet Példa: A = {a; b; c; d; e} B = {b; e; f; g} A ∩ B = {b; e}

15. 3. Különbség • Az A és B halmazok különbséghalmazán azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartoznak, de B-hez nem. • Jele: A \ B

16. Különbség Példa: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 4; 6; 8; 10} A \ B = {1; 3; 5} B \ A = {8; 10}

17. 4. Szimmetrikus különbség • Az A és a B halmazok szimmetrikus különbségén az halmazt értjük. • Jele:

18. Szimmetrikus különbség • A={1;2;3;4;5} • B ={2;4;6;8} • A∆B=A\B U B\A={1;3;5}U{6;8}={1;3;5;6;8}

19. 5. Kiegészítő (komplementer) halmaz • Legyen . H azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei A-nak, az A halmaz H halmazra vonatkozó kiegészítő halmazának nevezzük. • Jele:

20. Komplementer

21. 6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata • Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. • Jele: A x B • A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B } • Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m

22. Descartes-szorzat Példa: • A = {1; 2} • B = {1; 3} • A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)}

23. 6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata • Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A1-nek, a második komponense a A2-nek, …, és az n-dik komponense az An-nek eleme, az A1, A2, …An halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. • Jele: A1 x A2 x … x An • A1x A2x … xAn = { (a1,a2,…,an) | a1∈A1, a2∈ A2, …, an∈ An }

24. Halmazműveletek főbb azonosságai • Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. • Kommutatív • Asszociatív • Disztributív • Idempotens • De-Morgan • Stb…

25. 2. Relációk • Definíció: Az A és B halmazok Descartes-szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük. • Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb • A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

26. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R • Reflexív (∀a ∈ A: aRa) • Szimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa) • Tranzitív (∀a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

27. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R • Reflexív • Antiszimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) • Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

28. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Rendezésnek nevezzük, ha R • Féligrendezés és • Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

29. Példák, feladatok • Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! • Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? • Melyek az ekvivalenciaosztályok?

30. 3. Függvények • Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b)∈R és (a,c)∈R következik, hogy b=c. • Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

31. 3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések • A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá. • Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. • A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb. • Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

32. 3. Függvények • A függvényt megadhatjuk • táblázattal • grafikonnal • nyíl-diagrammal • képlettel vagy egyéb utasítással • Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljüka másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük. • A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

33. Értelmezési tartomány - ÉT • Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is. • Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknakis nevezni.

34. Értékkészlet - ÉK • A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is. • Elemei a függvényértékek.

35. Példák, feladatok • f: R → R, x → 2x • g: R → R , x → x2 • stb…

36. Induktív definíció • Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható. • A definíció két fő részből áll: • A bázis megadása • A szabály, vagy szabályok megadása

37. Segédletek • http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf • http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/halmazok-halmazmuveletek/halmazmuveletek • http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0033_SCORM_GEMAN6206B/sco_01_03.htm