Bentuk Kuadrat dan Distribusinya

1. Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuahmatrik A berordo k x k dan merupakansebuahvektorkolomdarivariabelriildenganukuran k x 1 , maka q=y΄Ay disebutbentukkuadratdalam y dan A disebutmatrikdaribentukkuadrat.

2. y adalahvektorkolom k x 1, maka y΄adalahvektorbaris 1 x k. Sehingga q=y΄Ay adalahmatrik 1 x 1 dimanaelemennyaadalahfungsidarivariabel-variabel y1, y2, … , yk. • Jika y1, y2, … , ykmerupakannilainumerikmaka q adalahsuatuskalar. • q merupakanfungsidalambentukmatrik, jikadinyatakandalambentukjumlahkuadratdanbentukperkaliandari y, makabentuknyaadalah

3. Definisi 2.2. Bentuk kuadrat y΄Ay disebut positive definite jika y΄Ay>0 untuk semua y≠0, disebut positive semidefinite jika y΄Ay≥0 untuk beberapa y≠0. Theorema 2.1. Matrik simetris A adalah positive definite jika dan hanya jika semua nilai akar cirinya positif. Theorema 2.2. Matrik simetris A adalah positive semidefinite jika dan hanya jika semua akar cirinya tidak negatif dan minimal satu akar ciri sama dengan nol.

4. Theorema 2.3. Misalkan A adalah matriks positive definite yang dinyatakan dalam bentuk pastisi sebagai berikut: dimana A11 dan A22 adalah matrik bujur sangkar. Mis juga B=A-1 dimana Dan dimensi dari B11 dan B22 sama dengan dimensi dari A11 dan A22. Maka

5. Turunan dari Bentuk Kuadrat • Suatuskalar z dapatdinyatakansebagaifungsidari k variabel y1, y2, … , yk : z=f(y1, y2, … , yk)=f(y) • Kita dapattentukan k turunanparsialdarifungsi di atas, denganditurunkanterhadapsetiapvariabel y.

6. Contoh: dan Diketahui bentuk kuadrat z=y΄Ay, dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

7. Turunan parsialnya adalah: sehingga:

9. Definisi 2.3. [Ekpektasi dari vektor random] Vektor dari random variabel E[yi]=μi, i = 1, 2, …, k , maka

10. Rules of Expectation • Jika a sebuahvektorbilanganriil, maka E[a]=a • Jika a sebuahvektorskalar k x 1 dan y random vektor k x 1 denganekpektasiμ, maka E[a΄y]=a΄E[y]= a΄μ • Jika A matrik n x k dan y vektor random k x 1 denganekpektasiμ, maka E[Ay]=AE[y]=Aμ

11. Varians dari vektor random Varians dari variabel random individual Y adalah nilai harapan dari variabilitas pengukuran dari Y disekitar rata-ratanya μ. Pada dua variabel Yi dan Yj dengan rata-ratanya adalah μi dan μj, covariansnya adalah cov[Yi,Yj]=E[(Yi- μi)(Yj- μj)].

12. Definisi 2.4 Misal: adalahvektor random denganvar Yi=σij=σi2, i= 1, 2, …, k cov(Yi, Yj)= σij, i≠j; dan E[Y]=μ,. Variansdari Y, dinotasikandenganvar Y atau V, adalahmatrik k x k : Var Y = V = E[(Y-μ)(Y-μ)΄]

13. Rules of Variance • Jika Y sebuahvektorrandom denganVar Y = V. Dan Z= a΄Y dengan a vektorbilanganriil, makaVara΄Y = a΄Va • Jika Y sebuahvektorrandom Var Y = V, A matrik k x k, dan Z = AY makaVar Z = AVA΄

14. Misal adalah vektor random dengan var yi = σ2, i=1,2,3. Asumsikan bhw y1 , y2 , y3 independen dan berdampak σ12 = σ13 = σ23 = 0. Matriks variance-covariance dari y adalah: Asumsikan bhw X adalah matrik rank penuh berukuran n x k, sehigga X´X mrpk matrik nonsingular.

15. Jika diketahui z = (X´X )-1 X´y Berdasarkan aturan 2 dengan A = (X´X )-1 X´, diperoleh var z = AVA´= (X´X )-1 X´ σ2I [(X´X )-1 X´]´ = (X´X )-1 X´ (X´)´[(X´X)-1]´ σ2 = (X´X )-1 X´X [(X´X)´] -1 σ2 = (X´X )-1σ2

16. Theorema Mis y adalah vektor random k x 1 dengan E[y]=μ dan var y = V. Dan A adalah matrik bilangan riil berukuran k x k. Maka E[y´Ay]=tr(AV)+ μ ´Aμ Bukti: Untuk i≠j σij=E[yi, yj]- μiμj Untuk i=j σij= σii =E[yi2]- μi2