Funkce

1. Definice 3. Funkce • Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny: • K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- • finiční obor. • Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvy- • kle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. 1 1 1 -1 -1 1 1 Funkce • Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, • jsou různé! Různá zobrazení, liší se v definičních oborech

3. 1 -1 1 Graf funkce • Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadné- • ho systému. obor hodnot definiční obor Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ).

4. Graf funkce y argument funkční hodnota Protože funkční hodnota funk-ce f(x) se obvykle značí pís-menem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno-ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem pří-slušné fyzikální veličiny. Protože argument funkce f(x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v přípa-dě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny. x

5. Graf funkce • Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- • stavuje funkci. Funkce zaznamenatelné do grafu Funkce, kterou nelze znamenat do grafu? Dirichletova funkce

6. 1 0 Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení. Graf funkce • Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- • stavuje funkci.

7. Definice 15. Definice 16. Operace s funkcemi • Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je • nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor. Buďte f a g funkce, Dfg = Df∩ Dg neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí. Buďte f a g funkce, Hgje podmnožinouDfSloženou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.

8. Složené funkce • Příklady na složené funkce :

9. Složené funkce • Příklady na složené funkce :

10. Definice 16. Vlastnosti funkcí Nechť funkce f s definičním oboremDfmá následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni Lichá funkce : f(x) = x3 Sudá funkce : f(x) = x2-1

11. Definice 17. -2π -π π 2π Vlastnosti funkcí Nechť funkce f s definičním oboremDfmá následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f. Periodická funkce : f(x) = x-[x] Periodická funkce : f(x) = sin(x) 1 -1 p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1 p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π

12. Definice 18. -4π -2π 2π 4π Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Funkce se nazývá zdola omezená na množině M, platí-li Funkci nazveme shora omezená, platí-li Funkce omezená shora Funkce omezená zdola Funkce omezená shora i zdola

13. Vlastnosti funkcí f(x) = x2-1 omezená zdola na M = Df f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -1,+1 > +1 -1 +1 -1 f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -2,+2 > -1 +1

14. +1 +1 Vlastnosti funkcí f(x) = 1/x omezená shora na M = (+∞,0) f(x) = 1/x omezená zdola na M = (0,+∞) +1 +1 +1 +1 f(-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu!

15. Definice 18. Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Říkáme, že funkce má na množině M v bodě aM maximum, platí li Funkce má na množině M v bodě aM minimum, platí li f(x) = x2-1 má minimum v a = 0 na M = Df f(x) = -x2+5x-1 má maximum v a = 2.5 M = Df 2 1 -1 1 1 2 4 3 -1

16. max max min min max max min min Vlastnosti funkcí

17. max max max max max max Definice 19. min min min min min Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df. Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum).

18. Definice 20. Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Říkáme, že funkce je na množině Mrostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li respektive f(x1) ≥f(x2), f(x1) < f(x2), f(x1) >f(x2) . ostře rostoucí rostoucí klesající ostře klesající

19. Definice 4. Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df. Říkáme, že funkce je prostá, platí li NE – prostá funkce prostá funkce

20. Definice 21. Vlastnosti funkcí Buď f je prostá funkce, DfaHf její definiční obor a obor hodnot. Funkci nazveme funkcí inverzní k f. prohodit osy

21. Vlastnosti funkcí Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle osy kvadrantů 1 a 3. Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá. Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je. Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.

22. Vlastnosti funkcí y = 2x + 1 1 y = ½x + ½ -1 1 -1

23. y0 y0 y0 Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y0 změ-nou funkčního předpisu z y na x

24. x0 x0 x0 Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x0 změ-nou funkčního předpisu z y na x

25. Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změ-nou funkčního předpisu z y na x

26. Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změ-nou funkčního předpisu z y na x Pozn.: na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.

27. Shrnutí • Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé • Funkci určuje Dfa přiřazení (funkční předpis) • Některé funkce lze zaznamenat do grafu • Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat • Definujeme funkci sudou a lichou • Definujeme funkci periodickou • Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou • Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a • maxima • Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí • Definujeme funkci inverzní • Graf funkce lze snadno posunout či převrátit