Vermischungsvorgänge

1. Vermischungsvorgänge Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern W. Kinzelbach, O. Cirpka SS 06

2. Molekulare Diffusion (1) • Angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung • Nur wichtig in Grenzschichten und bei Transport über sehr kleine Distanzen • Beschreibung durch das Fick‘sche Gesetz • Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung • Diffusionsgleichung • Diffusionskonstante ist Produkt aus mittlerer molekularer Geschwindigkeit und mittlerer freier Weglänge (+ Anfangs- und Randbedingungen)

3. x Molekulare Diffusion (2) • Asymptotik • Wachstum der Verteilungsbreite proportional • Nach Einstein: Molekulare Diffusion ist Random Walk Prozess • Z. B. in 1D entlang x-Achse: Schrittweite L in Zeit t, N Schritte in Zeit t (N = t/t) Beweis durch vollständige Induktion. Aus Richtigkeit für N folgere Richtigkeit für N+1

4. Turbulente Diffusion (1) • Angetrieben durch Turbulenz (Wirbel) • Taylor‘s Theorie der turbulenten Diffusion (im mitbewegten Koordinatensystem d.h. <u>=0) Ensemblemittel

5. 1 t Turbulente Diffusion (2) • Lagrange‘sche Autokorrelationsfunktion für stationäre Turbulenz R(t) Lagrangesche Zeitskala Ersetze s = t2 - t1, t = (t1 + t2)/2 Analog für

6. Turbulente Diffusion (3) • Grenzbetrachtungen • Für sehr kleine t ist Rx ungefähr 1 also kein Diffusionsprozess da proportional zu t2 • Für sehr grosse t (t > TL) • Turbulenter Diffusionskoeffizient

7. Turbulente Diffusion (4) • Zwischen beiden Zeitskalen Richardson/Batchelor • Betrachte relative Diffusion bezüglich Schwerpunkt 4/3-Gesetz empirisch bestätigt in „grossen“ Strömungen Ursache: Energiedichtespektrum der Wirbel, die Energie von grosser zu kleiner Skala transportieren

8. Turbulente Diffusion (5) • Drei Ausbreitungsstadien • Differentielle Advektion • Zwischenbereich • Asymptotische Fick‘sche Diffusion

9. Formeln für die turbulente Diffusion (1) Vertikale turbulente Mischung im breiten Fluss Karmankonstante k Log-Profil: z z‘ und mit zb Reynoldsanalogie d.h. Annahme der Analogie zwischen turbulentem Impulstransport und turbulentem Transport des gelösten Stoffes Mittelung von hturb über die Tiefe und k = 0.4 liefert

10. Formeln für die turbulente Diffusion (2) Transversale turbulente Mischung Empirischer Ansatz in Analogie zur vertikalen Mischung mit e* = 0.2 ... 0.8 Fischer e* = 0.6

11. b y x Dispersion in scherenden Strömungen • Laminarer Fall: Taylor (2D Strömung zw. Platten, Breiteneinheit) Transformation ins mitbewegte Koordinatensystem Vernachlässigung des longitudinalen Diffusionsterms Annahme: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und lateraler Diffusion

12. Reynolds-Zerlegung im Raum bei Dispersion in Zeit bei turb. Diffusion

13. Lösung Einsetzen liefert den Massenfluss über den Querschnitt Identifikation mit einem Fluss-Gradienten-Gesetz liefert die Definition des Dispersionskoeffizienten Dx

14. Analog: Herleitung des Dispersionskoeffizienten in turbulenter Strömung • Ausgangspunkt: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und transversaler turbulenter Diffusion • Im mitbewegten Koordinatensystem x = x – ut gilt: (*) Sowohl vertikales u‘-Profil als auch horizontales u‘-Profil wirken bei der Längsdispersion mit. I. Allg. ist das Querprofil wichtiger, da das log. Tiefenprofil ausgeglichener ist. Gleichung (*) wird deshalb tiefengemittelt

15. Lösung • Zweimalige Integration über y von 0 bis y liefert • Daraus folgt der dispersive Massenfluss • und durch Vergleich mit der Fluss-Gradienten-Form der Dispersionskoeffizient Dx (**)

16. Formeln für die Dispersion • Formel von Fischer (aus (**) formal durch Einsetzen von konstanter Tiefe) u‘ aus gemessenen Profilen • Näherungsformel für (***) • Werte für den Rhein: Dx = 100 – 1000 m2/s • (***)

17. Analytische Lösungen der Transportgleichung (1) • Momentaner Tracerstoss • Permanente Tracereinleitung • Tracerstoss der Dauer Dt

18. Analytische Lösungen der Transportgleichung (2) • Stationäre Lösung ( t gegen unendlich in cpermanent) • Für x > 0: • Für x < 0: • Anwendung: Bestimmung des Dispersionskoeffizienten in einem gut durchmischten Ästuar aus Salinitätsverteilung (l = 0) „Upstream“ Dispersion Meer c = c0 x > 0 Ästuar c < c0 x > 0 x = 0

19. u y s(x) x Analytische Lösungen der Transportgleichung (3) • Stationäre Lösung für Fahne in Ufernähe • Approximation falls: • Fahnenbreite Methode zur Messung von ey im Tracerversuch K0 ist eine Besselfunktion) Falls Anfangsbreite >0

20. Probleme der 1D-Behandlung • 1D-Modell in natürlichen Flüssen oft nicht bestätigt, Totwasserzonen!! • Ausweg: Heterogenes Modell (2 Transportgleichungen) • Anwendbarkeit des 1D-Modells erst nach Fliesslänge L mit Hauptfluss u < 0 Totwasser u = 0

21. Tiefenmischung in Seen • Tiefenmischung in Seen wird behindert durch stabile Dichteschichtung • Dichteschichtungen kommen zustande durch: • Temperaturgradienten • Salinitätsgradienten • Stabile Schichtung: • Stabil bedeutet: Wasserpaket kehrt nach Auslenkung in die Ausgangslage zurück

22. Stabilitätsfrequenz (1) • Infinitesimale Auslenkung eines Wasserpakets mit Masse m, Volumen V um Strecke z führt zu Auftriebskraft: • Das Wasserpaket schwingt mit der Frequenz N (T = 2p/N) • N heisst Stabilitätsfrequenz (oder Brunt–Väisälä-Frequenz) z z

23. Stabilitätsfrequenz (2) • Bei negativem N ist die Schichtung instabil • Der vertikale Mischungskoeffizient ist ein Funktion von N • Falls auch die Salinität an der Dichteverteilung über die Tiefe beteiligt ist, gilt: • Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Dichte vom Druck, so muss die potentielle Temperatur q statt der tatsächlichen Temperatur T betrachtet werden, d.h. die um den adiabatischen Temperaturverlauf bereinigte Temperaturverteilung (erst im tiefen Ozean wichtig)

24. Vertikale turbulente Vermischung • Turbulente Vermischung wirkt der stabilen Schichtung entgegen • Instabile Schichtung erzeugt konvektive Turbulenz und damit Vermischung • Bezogen auf die Masse • N2 < 0 Turbulenz wird angefacht, N2 > 0 Turbulenz wird gedämpft

25. Charakteristische dimensionslose Zahl • Gradienten-Richardson-Zahl: • Vergleicht die relative Wichtigkeit von Turbulenz und Stratifikation • Definition: Stratifikation Produktion von Turbulenz

26. Vertikaler Vermischungskoeffizient • Empirische Ansätze haben die Form: • Messung von ez aus Spurenstoffprofilen (z. B. Radon) oder Temperaturprofilen