1 Conceptos básicos

1. 1Conceptos básicos Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg

2. Índice • Introducción • Métodos matriciales: relaciones básicas • Discretización: barras y nudos • Métodos de compatibilidad y equilibrio • Conceptos de matriz de rigidez y flexibilidad Guillermo Rus Carlborg

3. Conocimientos previos • Mecánica de medios continuos: • Esfuerzo + Tensión + Deformación + Desplazamiento • Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad • Resistencia de materiales – Vigas: • Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada • Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas • Álgebra matricial: • Operación con matrices, propiedades Guillermo Rus Carlborg

4. Introducción • Método matricial: • Generaliza métodos de Maxwell, Mohr, S-XIX • Métodos: • Peligros: • Olvidar la física Ordenador Específicos por tipologías Generales Solución • Conocer: • Fundamentos • Limitaciones Guillermo Rus Carlborg

5. Métodos matriciales: relaciones básicas • Barra (1D) prisma recto Placas, láminas, sólidos (2D, 3D) • Diagrama de Tonti Guillermo Rus Carlborg

6. Discretización: barras y nudos Número finito n=GDL Idealización de Resistencia de materiales Discretizar Representación en función de los extremos Guillermo Rus Carlborg

7. Discretización: barras y nudos • Grados de libertad (GDL) = número de coordenadas a fijar para que su movimiento quede determinado unívocamente • Se pueden definir GDL de desplazamientos o fuerzas Guillermo Rus Carlborg

8. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

9. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

10. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática Equilibrio Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

11. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

12. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos liberados Sistema de ecuaciones → fH Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

13. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos liberados Sistema de ecuaciones → fH Postproceso u(fH) Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

14. Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos liberados Sistema de ecuaciones → fH Postproceso u(fH) Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Incógnitas = desplazamientos u Tantas como GDL Compatibilidad Comportamiento Equilibrio en todos los GDL Sistema de ecuaciones → u Postproceso: f,p(u) Métodos de compatibilidad y equilibrio Guillermo Rus Carlborg

15. Matriz de Rigidez y Flexibilidad k= rigidez del muelle • Concepto: • Intuitivamente: a= flexibilidad del muelle Guillermo Rus Carlborg

16. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Generalización a una estructura: • Varios GDL → forma matricial Matriz de rigidez nxn Matriz de flexibilidad nxn n=GDL Guillermo Rus Carlborg

17. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Sentido de K (matriz de rigidez): • Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0 • Consecuencia: diagonal > 0 Guillermo Rus Carlborg

18. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Sentido de A (matriz de flexibilidad): • Aij es el desplazamiento en i cuando fj=1, fj=0 Guillermo Rus Carlborg

19. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Sentido de K (matriz de rigidez): • Ejemplo: Guillermo Rus Carlborg

20. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Sentido de K (matriz de rigidez): • Ejemplo: Guillermo Rus Carlborg

21. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Sentido de K (matriz de rigidez): • Ejemplo: • No lo haremos así: automatizaremos Repetir el ejercicio para la matriz de flexibilidad A Guillermo Rus Carlborg

22. Matriz de Rigidez y Flexibilidad • Simetría: • Teorema de reciprocidad: • Definimos los estados A y B: • Generalizando: Guillermo Rus Carlborg

23. Resumen • Diagrama de Tonti: • Discretización: → GDL • Métodos de rigidez / flexibilidad • Matriz de rigidez: Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0 Guillermo Rus Carlborg