矩 阵 总 结

1. 矩 阵 总 结 一.矩阵的概念和运算 二常用的特殊矩阵 三. 矩阵的主要性质 四.矩阵的分块

2. 一. 矩阵的概念和运算 1.矩阵A：矩阵A是指数域F上的m行n列的数表 其中 2.矩阵行列式|A|： 方阵A所对应的行列式叫做矩阵A的行列式，记为detA=|A| 当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵. 当|A|=0时，A称为奇异矩阵.

3. 3. 矩阵的相等： 行列数分别相等，即 各对应位置元素分别相等，即 4. 矩阵集合: M(F)指数域F上矩阵的全体;Mmn(F)指数域F上m×n矩阵的全体; Mn(F)指数域F上n阶方阵的全体. 这些都是矩阵的集合.

4. 5 .矩阵的运算与运算律： 1） 数乘运算： 运算规律为： 满足结合律： 满足交换律： 矩阵对数的加法可分配：

5. 2）加法运算 （注意，仅对行列数分别相等的矩阵可加） 其运算规律为 满足交换律： 满足结合律： 具有恒等性： 零矩阵 使得 使得 具有相反性： 负矩阵 数对矩阵加法可分配： 对 有 可移项：即

6. 3）乘法运算： （注意，仅当A的列数等于B的行数时可乘。） 其运算规律为 满足结合律： 不满足交换律，即一般地 满足分配律： 存在零因子： 使得

7. 4）方阵A的幂： （r为非负整数） r个 单位矩阵 由此可知 则矩阵多项式 若

8. 5)矩阵 的转置： ，其中 其运算规律为 保持矩阵加法： 保持矩阵的数乘运算： 保持矩阵乘方： 其中A为方阵，r为非负整数； 保持反身性： 反序律成立： 的实方阵 正交矩阵A:满足

9. 二、常用的特殊矩阵 1.由零元素位置决定的特殊矩阵： 对角矩阵 单位阵1 纯量矩阵 零阵0 三对角矩阵 是指当 时 的n 阶矩阵B,即

10. 三角形矩阵 则 若 称为上三角矩阵： 则 若 称为下三角矩阵：

11. 上梯形矩阵 下梯形矩阵

12. 定理1若C是纯量矩阵，A是任意方阵，则 CA=AC=cA 对任意方阵C,必存在下三角阵A和上三角阵B,使得C=AB. 定理2 实数矩阵间的关系图: 梯 角 形 阵 三 实 形 对 纯 方 角 单 三 量 位 阵 对 阵 阵 阵 阵 零 角 阵 阵 实 矩 阵

13. 2.由方阵乘幂决定的特殊矩阵： 幂等矩阵：使得A2=A的矩阵. 幂零矩阵：使Ak=0的矩阵. 么幂矩阵：使得Ak= I的矩阵．对合矩阵：k=2时的么幂矩阵. 乘幂矩阵关系图 方 阵 实 么 幂 单 幂 零 幂 等 位 零 阵 阵 阵 阵 阵

14. 3.由矩阵转置决定的特殊矩阵： 使得 它保持 对称矩阵 （为正整数）， 使得 它保持 反对称矩阵 ， ； 对称阵，r为偶数时； 且 反对称阵，r为奇数时。 定理：对任意n阶方程B都有 其中， 分别为对称阵和反对称阵。 =A A=I的实方阵 ； 正交矩阵：满足条件AA

15. 特殊的实矩阵集合 实 方 阵 反 对 称 非 奇 阵 正 阵 零 异 对 单 交 位 阵 称 阵 阵 阵

16. 三. 矩阵的主要性质 1.初等变换与初等矩阵： （1）矩阵A的三种初等变换 交换A的某 两行（列） 用 乘以某行（列） 乘以某行（列） 用 后加到令一行列

17. i 交换第I、j 行(列) I j 因为 可逆，且 2) 初等矩阵：对单位矩阵I进行一次初等行（列）变换后所得的矩阵.

18. 第i行（列） 乘以 I 因为 可逆，且 第j行（i 列）乘k 加到第r行（j 列） I 因为 可逆，且 i i j

19. 对矩阵 实行行（列）初等变换，相当于矩阵 左（右）乘以相应的m(n)阶初等矩阵；即 i j j i (3).初等变换与初等矩阵的关系：

20. i j i i

21. （故可用初等变换求A的秩） 一系列初等变换 等价 矩阵 （存在可逆的s 阶矩阵p及可逆的n 阶矩阵Q，使得B=PAQ。） （4）等价矩阵及其性质：

22. （5）初等变换的性质: 实施第三种初等变换 对 实施初等变换 m n 对 且 m n

23. 2.矩阵的秩： （1）定义与性质 注意，矩阵子式的定义与行列式子式的定义类似，即矩阵的子式是行列式 A中含有非零的r 阶子式，但所有的r+1 阶子式全为零。 矩阵A的秩等于r 矩阵A中不为零的子式的最大阶数为r,且r=0A=0 r=n的n阶方阵称为满秩阵或非退化矩阵 （2）矩阵乘积的秩的定理: 若A 满秩 设

24. 也可逆，且 也可逆，且 也可逆，且 A 逆阵唯一，记作 A可逆 AB也可逆，且 aA也可逆, 且 B可逆 3.可逆矩阵 1）A、B为数域F上的n阶方阵，A为可逆阵 B，使AB=BA=I; 称B为A的逆。 2）可逆矩阵的性质：

25. （3）矩阵可逆的充要条件： 可逆，即A=I即 A的行（列）向量组 A I 线性无关 初等变换 B，使得AB=BA=I 其中 A可逆 为初等矩阵 A 非奇异，即 A满秩，即 B可逆，且

26. 若 是A的伴随阵 3）伴随矩阵及其性质，若 则称 （是的代数余子式，），且： （4）逆矩阵计算方法： 1) 公式法 其中 是A 的伴随阵 2）初等变换法 初等变换 4.矩阵乘积的行列式定理：若A、B 都是方阵，则 AB|=|A||B|

27. 四. 矩阵的分块 1.分块矩阵的概念: 分块矩阵,即在一个矩阵的行和列之间加上一些横线和竖线,将它 分成若干小块(子矩阵)的矩阵. 其目的是为了简化高阶矩阵的运算. 2.分块矩阵的运算性质: 分块矩阵的运算可注意以下四点: 1)分块矩阵可进行加、减、数乘、乘法、转置、共轭. 2)运算所需条件，与不分块的矩阵一致. 3)运算时，先将子矩阵当作“数” 来处理，然后再按矩阵进行运算. 4)运算结果，可以用不分块时的运算来检验.

28. 3 .主要的分块矩阵： 准对角矩阵 其中 都是方阵，显然 准上三角矩阵 其中 是n 阶方阵，