1654 : Echange de lettres avec Blaise Pascal sur le

1. Pierre FERMAT Né à Beaumont-de-Lomagne dans la première décennie du 17ème siècle. Magistrat de profession 1636 : Entre en contact épistolaire avec le cercle mathématique parisien de Marin Mersenne. Echange informations, problèmes, manuscrits, avec Roberval, Descartes, Pascal, Mersenne et bien d’autres… 1637 : « Ad locos planos et solidos isagoge » qui annonce une voie générale pour résoudre certains problèmes géométriques en leur associant une équation algébrique. Fermat y donne les équations correspondant à la droite, au cercle, à la parabole, etc. 1654 : Echange de lettres avec Blaise Pascal sur le calcul des chances, en particulier la répartition équitable de gains entre les joueurs lorsqu’une partie est interrompue avant que le nombre des points convenus pour gagner soit atteint. Sont mises en avant l’espérance et l’idée de probabilité conditionnelle. 1659 : Fermat explicite sa méthode de la descente infinie et donne une liste de problèmes sur les entiers qu’elle peut résoudre (dont les premiers cas du Grand Théorème). 1660 : Controverse avec les épigones de Descartes sur la loi de la réfraction: partant du principe que « la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples » « ou en tout cas par le temps le plus court », Fermat ramène la réfraction à une question géométrique d’extremum. 1665 : Mort à Castres.

2. Le grand théorème de Fermat 1665. « Il n'est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d'exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant. » 1843. Kummer introduit un nombre imaginaire z telle que l’équation an +bn = (a+b)(a+ zb)... (a+ zn-1b) soit vraie pour tous nombres a et b. Ce nombre vérifie en particulier zn=1. En utilisant son arithmétique, Kummer démontra le théorème de Fermat pour toute une famille d'exposants, en particulier pour presque tous les exposants plus petits que 100. Les nombres complexes tels que z7=1 1971. Le mathématicien français Yves Hellegouarch relie l'équation de Fermat à la courbe d’équation y2 = x(x-an)(x+bn). Chaque solution éventuelle de l'équation de Fermat définit les coefficients d'une telle courbe particulière, qu'on appelle courbe elliptique. 1985. L’américain Ken Ribet montre, grâce à cette interprétation géométrique, que le théorème de Fermat serait vrai si on arrivait à établir un dictionnaire entre les courbes elliptiques et des fonctions dites « modulaires » (conjecture de Shimura-Taniyama-Weil). 1995. En établissant une partie suffisamment importante de ce dictionnaire le mathématicien anglais Andrew Wiles acheve la preuve du théorème. There's no other problem that will mean the same to me. I had this very rare privilege of being able to pursue in my adult life what had been my childhood dream. I know its a rare privilege but I know if one can do this it's more rewarding than anything one can imagine.

3. Labyrinthes Qui n’a jamais rêvé de pouvoir se sortir à coup sûr d’un labyrinthe? On arrivera parfois au centre du labyrinthe en posant la main sur la première haie rencontrée et en faisant le tour. Cela fonctionnera bien pour les labyrinthes anciens, du type « Chartres ». Pavement de la cathédrale de Chartres Pavement de la cathédrale de Saint Omer. Pour cela à chaque labyrinthe on associe un graphe : des points reliés entre eux par des arêtes. En explorant un labyrinthe, seuls comptent les points où nous avons eu à prendre une décision : les carrefours. Sur une feuille de papier, notons tous ces points, et à partir de chacun, dessinons un lien vers chaque autre point qui peut être atteint dans le labyrinthe. Graphe associé Labyrinthe Carrefours Trouver un itinéraire menant de l'entrée à un point donné ou « centre » du labyrinthe – et retour est un problème de parcours de graphe qui a été résolu par le mathématicien Leonhard Euler. Si le graphe n'a que des points par lesquels partent deux arêtes, on peut faire un tel itinéraire en partant de n'importe quel point. C’est la cas plus généralement si un nombre pair d’arêtes part de chaque point. C’est encore le cas s’il y a exactement deux nœuds impairs et sinon c’est impossible.

4. Johannes KEPLER 1571. Naissance à Weil der Stadt, en Souabe, 1589. Entre à l’université de Tübingen. Y suit aussi les cours de l’astronome Michael Maestlin, avec qui il restera en contact amical et qui lui fait connaître le système copernicien. 1594. Professeur et mathématicien à Graz : enseigne, établit le calendrier, fait des pronostics pour le temps, les récoltes, les événements politiques etc. 1609.Nouvelle Astronomie. Kepler a mis en évidence que Mars décrit une ellipse, avec le Soleil à l’un des foyers, et que la droite joignant Mars au Soleil balaie des surfaces égales en des temps égaux quand la planète décrit son orbite (étendues à toutes les planètes, ce sont les deux premières « Lois de Kepler »). 1611. Kepler publie l’Etrenne ou la neige sexangulaire, où il étudie les arrangements denses de gouttes sphériques et affirme que l’empilement le plus serré dans l’espace est hexagonal. 1619. Harmonie du Monde : détermination des polyèdres convexes réguliers et troisième loi de Kepler liant la taille des orbites aux périodes de révolution. 1624. Explication des logarithmes. 1627. Nouvelles tables astronomiques très précises et largement utilisées pour le calendrier religieux, l’astronomie et la navigation. 1630. Mort à Regensburg, au cours d’un voyage. Le Mystère du Monde selon Johannes Kepler

5. La conjecture de Kepler « Les rangs sont d’abord ajustés en plan. Ils seront en carré et chaque globe du rang supérieur se trouvera entre quatre du rang inférieur. L’assemblage sera très serré, de sorte qu’ensuite aucune disposition ne permettra un plus grand nombre de globules dans le même récipient. » Pour démontrer la conjecture de Kepler, il faut se donner des outils afin de confirmer ce qui est intuitivement clair. À tout remplissage de l’espace par des globules (sphères), on associe un « réseau » de points : le réseau des centres de ces sphères. On appelle diagramme de Voronoï ce maillage de l'espace. Les diagrammes de Voronoï sont également fréquemment rencontrés pour représenter des phénomènes de croissance que ce soit des cristaux ou de l'univers. On les utilise également pour modéliser la structure des protéines : chaque point est alors le site d’un acide aminé. Citons, comme utilisations, l'étude de la compressibilité des protéines, la détection des cavités à l'intérieur des protéines, l’étude des interactions entre résidus aromatiques etc. On les trouve dans la nature sur la carapace d'une tortue ou sur le cou d'une girafe réticulée.

6. CONDORCET 1743 : Naissance de Marie Jean Antoine Nicolas Caritat de Condorcet, à Ribemont (Picardie) 1761 : Présentation de son premier mémoire de mathématiques à l’Académie des sciences de Paris. Le rapport est négatif. 1765 : Du calcul intégral. 1771: A la demande de d’Alembert, il commence à rédiger des articles de mathématiques pour le Supplément à l’Encyclopédie (publié en 1776-1777). 1778 : Traité du calcul intégral (resté inédit), théorie générale de l’intégration et des équations différentielles. 1785 : Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, théorie des élections, mettant en évidence le phénomène dit « paradoxe de Condorcet » et proposant une règle pour échapper à la contradiction. 1793 : Opposé au principe de la peine de mort, il vote contre la mort de Louis XVI. Il est décrété d’arrestation. Il se cache à Paris. 1794 : Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité,ouvrage didactique pour l’élève et l’instituteur. Il quitte sa cachette, est arrêté à Clamart et meurt dans la prison de Bourg-Egalité (Bourg-la-Reine). 1989 : Ses cendres sont transférées au Panthéon.

7. Que le meilleur perde ! « Nous voulons faire sentir toute l’importance et toute l’étendue d’une science [la politique] qu’on doit regarder encore comme presque nouvelle ; et qui ne peut faire de grands progrès qu’autant qu’elle sera cultivée par des hommes politiques qui joindront à une connaissance approfondie des sciences politiques, des talents pour la géométrie. » Condorcet • Prenons un exemple : • 1er choix 2ème choix Pourcentage de voix • A B 3% • A C 37% • B A 2% • B C 33% • C A 5% • C B 20% • S’il n’y a qu’un tour, c’est donc A qui l’emporte. Mais s’il y a deux tours, le vainqueur du premier tour est sûr de perdre au second ! • Le mode de scrutin actuel ne permet pas de connaître des détails comme ceux fournis dans le tableau précédent : les résultats d’une élection ne permettent pas de savoir en profondeur ce que pensent les électeurs, pas même de connaître leurs préférences relatives. Le choix de la question est décisif : c’est l’acte politique crucial. La question contient en elle-même une partie de la réponse. Le citoyen se doit de réfléchir non pas seulement à la question posée, mais aussi aux autres choix qu’il aurait pu estimer possibles.

8. Paradoxe de Condorcet • PIERRE, FEUILLE, CISEAUX ! • La pierre casse les ciseaux • Les ciseaux coupent la feuille • La feuille enveloppe la pierre • Bien que l’on puisse comparer deux à deux les objets, selon la règle précédente, il n’y a ni meilleur, ni moins bon. • Tout comme dans le Paradoxe de Condorcet, il n’y a aucun objet qui est sûr de gagner s’il est confronté à un autre. Un carré magique est un carré formé avec les nombres entiers consécutifs, en partant de 1, utilisés chacun une fois et une seule, de sorte que la somme des nombres de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale soit la même. Ici on a utilisé les nombres de 1 à 9 pour formé un carré magique 3x3. Durant un tournoi d’échecs par équipes de trois joueurs, chaque joueur affronte celui qui a la même échiquier dans la liste. Chaque ligne dans le carré magique représente une équipe et chaque colonne un des échiquiers. Les différences de force sont telles que les jeux sont faits à l’avance. Appelons 1 le plus fort, 2 celui qui le suit, jusqu’à 9 le moins fort de tous. On constate sans peine que la première équipe perd contre la seconde, qui perd contre la troisième, qui elle-même perd contre la première !

9. Dilemme du prisonnier Pour changer, Filochard et Ribouldingue se sont encore fait pincer. Filochard sait que s'il se tait alors que Ribouldingue avoue, il prendra 5 ans et Ribouldingue sera libéré. Mais l'inverse est aussi vrai. Maintenant, si tout le monde avoue, le tarif sera de 4 ans, tandis que si chacun se tait ça fera 2 ans par tête. Bien sûr, chacun ignore la décision de l'autre. Filochard réfléchit ainsi : « Si Ribouldingue avoue, alors j'ai intérêt à avouer, puisque j'aurai 4 ans au lieu de 5. Mais s’il se tait, alors j'ai encore plus intérêt à avouer, car alors je serai libre. » Ribouldingue, de son côté fait le même raisonnement. Chacun individuellementconclut donc qu'il a intérêt à avouer. Pourtant globalement la situation d’aveux simultanés est plus défavorable pour les deuxque la situation de refus conjoints de parler. C’est ce paradoxe qu’on appelle dilemme du prisonnier.

10. La conjecture de Poincaré « La sphère est le seul espace tridimensionnel fermé dépourvu de trous » La conjecture de Poincaré fait partie des 7 problèmes du millénaire choisis par le Clay Mathematics Institute en l’an 2000 et dont la résolution est primée 1 million de dollars. Le mathématicien russe Grigori Perelman semble avoir démontré cette conjecture, mais il ne compte pas réclamer le prix … ! Jules Henri Poincaré 1854 --1912 Prenez une pomme, et imaginez un ruban autour de cette pomme. La pomme n’a pas de trou : en faisant glisser le ruban tout doucement, il est possible de le comprimer en un point de la pomme, sans couper le ruban ni le faire quitter la surface de la pomme. Prenez maintenant un anneau, et imaginez un ruban enfilé autour de l'anneau. L’anneau a un trou et il est impossible, sans couper le ruban ou l'anneau, de réduire juste par glissement et compression le ruban en un point. Bouteille de Klein

11. La forme de l’univers • Perelman a en fait résolu la conjecture de Thurston, plus générale encore que la conjecture de Poincaré. • Cette conjecture affirme qu’il y a huit géométries possibles pour les espaces à trois dimensions. • Voici les plus habituelles : • L’espace euclidien • La sphère • L’espace hyperbolique La résolution de la conjecture pourrait être d'une grande aide pour les chercheurs en astronomie et permettrait de comprendre la forme de l'univers. En octobre 2003, une équipe franco-américaine, se basant sur l'étude des rayonnements cosmologiques, a formulé dans la revue Nature une nouvelle hypothèse. L’univers aurait la forme de l'espace de Poincaré : un dodécaèdre composé de 12 pentagones dont les faces opposées sont abstraitement liées entre elles. Autrement dit, sortir de cet espace par une face signifie y rentrer par la face qui lui est opposée.

12. Bizarre, vous avez dit bizarre ? Il est facile d’être étonné par des faits qui font penser qu’il vient de se passer quelque chose d’extraordinaire, par des coïncidences que l’on pense totalement improbables. En cette matière, il faut effectivement se forger une intuition avant de conclure au surnaturel ou à l’extraordinaire. Prenez 23 personnes au bureau et clamez Deux d’entre vous sont nés le même jour ! Vous avez plus d’une chance sur deux d’avoir raison. Et face à 50 personnes, c’est sûr à 97% ! En effet la probabilité de se tromper est égale à 365x364x363x…x343/36523≈0.5. Un medium annonce pour les trois années à venir 169 dates pour lesquelles il y aura des séismes de magnitude supérieure à 6,5. On constate après coup que, sur les 196 séismes qui se sont effectivement produits, 33 avaient été prédits par le medium. Or la probabilité d’avoir 33 succès de la sorte n’est que de 7,1%. Pourtant il n’y a là rien d’extraordinaire. Pourquoi ? Parce que la probabilité qu’il y ait entre 20 et 40 succès est environ 98% ! Or le medium n’avait pas annoncé exactement 33 succès … En fait c’est s’il avait obtenu plus de 40 ou moins de 20 que cela aurait été surprenant. À bien y réfléchir, si le medium n’avait eu aucun succès, alors là, oui, il aurait fallu s’émerveiller !

13. Le sophisme du Procureur C’est un paradoxe très largement débattu et dont il faut se méfier dès que l’on manipule des probabilités. L’argument fallacieux consiste à confondre « la probabilité qu’un évènement accidentel survienne » avec « la probabilité d’être innocent ». La probabilité pour que deux profils ADN soient identiques est environ de 1/10 000. Si maintenant, suite à une affaire de mœurs, on trouve un suspect dont le profil ADN est exactement celui trouvé sur la victime … doit-on en déduire qu’on n’a qu’une chance sur 10 000 de se tromper en l’accusant ? NON. Si on a comparé le profil ADN trouvé sur la victime avec 20 000 profils (issus d’un fichier de la police scientifique), il y a 86% de chances de trouver au moins un profil identique et 27% d’en trouver exactement un. En effet 1-(1-1/10 000)20 000≈0.86 et 20 000x (1-1/10 000)19 999x1/10 000≈0.27. Il ne faut pas en déduire que les tests ADN ne servent à rien, ni qu’on ne peut rien dire à partir d’eux. Si par exemple la victime reconnaît son agresseur et qu’ensuite on effectue un test ADN qui est positif, alors les calculs précédents ne s’appliquent pas, sans pour autant donner de certitudes.

14. L’affaire Sally Clark En novembre 1999, au Royaume-Uni, Sally Clark est accusée d’avoir tué ses deux enfants, Christopher âgé de 11 semaines en décembre 1996 et Harry âgé de 8 semaines en janvier 1998. Faute de preuves, l’expert auprès du tribunal, le Prof. Meadow, utilise l’argument fallacieux suivant : « La probabilité que les deux nourrissons soient morts d’une Mort Subite du Nourrisson est très très faible, 1 chance sur 73 millions. C’est comme si un outsider côté à 80 contre 1 gagnait 4 années de suite le grand prix National » Le Prof. Meadow laisse penser que la probabilité qu’une Mort Subite du Nourrisson frappe deux fois la même famille représente également la probabilité d’innocence de Sally Clark. C’est complètement erroné. Pour évaluer cette probabilité d’innocence, il faut chercher le nombre de fois qu’un événement rarissime se produit dans une population très restreinte (celle de ceux qui ont subi deux décès) et non le nombre de fois qu’il se produit au sein de la population totale. En utilisant le fait qu’au Royaume Uni, on peut dénombrer par an environ 30 infanticides et 650000 naissances, on obtient que la probabilité pour que Sally Clark soit innocente est supérieure à 2/3 !!! Mais de toute façon,quel qu’ait été le résultat : aucune conclusion ne serait pour cela légitime, parce que l’application du calcul des probabilités aux sciences morales est comme l’a dit Auguste Comte, le scandale des mathématiques, parce que Laplace et Condorcet , qui calculaient bien, eux, sont arrivés à des résultats dénués de sens commun !

15. L’affaire Dreyfus Extraits de la lettre de Poincaré à Painlevé Maintenant si vous voulez seulement savoir si, dans les raisonnements où M.Bertillon applique le calcul des probabilités, cette application est correcte, je puis vous donner mon avis. Prenons le premier de ces raisonnements, le plus compréhensible de tous. Sur 13 mots redoublés correspondant à 26 coïncidences possibles, l’auteur constate 4 coïncidences réalisées. Evaluant à 0,2 la probabilité d’une coïncidence isolée, il conclut que celle de la réunion de 4 coïncidences est de 0,0016. C’est faux. 0,0016 c’est la probabilité pour qu’il y ait 4 coïncidences sur 4. Celle pour qu’il y en ait 4 sur 26 est 400 fois plus grande, soit 0,7. Cette erreur colossale rend suspect tout ce qui suit. Paul Painlevé Ne pouvant d’ailleurs examiner tous les détails, je me bornerai à envisager l’ensemble du système. Outre les 4 coïncidences précitées, on en signale un grand nombre de nature différente, mettons 10000, mais il faudrait comparer ce nombre à celui des coïncidences possibles, i.e. de celles que l’auteur aurait compté à son actif s’il les avait constatées. S’il y a 1000 lettres dans le bordereau, cela fait 999000 nombres, en comptant les différences des abscisses et celles des ordonnées. La probabilité pour que sur 999000 nombres il y en ait 10000 qui aient pu paraître « remarquables » à un chercheur aussi attentif que M. Bertillon c’est presque la certitude. Henri Poincaré

16. Mathématiques et Referendum • On demande aux Français, par voie de referendum : • « Voulez-vous un régime présidentiel, un régime parlementaire ou un régime d’assemblée ? » • Or parmi les 20 millions d’électeurs : • 9 millions préfèrent le présidentiel, accepteraient le parlementaire mais refusent celui d’assemblée ; • 6 millions préfèrent le parlementaire, accepteraient celui d’assemblée, mais refusent le présidentiel ; • 5 millions celui d’assemblée, accepteraient le présidentiel mais refusent le parlementaire. • Que va-t-il se passer ? Un peu plus tard, un homme politique influent parvient à faire poser dans un nouveau referendum la question suivante :« Le peuple français est-il d’accord pour substituer le régime d’assemblée au régime présidentiel actuellement en vigueur ? » Quelle sera la réponse à la question ? Plus tard encore, un autre homme politique de poids fait organiser un troisième referendum sur le thème :« Le peuple français préfère-t-il le régime parlementaire au régime d’assemblée ? » Quelle sera la réponse à cette nouvelle question ? Dans le premier cas, le choix s’oriente vers le régime présidentiel, bien que ce ne soit pas à une majorité absolue. Dans le second cas, la réponse est « oui » puisque 11 millions de personnes préfèrent le régime d’assemblée au régime présidentiel. Enfin la réponse est au troisième referendum est encore « oui » puisque ce sont 15 millions de personnes qui préfèrent le régime parlementaire au régime d’assemblée.

17. 1 Trois types de jeux. L'intérêt des mathématiciens pour les jeux est vieux d'au moins 400 ans. Par exemple, les travaux de Pascal sur les probabilités commencèrent par une analyse de la notion de hasard dans les jeux de dés. De nombreux jeux ont fait (et continuent à faire) l'objet d'études mathématiques, mais on peut pourtant en distinguer trois grands types : Les jeux de hasard proprement dits comme les jeux de dés ou la roulette, les jeux de carte comme le poker, le bridge, le tarot, ou la belote, et les jeux de table comme les échecs, les dames, le go ou le morpion. La différence essentielle entre ces trois types de jeux est la capacité du joueur à en contrôler le déroulement. Dans le premier type, le joueur n'a aucune possibilité d'influencer le déroulement d'une partie et ne peut compter que sur sa chance. Dans le second type, le joueur peut compter sur la connaissance de ses propres cartes pour programmer ses coups, ainsi que sur la prédiction partielle des cartes de ses partenaires et de ses adversaires (voir figure 1). En revanche, dans le troisième type de jeux, le joueur a potentiellement une connaissance complète de tout ce que son adversaire peut faire. Par exemple, dans le cas du morpion, si les deux joueurs jouent de manière judicieuse, la partie se termine par un match nul (voir figure 2 ). Pour cette raison, les jeux de troisième type se prêtent bien a l'analyse logique. Ces derniers sont appelés « jeux à information complète » et c'est sur eux que nos allons nous concentrer désormais. 2 Fig. 1 3 Les jeux à information complète Nous allons nous intéresser en particulier au concept de « stratégie » et de « stratégie gagnante » pour un joueur. En général, une stratégie est une règle qui indique à un joueur comment il doit répondre aux coups de son adversaire. Une stratégie est gagnante si elle lui permet tout le temps de gagner toutes les parties (voir figure 3). En fait, tous les jeux à information complète et qui se terminent après un nombre fini de coups sont déterminés : Cela signifie que soit l'un des joueurs (par exemple celui qui joue en premier) a une stratégie gagnante, soit toutes les parties jouées par des joueurs jouant au mieux de leurs possibilités se terminent par un match nul. Le morpion rentre dans cette dernière catégorie. Plus surprenant : Il en est de même pour les échecs ! C'est ce que les courageux vont voir au point 3, les autres peuvent aller directement a la section 4. Le jeu d'échecs est déterminé. Admettons qu'une partie d'échecs se termine par un match nul si une disposition des pièces sur l'échiquier se présente deux fois au cours du jeu (en fait, les règles des échecs autorisent les joueurs à jouer plusieurs fois de suite les mêmes coups, mais lorsque cela se produit il est courant que d'un commun accord, la partie soit déclarée nulle). Il y a 64 cases et 32 pièces donc les configurations possibles des pièces sur l'échiquier sont au nombre d'au plus1: n = C(64,32) + C(64,31) + C(64,30) + ....... + C(64,1) + C(64,0) Ainsi, après n+1 coups, une des configurations doit nécessairement se répéter. Pour cette raison, on peut montrer que soit les blancs ont une stratégie gagnante, soit les noirs ont une stratégie gagnante, soit toute partie jouée par des joueurs jouant systématiquement les meilleurs coups possibles se termine par un match nul. Remarquons également qu'il y a donc au plus: m = n ! = n x (n-1) x (n-2) x.....x 2 x 1 parties possibles, puisqu'une partie correspond à une suite de configurations possibles au cours desquelles chaque configuration n'apparaît pas plus d'une fois. Ce nombre m est gigantesque, à tel point que même un ordinateur est incapable de le calculer en un temps raisonnable ...Mais c'est pourtant un nombre fini!. Voilà une esquisse de démonstration : Supposons que ni les noirs ni les blancs n'ont de stratégie gagnante. Au premier coup, puisque les noirs n'a pas de stratégie gagnante, les blancs peuvent jouer au moins un coup à la suite duquel les noirs ne sont pas certains de gagner la partie (si ce n'était pas le cas, les noirs auraient une stratégie gagnante). Après ce premier coup, puisque les blancs n'ont pas de stratégie gagnante, les noirs peuvent jouer un coup à la suite duquel les blancs ne sont pas sûrs de gagner. On continue ainsi n+1 coups. A cet instant, ni les blancs ni les noirs n'ont gagné, car d'après notre raisonnement, cela signifierait que soit les blancs soit les noirs ont une stratégie gagnante, ce qui n'est pas le cas. Par ailleurs, après n+1 coups, une configuration au moins a dû se répéter. Cela signifie en fait que la partie s'est terminée sur un résultat nul. Ce que nous venons de décrire est la meilleure stratégie des blancs et des noirs pour éviter que l'autre ne puisse gagner. On note aussi que notre raisonnement peut être implémenté sur un ordinateur. Ainsi, potentiellement, un ordinateur pourrait effectuer toutes les opérations nécessaires pour déterminer si les blancs ont une stratégie gagnante, si les noirs ont une stratégie gagnante, ou si toutes les parties où les deux joueurs jouent au mieux de leurs possibilités se terminent par un match nul. Toutefois, le nombre d'opérations à effectuer est tellement grand qu'aucun ordinateur actuel n'est un mesure de les mener à terme dans un temps raisonnable. En revanche, cela n'a pas empêché certaines machines de devenir de redoutables adversaires, même pour les plus grand champions. 1 C(n,m) dénote le nombre de possibilité de placer m objets dans n cases. Fig. 2 UNE STRATEGIE OPTIMALE POUR LE JOUEUR DES CROIX 4 Jeux infinis et nouveaux axiomes Le fait que les jeux finis à information complète puissent être analysés par des méthodes mathématiques a poussé les mathématiciens à donner une définition précise (et abstraite) des jeux infinis à information complète. Intuitivement, il s'agit des jeux à information complète pour lesquels le gagnant n'est connu qu'après un nombre infini de coups. Aucun des jeux mentionnés auparavant ne tombe dans ce cadre (et pour cause : les parties seraient ...plus que très très longues !), mais cette nouvelle abstraction s'est avérée très intéressante pour l'étude poussée de certains ensembles de nombres (les sous-ensembles de l'ensemble des nombres réels) et a révélé de profondes connexions entre certaines propriétés des nombres réels et certains axiomes (appelés axiomes de grands cardinaux) introduits pour résoudre des problèmes qui n'ont pas de solution dans le cadre axiomatique traditionnel des mathématiques. Un sujet passionnant, mais déjà trop lointain pour être exploré aujourd'hui... Fig. 3 Quand les mathématiques se prennent au jeu Une partie de Morpion ou les coups des deux joueurs sont les meilleurs possibles. Une partie de Bridge, Kruku peut décider sa stratégie de jeu en regardant ses cartes, et en devinant un peu celles de ses adversaires. Voici une description presque complète d'une stratégie optimale pour le joueur des croix; le dessin en dessous ou en bas des flèches décrit la réponse du joueur de cercles; le dessin après la pointe de la flèche décrit la réponse conseillé par la stratégie au joueur des croix. Pour raison d'espace on ignore beaucoup des possibles réponses du joueur de cercles; mais ou bien sont des réponses suicides ou bien pour des raisons de symétrie sont équivalentes au celles que on a dessiné.