Для самостоятельного решения

1. Для самостоятельного решения 1 вариант____ 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков. 2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,8? 2 вариант____1. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек. 2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,995?

2. Формулы Байеса Пусть события Bi, В2, ..., Вnнесовместны и образуют полную группу, событие А может наступить при условии появления одного из них. События Bi называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит.

3. Формулы Байеса Пример. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом. Решение. Вероятность того, что клиент попадет к первому операционисту (событие В1), составляет 0,6, ко второму — 0,4 (событие В2). вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживаниек первому операционисту, будут обслужены им полностью.

4. Формулы Байеса Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе? А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание; В1 - человек придерживался специальной диеты; В2 - человек принадлежал к контрольной группе.

5. А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание; В1 - человек придерживался специальной диеты; В2 - человек принадлежал к контрольной группе. Согласно формуле полной вероятности

6. Схема независимых испытаний Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность.Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом изкоторых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступлениясобытия А — также постоянна в каждом испытании и равнаq = 1 —р. В теории вероятностей представляет особый интересслучай, когда в п испытаниях событие А осуществится к раз ине осуществится (п — к) раз. Вероятность этого сложного события, состоящего из nиспытаний, определяется формулой Бернулли

7. nнезависимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступлениясобытия q = 1 —р. в п испытаниях событие А осуществится к раз не осуществится (п — к) раз формула Бернулли Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет 2 раза. Решение. р = q = 0,5. n= 6,к = 2.

8. Схема независимых испытаний nнезависимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступлениясобытия q = 1 —р. в п испытаниях событие А осуществится к раз не осуществится (п — к) раз формула Бернулли Пример 2. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет не менее двух раз.

9. Локальная теорема Лапласа ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события Ав каждом испытании постоянна, причем О < р < 1. Тогда вероятность Рn(к) того, что событие А появится в n испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функции

11. Интегральная теорема Лапласа nнезависимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступлениясобытия q = 1 —р. в nиспытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к <т. Ане осуществится (п — к) раз Соответствующую вероятность обозначают Рn(l,т) ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления событияА в каждом испытании постоянна, причем О < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытанияхот I до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

12. Интегральная теорема Лапласа nнезависимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступлениясобытия q = 1 —р. в nиспытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к <т. не осуществится (п — к) раз в виде формулы Ньютона-Лейбница: функция нечетная, поэтому в таблицах приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела

14. Пример . В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р.Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р=0,9. Решение. Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит(20-0,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(х) при n= 10 000, I = N, т = 10 000 дают a=(N-50)/ 7.05 b=1411.34 Из табл. находим, что Ф(х) = 0,5 при |х| > 5

15. Пример . В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р.Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р= 0,9 Решение. с вероятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль