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第二节 函数的求导法则

第二节 函数的求导法则. 用导数的定义求导数不方便，为了能较快地求出函数的 导数，我们研究它的四则运算。. 一、 函数的和 , 差 , 积 , 商的导数. 定理 1 如果函数 u(x) ， v(x) 都在点 x 处可导，则函数 y=u(x) ±v(x) 在该点也可导，且 [ u(x) ±v(x)] ’ = u(x) ’ ±v(x) ’ “ 两个可导函数之和 ( 差 ) 的导数等于这两个函数的导数之和 ( 差 ).”. 证明 : 给自变量一个增量 △ x, 相应的函数都存在一个增量 △ y, △u, △v ，则.

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第二节 函数的求导法则

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Presentation Transcript

  1. 第二节 函数的求导法则 用导数的定义求导数不方便，为了能较快地求出函数的 导数，我们研究它的四则运算。 一、 函数的和 , 差 , 积, 商的导数 定理1 如果函数u(x)，v(x)都在点 x 处可导，则函数 y=u(x)±v(x)在该点也可导，且[u(x)±v(x)]’= u(x)’±v(x)’ “两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差).” 证明:给自变量一个增量△x,相应的函数都存在一个增量 △y, △u, △v，则

  2. 此定理可推广到任意有限多个函数的代数和的情况.此定理可推广到任意有限多个函数的代数和的情况. 定理2 如果函数u(x)，v(x)都在点x处可导，则函数 y=u(x)v(x)在该点也可导，且 [uv]’ = u’v + u v’ “两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与 第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的 导数的乘积”

  3. 证明: 定理2可以推广到更多个函数相乘的情况，例如： 若函数u(x)，v(x)，w(x)都在x点可导，则有

  4. 定理2推论: 求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时, 常数 因子可提到求导记号外面 (Cu)’=Cu’ 定理3 如果函数u(x),v(x)都在点x处可导，且v’(x)≠0则 函数 y= u(x)/v(x) 在该点也可导，且[u/v]’= u’v －uv’ /v2 . “两个可导函数之商的导数,等于分子的导数与分母的乘积 减去分母的导数与分子的乘积,再除以分母的平方”

  5. 证明:

  6. 例1 求 的导数 例2 设f(x)=x2sinx, 求f’(π/4)，f’(π/2),

  7. 解: 例3 求正切函数y=tgx的导数

  8. 解: 例5 已知 求f’(-1). 例4 求正割函数y=secx的导数

  9. 二、 反函数的求导法则 定理4 设函数y=f(x)在某区间I内严格单调且连续,又在I内的点x处可导,且f’(x)≠0,则它的反函数x=φ(y)在与x对应的点y处可导,且 证明: 由y=f(x)在某区间Ix内严格单调性和连续性，可知 其反函数 x=φ(y)在对应的区间Iy内存在，严格单调且连 续，现在给y一个增量△y≠0，由x= φ(y)的严格单调性得 到 因为x= φ(y)连续

  10. 例6 求y=arcsinx的导数 解: 因为y=arcsinx 和 x = siny 互为反函数 ，所以

  11. 的导数 例8 求 例7 求y=arctgx(x∈R) 的导数

  12. 三、 复合函数求导法则 定理5 若函数u=φ(x)在某点x可导，又函数y=f(u)在对应的点u可导, 则复合函数y=f[φ(x)]在点x也可导，且其导数 证明: 因为 y = f(u) 在点 u 可导，所以

  13. 我们还可以将它推广到更多的复合情况 求复合函数的导数方法称为链式法，利用这个方法求导时，不能漏下其中任何一个环节.

  14. 例9 求一般幂函数y=xμ（μ∈R，x>0)的导数 分析: 将此幂函数变形为复合函数 于是把幂函数从正整数发展成实数 例10 y=lncosx 求 y’

  15. 例11 设 求 y’ 例12 设 求dy / dx

  16. 解： 例14 设

  17. 四. 复合函数求导法则的完整证明 考虑两种情况 情况1 此时由极限的局部保号性可知，当|△x|充分小时，△u/△x≠0，得到△u ≠0，于是前面给出的证明适用，因而链式法则得到证明. 情况2 此时在△x→0的过程中，△x可能取到的值有两类， 一类值使对应的△u=0；另一类值使对应的△u≠0.当 △x取使△u≠0的值而趋于零时，由于

  18. 当△x取那些使△u=0的值而趋于零时， 由于 △y = f(u0+ △u)－f(u0) = f(u0)－f(u0) = 0, 故 △y/ △x = 0, 从而 △y/ △x→0 因此，不论△x取那类值趋于零,总有△y/ △x→0

  19. 从此证明过程得到的启发是对数学命题的推导或证明,可从某些简单的特殊情况开始,先得到部分结果,并从中窥视问题的实质和主要困难所在,然后再进行一般性的处理.这样做容易人手,可在不同的层次上加深对数学命题的理解.从此证明过程得到的启发是对数学命题的推导或证明,可从某些简单的特殊情况开始,先得到部分结果,并从中窥视问题的实质和主要困难所在,然后再进行一般性的处理.这样做容易人手,可在不同的层次上加深对数学命题的理解.

  20. 五、特殊函数得导数 1. 分 段 函 数 的 导 数 求分段函数的导数的步骤: (1)若函数在各段开区间内可导,则分别求出它在各开区间 内的导数. (2)判断函数在分段点x0处的可导性: 若函数在x0处不连续,则它在x0处不可导. 若函数在x0处连续，则根据导数的定义，或根据可导的 充分必要条件来判断函数在x0处的可导性，同时得到 在x0处的导数。

  21. 例15 设 求它的导数. 解:(1)先取分段函数的导数 (2)判断函数在分段点x0处的可导性

  22. 2. 含绝对值的函数的导数 考虑两种情况: (1)设y = ln|u(x)|， u(x) 可导，且u(x)≠0， 求y ’

  23. (2)设y=|u(x)|,u(x)可导,求y’ 例16 设y=ln|sinx| 求dy/dx. 解: y=ln|sinx|在其定义域内处处可导

  24. 六、基本求导法则与导数公式 我们已经学习导数，导数的四则运算，复合导数和反函 数的求导，现在总结一下导数公式:

  25. 2.函数的和,差,积,商的求导法则 设u=u(x),v=v(x)都可导,则 3.反函数的求导法则 设x=f(y)在区间Iy内单调,可导且f’(y)≠0,则它的反函数y=f-1(x), 在Ix上也可导,且

  26. 4.复合函数的求导法则 设y=f(u)，而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导，则复合函数 y=f[g(x)]的导数为 例17 证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式: 证明 由定理(1),(2),有

  27. 例18 y=sinnx×sinnx (n为常数), 求y’

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