ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices )

1. ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices) Pendahuluan PadaFisika : a. BesaranVektor. b. BesaranSkalar Besaran : sesuatuygdapatdiukurdanbesarnyadinyatakan.denganangka*DefinisibesaranVektor : suatubesaranygbesarnyadapat.diukur (mempunyainilai) danmempunyaiarah.Contoh : kecepatan, gaya, dsb*DefinisibesaranSkalar : suatubesaranygbesarnyadapat.diukurtapitidakmempunyaiarah.Contoh : massa, panjang, dsb.

2. Operasi2penjumlahan, pengurangandanperkalianyglazim.dalamaljabarbilangan, dengandefinisiygsama, dapat di- .perluaskedalamaljabarVektor • DefinisidasarAljabarVektor 1. DuabuahvektorAdanBsamajikamemilikibesardan.arahygsama, tanpamemperhatikantitikawalnya, A = B 2. SebuahvektorygarahnyaberlawanandenganvektorA.tapimemilikibesarygsamadinyatakanoleh – A 3. Jumlah (resultan) dariduavektor, AdanBadalahvektorC, .ygdibentukdenganmenempatkantitikawalBpadatitik. terminal A, lalumenghubungkantitikawalAke terminal B, .C = A + B 4. SelisihvektorAdanB, ygdinyatakanolehA – BadalahC BAB 1. VEKTOR dan SKALAR

3. ygbiladitambahkanBmenghasilkanvektorA. .C = A – B. = A + (-B) .BilaA = B, maka A – B = 0 sebagaivektornol. 5. Hasil kalivektorAdenganskalar m adalahvektor mAyg.besarnya |m| kali besarnyaAdanmemilikiarahygsamaatau.berlawananA,bergantungpadaapakah m positif /negatif. . Bila m = 0 maka mAadalahvektornol. .

4. BilaA, BdanCadalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka : 1. A + B = B + A⇨ hukumKomutatifpenjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukumAsosiatifpenjumlahan 3. mA = Am ⇨ hukumKomutatifperkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukumAsosiatifperkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukumDistributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukumDistributif Hukum-hukumAljabarVektor

5. VektorSatuanadalahsebuahvektorygbesarnya 1(satu) BilaAadalahvektorygbesarnyaA≠ 0makaadalahsebuahvektorsatuanygarahnyasamadenganA. - SetiapvektorAdapatdinyatakanolehsebuahvektorsatuan. a dalamarah A, dikalikandenganbesarnyaA. JadiA = Aa - Vektorsatuanmerupakanvektorygpanjangnyasatusatuan • SetiapvektorA = | | yang bukannol, mempunyaivektor.satuan : Ā = = | | -Besar (panjang) vektor.MisalnyaA = | |adalahvektor di R2, makabesarvektorA : . | A | = VEKTOR SATUAN

6. 1. Sebutkanbeberapabesaranvektordanbesaranskalar, ma- . sing-masingdelapanmacam ? 2. Hitunglahbesar (panjang) vektordanvektorsatuandari.vektorA = 〔〕? 3. Buktikanbahwapenjumlahanvektoradalahkomutatif, yaitu.A + B = B + A ? Secaragrafis ! 4. Diketahui vektor2 : K = 〔 〕, L = 〔〕 dan M = 〔〕bila. 3K – 2L = - Mmakahitungnilaix ? 5. Tentukanresultan vektor2berikut : .Vektor A, 15 m arahbaratlaut, B. 25 m. 30odisebelah.utaradaritimurdan C, 40 m keselatan ? Contohsoal

7. 1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medanlistrik, me- .dan magnet, medangravitasi, kohesi, adhesi, aruslistrik, pegasdll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalorjenis, volume, luas, jarak, massa.jenis, intensitascahaya, perbesaranlensa, dll. 2. Besar(panjang) vektorA : A = 〔〕 .A = |A| = = = 5 .Vektorsatuan, A = = 〔 〕 = 〔〕 3. HukumKomutatifpenjumlahan : A + B = B + A.bukti : Q OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C .P B OR + RQ = OR⇔ A + B = C .ACAJadi : .C A + B = B + A .OBR Jawabancontohsoal

8. 4. 3K – 2L = - M . 3 〔 - 2 〔 = - 〔 .〔 + 〔 = 〔 . 6 – 2x = -2 . x = . x = 4 5. A = 15 m arahbaratlaut. B = 25 m arahutaradaritimur 30o. C = 40 m keselatan Jawabancontohsoal

9. U.BD = A + B + C.30oSecaragrafis : .A- padattk terminal Atempatkan.45oCttkpangkal B .BT - padattk B tempatkanttk pang.kal C.D- resultan D dibentikdengan.menghubungkanttkpangkalA . S denganttk terminal C, jadi. D = A+B+C Secaragrafis, resultanmempunyaibesar 4,5 satuan, jadiresultan D = 22,5 m denganarah 60odisebelahselatandaritimur. Jawabancontohsoal

10. 1. a. NyatakanvektorAsecaraaljabar ? 3A(4,3) b. HitunglahbesarvektorA ? c. Tentukanbesarvektorsatuan A ? 4 2. HitunglahbesarvektordanvektorsatuandarivektorB = 〔 〕 ? 3. Buktikanbahwapenjumlahanvektoradalahassosiatifyaitu.A + B + C = (A + B) + C ? 4. Sebuahmobil sedan bergerakkearahutarasejauh 4km, lalu 8km .kearahtimurlaut. Tentukanvektorperpindahanresultannya se- .caragrafisdananalitis, gambarkanperpindahanmobilsecara.grafis ? Latihansoal/PR

11. - Himpunan vektor2satuanpentingadalahygarahnyamenurut. sumbu2x, y dan z positifsistemkoordinattegak-lurusruang. 3-dimensi, dinyatakanoleh i, j dan k. zC k A 0 i j y B xA BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k

12. - Umumnyamenggunakansistemkoordinattegak-lurusaturan.tangankanan, kecualiadapernyataan lain. - Sisteminidianalogikandengansebuahsekrupberulirkanan.ygdiputar 90odariOx keOyakanmajudalamarahsb z pos. - BilatigabuahvektorA, BdanCygtitikpangkalnyaberhim- . pit dantakkoplanar(tidakterletakpadaatausejajarbidangyg.sama)dikatakanmembentuksebuahsistemtangankananatau.sistemdekstral. Analogidengansebuahsekrup (baut)berulir.kananygdiputardengansudutkurangdari 180odariAkeB .makaakanmenujuarahC. 1. Vektor2SatuanTegak-lurus. i, j, k

13. Setiap vektorAdalamruang 3-dimensi bisadigambarkandgntitikpangkalpadatitikasal O darisistemkoordinat - A1, A2, A3 : komponen2darivektorAdalamarah x, y dan z - A1i, A2j danA3k : vektor2komponendariAdlmarah x, y, z • ResultandariA1i, A2j danA3k adalah : .A = A1i + A2j + A3k • Besarvektor A = | A | = • Khususnya, vektorposisiatauvektorjejari(radius vector) rdari O ketitik (x, y, z) : .r = xi + yj + zk • Besarvektorr : . r = | r | = 2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

14. Bilapada tiap2titik (x,y,z) darisuatudaerah R dalamruang, dikaitkansebuahskalar(bilangan) φ(x,y,z) makaφdisebutfungsititikskalar (scalar point function),⇨ medanskalarContoh : 1. Temperaturdalamlaboratoriumkomputer. 2. φ(x,y,z) = x3y2+ y2z– xz2 • Jikapada tiap2titik (x,y,z) darisuatudaerah R dalamruang, dikaitkandengansebuahvektorV(x,y,z) makaVdisebutfungsititikvektor (vector point function) dandikatakansebuahmedanvektortelahdidefinisikandalam R. Contoh : 1. Kecepatanfluidaygbergerakdalampipa 2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k - Medan vektorstationerataukeadaansteady stateadalah.sebuahmedanvektorygtidakbergantungwaktu. 3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR

15. 1. Diketahui vektor2berikut, r = 〔〕, s = 〔〕,t = 〔〕Bila . 3r- 2s = -t, hitunglahnilai x dan y ? 2. Diberikanbeberapavektor, P = 〔〕, Q = 〔〕, R = 〔〕 dan .S = 〔〕.Tentukan nilai x dany,bilaPQ = RSdanbilaPQ = SR 3. KoordinattitikA( 2,-5) danvektorAB = 3i – 4j , hitunglah.koordinattitikB ? 4. Diberikanbeberapavektor, K= i - 2j + 2k, L= 2i - 4j - 4k .danM= 3i - 2j + 6k. Tentukanbesar : a. | K|, |L|, | M| .b. | K - L + M | c. 3K –L +2M 5. Diketahuimedanskalarygdidefinisikanφ(x,y,z)= 3x2y – xy3. + 5z2Tentukanφpadatitik-titik : 4. Contohsoal

16. a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ? Contohsoal – lanjutan

17. 1. 3r – 2s = - t .〔〕- 〔〕 = 〔〕.3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = -3 + 6 3y = 4 + 2 . x = 1 y = 2 2. PQ = RSPQ = SR PQ = q – p = 〔〕 = 〔〕SR = 〔〕.RS = s – r = 〔〕. 〔〕= 〔〕〔〕= 〔〕.4 = 2 - x-12 = y - 1 4 = x - 2 - 12 = y - 1 . x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13 Jawabancontohsoal

18. 3. AB = b – a = 〔 〕= ⇨ 3i -4j = 〔〕 = 〔〕 = 〔〕 3 = x-2 - 4 = y + 5 . x = 5 y = - 9 .Jadikoordinattitik B adalah B(5, -9) 4a. | K | = | i – 2j + 2k | = = = 3 .| L| = | 2i – 4j - 4k | = = = 6 .| M| = | 3i – 2j + 6k | = = = 7 4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k . | K– L + M | = = = 2 4c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = .7i – 6j + 22k Jawabancontohsoal– lanjutan

19. 5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2 φ(0,0,0) = 0 φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18 φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22 φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 = . = 31 Jawabancontohsoal – lanjutan

20. 1. Diketahuibeberapakoordinat vektor2 : .Apada (4,3), Bpada( 2,-8), C(x,3) danD(3,y). Tentukan.nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ? 2. KoordinatvektorK(3,-5, 4) danvektorKL = 2i – 3j + 5k .Hitunglahkoordinat L ? 3. Diberikanbeberapavektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k .dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S| + | T| . b. | R+ S + T | c. | 3R - 2S - T | 4. Tentukansebuahvektorsatuanygsejajarresultandarivek- . tor-vektorA = 5i + 4j + 2k danB = 3i + 2j + k ? 5. Sebuahbeban 50 kg digantungkanpadapertengahansebuah.talisepertipadagambar di bawah.Tentukantegangan T pada.tali ? 5. SoalLatihan/PR

21. . T1T2. 600600. T 50 kg SoalLatihan/PR – lanjutan

22. Pendahuluan • Padavektorterdapatduaperkalian, perkalianskalardan per- kalian vektor • Perkalianskalarduavektordinamakanhasil-kali titik(skalar) • Perkalianvektorduavektordisebuthasil-kali silang (vektor) • Hukum-hukumygberlakupadakeduaperkalianitu ; hasil-kali titikdanhasil-kali silang BAB 3. HASIL-KALI TITIK DANHASIL-KALI SILANG

23. PerkalianSkalarduabuahvektordisebutjugahasil-kali titikataudot product. • Hasil-kali titik (skalar) duabuahvektor, AdanB, ygdinyatakanolehA · B didefinisikansebagaihasil-kali antarabesarnyavektor2AdanBsertacosinusθantarakeduanya : .A · B = | A | | B | cosθdimana 0 ⩽ θ⩽ 𝜋 • Bila diketahuiA= 〔〕B = 〔〕maka, A · B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1z2), dimana| A |=dan | B |= • BilaA · B = 0 makaA ┴ BJadihasil-kali skalarduavektoradalahsuatubilangan(skalar) 1. Hasil-kali Titik (Skalar)

24. 4. Sifat-sifatperkalianskalarduavektoratauhukum-hukumpadahasil-kali titik : 1. A · B = B · AHukumKomutatif 2. A · (B + C) = A · B + A · CHukumDistributif 3. m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m 4. i · i = j · j = k · k = 1 . i · j = j · k = k · i = 0 5. A · A = | A |2 6. Bila : A = A1i + A2j + A3k danB = B1i + B2j + B3k, maka.A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3.A · A = | A |2 = A12 + A22 + A32.B · B = | B |2 = B12 + B22 + B32 Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan

25. Bila diketahuiA, Bdan < A · B = α, maka.cosα = = 8. Proyeksi orthogonal suatuvektorpadavektor lain .BilaCadalahproyeksiApadaB, maka a. Proyeksiskalar orthogonal (panjangproyeksi) vektor ApadaBadalah : C = hasilnyaskalar(bilangan) . b. Proyeksivektor orthogonal ApadaBadalah : .C = hasilnyavektor. 7. Besarsudutantaraduavektor

26. 1). Hasil-kali silang (vektor) dariduavektorAdanBadalah.sebuahvektorC = A x B. BesarA x Bdidefinisikansebagai.hasil-kali antarabesarnyaAdanBserta sinus sudurθ anta- .rakeduanya. ArahvektorC = A x Btegakluruspadabidang.ygmemuatAdanBsedemikianrupasehinggaA, BdanC.membentuksistemtangankanan. A x B = | A | | B | sin θu , dimana 0 ⩽θ ⩽ 𝜋 dan.- uadalahvektorsatuanygmenunjukkanarahdariA x B . - bilaA = BatauAsejajarBmaka sin θ = 0 dandidefinisi- .kanA x B = 0 2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product

27. a. A x B = - B x AhukumKomutatif. b. A x (B + C) = A x B + A x ChukumDistributif. c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m . d. i x i = j x j = k x k = 0 . i x j = k . j x k = i . k x i = j . e. BilaA = A1i + A2j + A3k danB = B1i + B2j + B3k, maka .A x B = 〔〕 f. BesarA x B = luasjajarangenjangdengansisi A, B g. BilaA x B = 0, AdanBbukan vektor2nol maka AdanBsejajar. 2). Hukum-hukumygberlakupadahasil-kali silang

28. 1. a. i · i = d. j · k = . b. i · j = e. j · (2i – 2j – 2k) = . c. i . k = f. (2i – j) · (2i – k) = 2. BiladiketahuivektorP = 2i – 2j – k danQ = i - 4j + 8k, .makatentukan : a. | P | c. P · Q. b. | Q | d. sudutθ. 3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dansudutantaravektorAdanB.adalah 60o. Tentukan | A – B | ? 4. BilasudutantaravektorK = i + j + a k danL = i - j . + a k, adalah 60oTentukanbesar a ? ContohSoalHasil-kali Titik

29. 1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – 2 - 0 = 2 . e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k . – 2j · i – j · k = 4 + 0 – 0 – 0 = 4 2a. | P | = = 3 b. | Q | = = 8c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18 d. cosθ = = = ⇨ θ= arc cos 0,667 = 48,50 3. | A – B |2 = | A |2+ | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 = 122 + 82 – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨| A – B | =4 JawabancontohSoalHasil-kali Titik

30. 4. K .L = | K | | L | cosθ⇨ cosθ = = cos 600 = = = -2 + 2a2 = 12 + 2 + a2 a2 = 5 a = = 2,2360 JawabancontohsoalHasil-kali Titik – lanjutan

31. 1a. i · (3i – 2j – k) = . b. (2i – j) · (i + 2j) . c. k · k = . d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] = 2. BilaP = P1i + P2j + P3k danQ = Q1i + Q2j + Q3k makabukti.kanP . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ? 3. Tentukansudutantara vektor2K = 2i + 2j – k dan.L = 6i – 3j - 2k ? 4. TentukanproyeksivektorA = i – 2j + k danB = -4i – 4j +7k SOAL LATIHAN/PR Hasil-kali Titik

32. Tentukanhasilnya : a. i x j = . b. j x k = e. j x j = h. i x k = . c. k x i = f. k x j = i. i x i = . d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k) j. 2j x i – 3k = • BilaP = 2i – 3j – k danQ = i + 4j - 2k, makatentukan a. P x Q = b. Q x P = c. (P + Q) x (P – Q) = • JikaK = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k danM = i – 2j + 2k carilah : a. (K x L) x M. b. K x (L x M) ? ContohsoalHasil-kali Silang

33. 1.a. i x j = k f. k x j = - j x k = - i . b. j x k = I g. (2i) x (-3k) = 3k x 2i = 6j . c. k x i = j h. i x k = - k x i = - j . d. 2i x 3k = - 3k x 2i = - 6j j. (2j x i) – 3k =(-i x 2j)-3k= - 5k 2a. P x Q= i j k .2 -3 -1 = i -3 -1- j2 -1 + k2 - 3 = 10 i + 3j + 11k.1 4 -2 4 -21 -21 4 metode lain : (2i -3j -k)x(i + 4j -2k)= 2i x(i + 4j -2k) – 3j x(i+4j-2k) . – k x(i + 4j -2k)= 2i x i + 8i x j – 4i x k + 3j x i – 12j x j + 6j x k – . k x i – 4k x j + 2k x k = 0 + 8k + 4j + 3k – 0 + 6i - j + 4i + 0 . = 10i + 3j + 11k ataupunmetodelainnya : (-3)(-2) – (-1)(4) 10 .(-1) (1) - (2) (-2) = 3 . (2) (4) - (-3) (1) 11 JawabancontohsoalHasil-kali Silang

34. 2b. (Q x P) = i j k . 1 4 -2 = (i + 4j – 2k) x ( 2i – 3j –k). 2 -3 -1 = i 4 -2 - j 1 -2 + k 1 4 = - 10 i – 3j – 11k . -3 -1 2 -1 2 -3 2c. P + Q = (2i – 3j – k) + (i + 4j – 2k) = 3i + j – 3k .P – Q = (2i – 3j – k) - (i + 4j – 2k) = i – 7j + k, maka (P + Q) x (P – Q) = (3i + j – 3k) x (i – 7j + k) = i j k .3 1 -3 = .1 -7 1.i 1 -3 - j 3 -3 + k 3 1 = - 20i – 6j – 22k .. -7 1 1 1 1 -7 .ataudenganmetode lain : JawabancontohsoalHasil-kali Silang– lanjutan

35. (P + Q) x (P – Q) = P x (P – Q) + Q x (P – Q) . = P x P – P x Q + Q x P – Q x Q = - P x Q – P x Q. = - 2 (P x Q) = - 2 (10i + 3j + 11k) = -20i – 6j – 22k 3a. (K x L) x M = K x L = i j k .3 -1 2 =- i + 7j + 5k maka. 2 1 -1 .(K x L) x M = (-i + 7j + 5k) x (i – 2j + 2k) = i j k .-1 7 5 = 24i + 7j – 5k .1 -2 2 3b. K x (L x M) = L x M = i j k .2 1 -1 = 0i – 5j – 3k . 1 2 -2 maka JawabancontohsoalHasil-kali Silang – lanjutan

36. K x (L x M) = (3i – j + 2k) x (-5j – 5k) = i j k . 3 -1 2 = 15i + 15j – 15k . 0 -5 -5 Jadi (K x L) x M≠K x (L x M), ygmemperlihatkanperlunyatandakurungdalam K x L x M untukmenghindaritafsirganda. JawabancontohsoalHasil-kali Silang – lanjutan

37. Hasil-kali titikdansilangdaritigabuahvektor A, B dan C dapatmenghasilkanhasil-kali ygmempunyaiartidalam bentuk2sbb : (A · B)C , A · (B x C) danA x (B x C). Hukum-hukumygberlakupadahasil-kali tripel : 1. (A · B)C≠ A(B · C) 2. A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) = volume sebuah.jajarangenjangruangygmemilikisisi-sisiA, BdanCatau.negatifdari volume ini, sesuaidenganapakahA, BdanC.membentuksebuahsistemtangankananatautidak. Bila.A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k danC = C1i + . C2j + C3k , maka : A · (B x C) = A1 A2 A3.B1 B2 B3.C1 C2 C3 3. Hasil-kali Tripel – triple product

38. 3. A x (B x C) ≠ (A x B) x CHukumAsosiatif 4. A x (B x C) = (A · C)B – (A · B)C.A x (B x C) = (A · C)B – (B · C) A 5. Hasil-kali A · (B x C) seringkalidisebuthasil-kali tripel.skalaratauhasil-kali kotakdandapatdinyatakandengan. 〔ABC 〕. Hasil-kali A x (B x C) disebuthasil-kali tripelvektor 6. DalamA · (B x C) seringkalitandakurungnyadihilangkan, .ditulissebagaiA · B x C. Sedangkantandakurungharus.dipakaidalamA x(B x C). Hasil-kali Tripel – triple product

39. BilaP = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j + R3k. BuktikanbahwaP · (Q x R) = P1 P2 P3. Q1 Q2 Q3 . R1 R2 R3 • BilaA = 2i – 3j , B = i + j – k ,C = 3i – k, hitunglahA · (B x C) • Tentukanpersamaanuntukbidangygditentukanoleh titik2 K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan M(-1, 3, 2) ? ContohsoalHasil-kali Tripel

40. P · (Q x R) = P · i j k.Q1 Q2 Q3.R1 R2 R3. = (P1i + P2j + P3k) · [(Q2R3- Q3R2) i + (Q1R3 – Q3R1) j + . (Q1R2 – Q3R1) k] .= P1(Q2R3- Q3R2 ) – P2 (Q1R3 – Q3R1) + P3 (Q1R2 – Q3R1) . = P1 P2 P3. Q1 Q2 Q3. R1 R2 R3 • Cara-1 A · (B x C) = (2i – 3j) · i j k.1 1 -1 = (2i – 3j +0) . (- i – 2j – 3k) .3 0 -1 = -2 + 6 +0 = 4 JawabancontohsoalHasil-kali Tripel

41. Cara-2 A · (B xC) = 2 3 0.1 1 -1 = - 2 + 6 = 4.3 0 -1 Cara-3 A · (B x C) = (2i – 3j + 0) · [(i + j – k) x (3i + 0 –k)] . = (2i – 3j + 0) · (3i x i – i x j + 3j x i – j x k – 3k x j + k x k . = (2i – 3j + 0) · (0 + j – 3k – i – 3j + 0) . = (2i – 3j + 0) · ( - i – 2j – 3k) . = (2)(-1) + (-3)(-2) + 0(-3) = 4 3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dansebarangtitik N(x,y,z) ada- .lah : A1 = 2i – j + k, A2 = 3i + 2j – k, A3 = - i + 3j – 2k dan. A = xi + yj + zk. JawabancontohsoalHasil-kali Tripel– lanjutan

42. Maka : NK = A – A1 = (x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k . LK = A2 – A1 = (3 – 2)i + (2 + 1)j + (-1 – 1)k = i + 3j – 2k . MK = A3 – A1 = (-1 – 2)i + (3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k Semuanyaterletakpadabidangygdikehendaki, sehingga : NK · (LK x MK) = 0 A – A1 · [(A2 – A1) x (A3 – A1)] [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · [(i + 3j –2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0 [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · (11i + 5j + 13k) = 0 11(x – 2) + 5(y + 1) + 13(z – 1) = 0 11x – 22 + 5y + 5 + 13z – 13 11x + 5y + 13z = 13 + 22 – 5 11x + 5y + 13z = 30 JawabancontohsoalHasil-kali Tripel – lanjutan

43. BiladiketahuivektorA = 3i – 2j , B = i + j – k danC = 3i – k makahitunglahA · B x C ? • Tentukanpersamaanbidangygditentukanolehtitik-titikA(2,1,1), B(3, 2, 1) danC(1, 3, 2) ? SoalLatihan/PR Hasil-kali Tripel

44. - Himpunan vektor2 A, B, CdanA’, B’, C’ disebuthimpunan.atausistem vektor2 resiprokalbila : A’ · A = B’ · B = C · C’ = 1 A’ · B = A’ · C = B’ · A = B’ · C = C’ · A = C’ · B = 0 - HimpunanA, B, CdanA’, B’, C’ adalahhimpunan vektor2 ..Resiprokaljikadanhanyajika : A’ = , B’ = , C’ = dimanaA · B x C≠ 0 4. Himpunan Vektor2Resiprokal (Reciprocal)

45. BiladiketahuivektorA = 2i + 3j – k , B = i – j +2k , danC = - i + 2j + 2k. Tentukansuatuhimpunanvektor-vektorResiprokalterhadaphimpunanvektor-vektortersebut ? • Dari ketentuan (rumus) di atasbuktikanbahwa A’ · A = B’ · B = 1 ? ContohsoalVektor-vektorResiprokal

46. A’ = , B’ = danC’ = B x C = i j k.. 1 -1 2 . -1 2 2 = i(2) – j(0) + k = 2 i – 0j + k A · B x C = (2i + 3j –k ) · (2i – 0 – k) = 4 + 0 -1 = 3 A’ = = = i + k C x A = i j k.-1 2 2 .2 3 -1 = i (-8) + j (3) – k (-7) = - 8i + 3j – 7k B’ = = = - i + j - k A x B = i j k . 2 3 -1 . 1 -1 -2 = i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i + 3j – 5k C’ = = = - i + j - k JawabancontohsoalVektor-vektorResiprokal

47. 2. A’ · A = B’ · B = 1 A’ · A = A · A’ = A · = = 1 B’ · B = B · B’ = B · = = 1 JawabancontohsoalVektor2Resiprokal - lanjutan

48. 1. Tentukanhimpunanvektor-vektorresiprokalterhadaphimpunan.vektorP = 2i + 2j + 3k, Q = i + j + 2k danR = i + 2j + 2k ? 2. Tentukanhimpunanvektor-vektorresiprokaldaribeberapavektor.ini, K = (1, 0, 2) , L = (3, 1, 2) danM = (-2, 1 , 3) ? SoalLatihan/PR Vektor2Resiprokal

49. Pendahuluan - Padababiniterdapat 5 sub-babygperludiketahui - Ke-5 sub-babitumerupakandasardaridiferensiasivektor - Lima sub-babygdipelajarimeliputi : .a. TurunanbiasaVektor : turunanpertamadankeduadarivektor. b. Kurva-kurvaRuang : turunanpadasuatulintasantertentu. c. KontinuitasdanDiferensiabilitas : fungsiskalardanvektor. d. RumusDiferensiasi : fungsiskalardanvektorygdiferen- .siabel. e. TurunanParsialVektor : turunanyglebihdarisatuvariabel. BAB 4. DIFERENSIASI VEKTOR

50. Bila R(u) adalahsebuahvektorygbergantungpadasebuahvariabelskalartunggal u, maka : = dimana∆u menunjuk- kansuatupertambahandalam u. .R(u+∆u)∆R = R(u+∆u) – R(u)..R(u) TurunanbiasadarivektorR(u) terhadapskalar u : . = lim = lim.∆u→ 0 ∆u→ 0 karena = sebuahvektorygbergantungpada u, makadapat di- tinjaulagiterhadap u. Bilaturunaniniada, makadinyatakanoleh 1. TurunanBiasaVektor